1、八年级数学下册20.1 平行四边形的判定预习学案 华东师大版激活思维1小明想从一个平行四边形的纸片上剪三个三角形要求:其中两个三角形的面积相等,第三个三角形面积是这两个三角形面积的 2 倍他能实现愿望吗 ?(如图 20 一 11)若能,请至少画出三种;若不能,给出合理的解释你认为还有其他分法吗?自己试试2两组对边分别_的四边形是平行四边形3平行四边形的两组对边分别_ ;平行四边形的一条对角线分平行四边形为_ _的两个三角形两条对角线_;平行四边形的每一组对角_4现有长短不一的两根木条,如何摆放移动,使木条的四个端点所在的位置构成一个平行四边形?小明想了想动手摆放,移动操作拼成 了如图 20 一
2、 l 一 2 所示的三幅图形,并给出了部分说明把两根术条 把两根小条一个端点 把两根木条钉成的中点固定 固定成定角度,再 ABC,然后移移动,使木条片 AB 动使点 A 落在原与原来位置上 BA 重 来点 C 处,点 C合 落在原点 A 处你认为小明的做法正确吗?如正确,请给出依据,如不正确,说明理由5平行四边形的判别条件:(1)两组对边分别 _;(2)两组对角分别 _;(3)一组对边 _;(4)两条对角线 _6已知四边形 ABCD,下列条件: (1)ABCD ;(2)BCAD;(3)AB=CD;(4)BC=AD;(5)A=C;(6)B= D 任选其中两个,可以得出“四边形 ABCD 是平行四
3、边形”这一结论的情况有 ( )A4 种 B9 种 C 13 种 D15 种提示:在所有的组合中,逐一排查看哪一组符合平行四边形的判定条件,注意不要漏掉正确的条件但所选条件一定要符合平行四边形的判定条件,也不能多选不符的信息鼠标1如图 20 一 13 所示2平行3平行且相等面积相等(或全等) 互相平分 相等4三者都正确图(1)的依据是对角线互相平分;图(2)的依据是一组对边平行且相等:(CBA=BAC,所以 BCAC,而 AC=AC)图(3)的依据是两组对边分别相等(变换后有 AB=CB,BC=AB)5 (1)平行(或相等)(2)相等(3)平行且相等(4)互相平分6 B 六个条件,两两组合有 1
4、5 种成立的情形有:a(1) 与(2) 一两组对边分别平行;b(3) 与(4) 一两组对边分别相等;c (5)与(6)一两组对角分别相等;d(1) 与(3) ,(2)与(4)一 一组对边平行且相等;e(1)与 (5),(1)与(6),(2) 与(5 ),(2) 与(6)一 一组对边平行,一组对角相等互动研学教练教材研学一、平行四边形的有关概念(如图 2014 )1平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形四边形 ABCD 是平行四边 形CDAB2对角线:平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线AC 为对角线3平行四边形的表示法:四边形 ABCD 是平行四边形,记作“ AB
5、CD,读作“平行四边形 ABCD”注意:(1)表示平行四边形四个顶点的字母一定要按顺序写,不能颠倒位置;(2)运用定义和性质为证明线段或角相等提供了方便;(3)常见的辅助线是连接平行四边形的对角线,把未知问题化为三角形问题二、平行四边形的性质(如图 2015 )1从边上看:平行四边形两组对边分别平行;平行四边形两组对边分别相等在平行四边形ABCD 中:ADBC ABCDAD=BCAB=CD2从角上看:平行四边形的两组对角分别相等,邻角互补在平行四边形 4BCD 中:ABC= CDA,BAD=BCD ,ABC+ BAD=180 CDA+ BCD=1803从对角线上看:平行四边形的两条对角线互相平
6、分在平行四边形 ABCD 中:OA=OC,OB=OD 三、平行四边形的判定方法:1按边:(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 。如图 2016,ADBC,AD=BC 四边形 ABCD 是平行四边形(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形如图 20l 一 6,AD=BC,AB=CD 四边形 ABCD 是平行四边形(3)两组对边分别平行的四边形是平行四四边形如图 20 一 l 一 6,AD BC,ABCD 四边形ABCD 是平行四边形2按角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形如图 2016,ABC=CDA,BAD=BCD 四边形 ABCD 是平行四边形按对角线:两条对角线互相平分的四边
