1、2.5 随机变量的均值和方差学习目标 重点、难点1能记住离散型随机变量的均值概念及计算方法；2能记住离散型随机变量的方差概念及计算方法；3能用均值、方差(标准差)来分析解决实际问题.重点：均值、方差(标准差)的概念难点：利用均值、方差(标准差)解决实际问题.1离散型随机变量的均值(数学期望)若离散型随机变量 X 的概率分布为 P(X xi) pi(i1,2， n)，则称x1p1 x2p2 xnpn为离散型随机变量 X 的均值或数学期望，记为 E(X)或 ，即 E(X) x1p1 x2p2 xnpn，其中， xi是随机变量 X 的可能取值， pi是概率，pi0， i1,2， n， p1 p2 p
2、n1.预习交流 1离散型随机变量的均值一定是在试验中出现概率最大的值吗？提示：不一定，如 ， E(X)0.5，在试验中未出现2离散型随机变量的方差与标准差一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为： ，则( xi )2( E(X)描述了 xi(i1,2， n)相对于均值 的偏离程度，故( x1 )2p1( x2 )2p2( xn )2pn(其中 pi0， i1,2， n， p1 p2 pn1)刻画了随机变量 X 与其均值 的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量 X 的方差，记为V(X)或 2.即 V(X) 2( x1 )2p1( x2 )2p2( xn )2pn，其中，pi0， i1,2，
3、 n， p1 p2 pn1.方差也可用公式 V(X) pi 2计算随ni 1x2i机变量 X 的方差也称为 X 的概率分布的方差， X 的方差 V(X)的算术平方根称为 X 的标准差，即 .V(X)预习交流 2随机变量的方差与样本方差有何联系和区别？提示：随机变量的方差是常数，样本方差是随机变量，对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点一、离散型随机变量的均值(数学期望)某运动员投篮命中率为 0.6，(1)求一次投篮时命中次数 X 的数学期望；(2)求重复 5 次投篮时，命
4、中次数 Y 的数学期望思路分析：(1) X 只能取 0,1 这两个值，列出分布列，求出 X 的均值(数学期望)(2)Y 服从 Y B(5,0.6)，利用 E(Y) np 求出 Y 的均值(数学期望)解：(1)投篮一次，命中次数 X 的分布列为 ，则 E(X)0.6.(2)由题意，重复 5 次投篮，命中次数 Y 服从二项分布，即 Y B(5,0.6)，则 E(Y) np50.63.在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的配方方案，需要对各种不同的搭配方式作比较在试制某种牙膏新品种时，需要选用不同的添加剂现有芳香度分别为 0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用根据试验设计学原理，通常首先要随机选取
5、两种不同的添加剂进行搭配试验用 X 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和(1)写出 X 的分布列；(2)求 X 的数学期望 E(X)解：(1) X 的分布列为：X 1 2 3 4 5 6 7 8 9P 115 115 215 215 15 215 215 115 115(2)由 E(X)的定义得： E(X)(1289) (3467) 5 5.115 215 15求离散型随机变量 X 的均值的步骤：(1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的值；(2)求出X 取每个值时的概率；(3)写出 X 的概率分布列(有时可以略)；(4)由均值的定义求出E(X)二、离散型随机变量的方差和标准差甲、乙两名工
6、人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X， Y.X 和 Y 的分布列如下：X 0 1 2P 610 110 310Y 0 1 2P 510 310 210试对这两名工人的技术水平进行比较思路分析：对两名工人的技术水平进行比较：一是比较两名工人在加工零件数相等的情况下生产出次品数的平均值即数学期望；二是看次品数波动情况，即方差的大小解：工人甲生产出次品数 X 的平均值和方差分别为：E(X)0 1 2