7、形是平行四边形如图 2016,OA=OC ,OB=0D 四边形 ABCD 是平行四边形注意:学习时要注意弄清什么时候用性质,什么时候用判定用哪一个判定条件,要根据具体问题,结合给出的条件,进行全面综合分析,灵活的运用老师:同学们,关于平行四边形的判定,除了我们学习过的以上方法外,还有什么其他方法吗?小弘:一组对边平行另一组对边相等的四边形也是平行四边形小哲:一组对边平行且有一组对角相等的四边形也是平行四边形老师:对于他们两人的说法,同学们有什么不同见解?小文:小弘说 得不对,小哲说的对理由是:如图 2017(1),虽然 ABCD ,AD=BC,但是四边形 ABCD 显然不是平行四边形;小哲的理
8、由是:在四边形 ABCD 中,若 ABCD,ABC=CDA 成立,ABCD,ABC+ BCD=180 ABC=CDACDA+BCD=180 ADBC四边形 ABCD 是平行四边形老师:这又是一种新的判别四边形 ABCD 是平行四边形方法请同学们记住。四、平行四边形知识的应用:1运用平行四边形的性质求角的度数,线段的长度,证明线段相等或倍分如图 2018,小华要测量学校圆形花坛的直径 AB 的长,他制订了以下方案,在 AB 外选一点 C,连接 AC、BC,再找到 AC 和 BC 的中点,量出两中点的距离 DE,就可以求出 AB 的长小华的方案具有可行性,其 依据是三角形的中位线线平行于底边,且等
9、于底边的一半这一依据正是平行四边形知识的应用2先判定一个四边形是平行四边形,然后再用平行四边形的性质解决某些问题右栏例 4 就是这一问题的体现本节的易错点是在判定的过程中,使用条件上的错误五、探究活动我们学习了多种平行四边形的判定方法,方法越多,证题的思路越广问题:在四边形中,如果有一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线,那么这个四边形是平行四边形吗?分析:要说明四边形 ABCD 是平行四边形,就要看两条对角线是否互相平分;若不是平行四边形就可以举出反例探究:如图 20 一 l 一 9,在四边形 ABCD 中,ABCD,AC、BD 交于点 O,且 OB=OD在OAB 和OCD 中,由 AB
10、CD,得ABO=CDO,BAO=DCO,OB=OD,则OABOCD,从而 OA=OC,所以四边形 ABCD 是平行四边形结论:在四边形中,如果有一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线,那么这个四边形是平行四边形点石成金例 1已知,如图 20110,四边形 ABCD 为平行四边形, A+C=80 ,平行四边形ABCD 的周长为 46 cm,且 AB 一 BC=3 cm,求平行四边形 ABCD 的各边长和各内角的度数分析: 由平行四边形的对角相等,邻角互补可求得各内角的度数;由平行四边形的对边相等,得 AB+BC=23 cm,解方程组即可求出各边的长。解:由平行四边形的对角相等,A+C=80,得
11、AC40又 DCAB,D 与A 为同旁内角互补,D=180一A 180 一 40140B140由平行四边形对边相等,得 ABCD,AD=BC 因周长为 46 am,因此 AB十 BC 23 cm,而 AB 一 BC=3 cm,得 AB=13 cm,BC=10 cm, CD=13 amAD=10 cm名师点金:注意充分利用性质解题例 2如图 20111,在平行四边形 ABCD 中,E 、F是直线 BD 上的两点,且 DE=BF,你认为 AE=CF 吗? 试说明理由分析:本题主要考查平行四边形的性质要证明 AE=CF,可以把两线段分别放在两个三角形里,然后证明两三角形全等解:AE=CF理由:在平行
12、四边形 ABCD 中, AB=CD 且 ABCDABE=CDF DE=BF , DE+BD=BF+BD,即 BE=DF:ABECDF AE=CF名师点金:利用平行四边形的性质解题时,一般要用到三角形全等等知识,此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等例 3如图 20l12 所示,在平行四边形 ABCD 中,EF AB。HG AD。EF 与 GH相交于点 O,则该图中平行四边形的个数共有 ( )A7 个 B8 个 C9 个 D11 个解析:本题主要考查平行四边形的定义两条平行线把平行四边形 ABCD 分成 8 个 (不合原来)四边形,看这些四边形是否都符合平行四边形的定义, EFAB,HGA
13、D,它们的各边都平行即有 ABCD, DEOH, HOFC,AGOE, GOFB, AGHD, GBCH, ABFE, EFCD答案 C名师点金:先分清图中共有哪些四边形,然后表两定义去判断例 4如图 20 一 1 一 13,ABC 中,AB=6, AC=4AD是 BC 边上的中线,则 AD 的取值范围是_分析:本题考查平行四边形的判定及三角形的三边关系要确定AD 的取值范围,联想用三角形三边关系,但又不能把 AD 和 AB 与AC 放在同一三角形里,故不能直接利用三角形三边关系,由 AD 是中线,可联想倍长中线,得到平行四边形,将已知条件AC 和 AB 实行转化,与未知量 AD 集中到三角形
14、中来求解延长 AD 到 E,使 DE=AD,连接AB DEC图 20 113BE、 CE,BDCD,四边形 ABEC 是平行四边形 CE=AB=6在ACE 中,64 AE 6+4,即 2AE10又AE=2AD 1AD5答案 1AD5名师点金:当题中有三角形的中线时,常常延长中线,构造平行四边形,这种作辅助线的方法在解题中经常用到,要注意掌握例 5现有一个四边形的木框,若想知道它是否为平行四边形,只给你一把刻度尺,你能有几种方法来测量?分析:可从平行四边形的判定方法来考虑(1)可量两组对边长,若分别相等,则这个木框是平行四边形,否则不是;(2)把木框的对角线连接起来看对角线是否平分,若互相平分,
15、则为平行四边形名师点金:注意可操作性例 6如图 201 一 14,已知六边形 ABCDEF 的每一个内角都是 120且 AB=l,DE=2 ,BC+CD=8 ,求这个六边形的周长分析:要求其周长,只要求出 AF 与 EF 的和即可如何求? 考虑到特殊角,结合三角形知识,可将六边形化归为平行四边形来解解:如图 20 一 114,延长 FA、CB 相交于点 G,延长CD、FE 相交于点 B,由已知, ABG 和DEH 都是等边三角形所以G= B=60 因为C=F=120,则四边形 CGFH 为平行四边形,GF+FH=CH+CG=CD+DH+CB+BG =CD+BC+DE+AB=8+1+2=11所以
16、 AF+FE=1112=8则该六边形的周长为:8+8+1+2=1 9名师点金:解题关键是作辅助线,将不规则的六边形变成平行四边形例 7如图 20115,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,E 、F 是对角线 AC 上的两点,当 E、F 满足下列哪个条件时,四边形 DEBF 不一定是平行四边形 ( )AAECF BDE=BFC ADE=CBF DAED=CFB解析:由 AE=CF,OA=OC,得 OE=OFOD=OB ,四边形DEBF 是平行四边形;由ADE=CBF,或 AED=CFB,都能推出ADE CBF,AE=CF四边形 DEBF 是 平行四边形答案 B名师点金:
17、本题所用方法叫“排除法” 在做选择题时经常用到,要注意总结例 8如图 20116,ABCD,AC、BD 交于点 O,且OB=OD已知 SOBC =1,求四边形 ABCD 的面积要求四边形 ABCD 的面积,就要找到其与 AOBC 的关系,考虑四边形 ABCD 是否为特殊四边形,即平行四边形,而从题中条件,利用左栏探究结果,问题得解解:因为 ABCD,且 OB=OD,据左栏探究结论可得:四边形 ABCD 为平行四边形利用平行四边形的性质,可得四边形 ABCD 的面积4S OBC 4名师点金:左栏的探究结论,我们也可以作为平行四边形的一个判定,可直接应用,同步升级演练基础巩固题1在下列图形的性质中
18、,平行四边形不一定具有的性质是 ( )A对角相等 B对边平行且相等 C对角线相等 D对角线互相平分2如图 20l_17,在平行四边形一 4BCD 中,AC、BD 相交于点 O,作 OE 上 BD 于 O,交 CD 于 E,连接 BE,若BCE 的周长为 6,则平行四边形 ABCD 的周长为 ( )A6 B12 c18 D不确定3下列条件中,能判别一个四边形是平行四边形的是 ( )A一组对边相等 B一组对边平行C两条对角线相等 D两组 对角分别相等4已知四边形 ABCD,以下四个条件: (1) A=B,C=D;(2)AB=CD,AD=BC ;(3)AB=CD,ABCD;(4)AB CD ,ADB
19、C其中能判定四边形 ABCD 为平行四边形的有 ( )A1 个 B2 个 c3 个 D4 个5已知四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,下列条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是( )AOA=OC OB=ODBABD= BDCCBD=ADBCAB=CD , OB=OD,ABD=BDCDOA=OB OC=OD6如图 201 一 18,在ABC 中,B=90,D 、 E 分别是AB、 AC 的中点,DE=2,AC=5,则 AB 的长为( )A2 B3 C4 D57在四边形 ABCD 中,已知 AB=CD,再添一个条件_,就可以判定四边形 ABCD 是平行四边形8如图 20119,在平行四
20、边形 ABCD 中,AC 、BD 相交于点 O,请写出图中相等的线段_,图中全等三角形有_对。9如图 20120 ,在平行四边形 ABCD 中,已知对角线 AC、BD相交于点 O,且 ACBD20,AOB 的周长为 15,则 CD_。10如图 20120,在平行四边形 ABCD 中,O 是 AC 上一点,过点 O 的任一直线交 AB于 E,交 CD 于 F,要想保证 OEOF,需满足条件:_(填出一个你认为正确的一个条件即可) 。11用长为 80cm 的铁丝围成一个平行四边形,使平行四边形的两邻边之比为 3:2,这个平行四边形最长边为_。12已知四个角都是 直角的四边形叫做矩形。如图 2012
21、1是小张剪出的一个四边形 ABCD 硬纸片,现他沿垂直于 BC 的线段 AE剪下ABE,然后放到DCF 处,使 AB 与 CD 重合,此时测得四边形 AEFD 是矩形那么小张剪出的原四边形 ABCD是_形判定的依据是_13在四边形 ABCD 中,A60,要使四边形ABCD 成为平行四边形,则B_,C_。14如图 20122 是小明剪成的一个等腰三角形纸 片 ABC,其中 AB=AC,他把B 沿EM 折叠使点 B 落在点 D 上,把 C 沿 FN 折叠使点 C 也落在点 D 上,则小明就说四边形 AEDF 是平行四边形,请你帮他说明理由;小明又量出 AB=9 cm,则四边形 AEDF 的周长是多
22、少?15如图 20123,把两把相同的角尺(两边互枉垂直)的一边紧靠在木板同一侧的边缘上,再看木板另一边缘(也为直线)在两把角尺上的刻度是否相等,木工师傅就可以判断木板的两个边缘是否平行,你能说出其中的道理吗?探究提高题16过平行四边形 ABCD 的钝角顶点 A,作 AEBC 于 E,AFCD 于 F,若 AE4,AF6,平行四边形 ABCD 的周长为 40,则其面积为( )A48 B40 C35 D3017如图 20 124,平行四边形 ABCD 中,A 的平分线 AE交 CD 于 E,AB5,BC 3,则 EC 的长为( )A1 B1.5 C2 D318平行四边形 ABCD 中,若其中三边
23、长分别为(x2 )cm, (x 1 )cm,6cm,则该平行四边形的周长为_ 。19在一个平行四边形中,若其一边长为 a,两条对角线的长分别为 3 和 9,则 a 的取值范围为_。20一个四边形的边长依次为 a,b,c,d,且满足 a2b 2c 2d 22ac2bd ,则该四边形一定是_ (形状) 。21如图 20125,在四边形 ABCD 中, A=130, B=50,D=50,AB=9cm ,BC=6 cm,则四边形ABCD 的周长为_。22如图 20126,平行四边形 ABCD 中,AC 是对角线,DFAC 于 F,BE AC 于 E,连接 BF、DE,你认为四边形 BEDF 是平行四边
24、形吗?给出合理的解释23 如图 20127,P 为等边三角形 ABC 内一点,PD AB。PEBCPFAC求证:PD+PE+PF 为定值2 4如果把平行四边形 ABCD 纸片沿 EF 折起,如图 20 一 128,当折痕 EF 满足什么条件时,折起后由 A,B ,C,D 四点组成的四边形(如图) 仍是平行四边形 ?试述理由25如图 20129,在平行四边形 ABCD 中,P l,P 2,P 3,P 4,P 5 是 对角线 BD 上的六等分点,你能否可以从这五个分点中选出两点,使得以这两点及点 A、点 C 为顶点的四边形是平行四边形?如果可以,请写出一个这样的平行四边形,并加以证明;如果不可以,
25、请说明理由拓展延伸题26有一块形状为平行四边形的铁皮,如图 20 一 l30,用 AB、CD表示其较长边,AD、BC 表示其较短边如果 CD=2AD,现在想用这块铁皮截一个直角三角形,要求以 AB 为斜边,直角顶点 M 在 CD 边上你认为能截出符合要求的直角三角形吗?如果能,请说明怎样截,并加以说明;不能,说明理由27如图 20131,将形状为等腰直角三角形的铁片,改制成有一个内角为 45的平行四边形,怎样做才能使材料的利用率最高?( 接缝的损失不计 )28有一块如图 20132 所示的四边形木板,它的一个角 DEF 已损坏,现在只知道 AB=60 cm。BC=80 cm, A=120,B=
26、60,C=150,你能根据这些计算出 AD 的长及四边形 ABCD 的面积吗?(精确到 0.1)中考模拟题29 ( 2006江苏南京)已知:如图 20133,在平面直角坐标系中,平行四边形 ABCD的顶点 A、B、D 的坐标分别是(0,0),(5 ,0),(2,3),则顶点 C 的坐标是 ( )A (3 ,7 ) B (5,3) C (7 ,3) D (8,2)30 ( 2006湖南长沙)如图 20 一 l 一 34,四边形 ABCD 中,AB CD,要使四边形 ABCD 为平行四边形则应添加的条件是_(添加一个条件即可)31 ( 2006广东)如图 20135,在 ABCD 中DAB=60 ,点 E、F 分别在 CD、AB 的延长线上且 AEADCF=CB(1 )求证:四边形 AFCE 是平行四边形;(2 )若去掉已知条件的“DAB=60” ,上述的结论还成立吗 ?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由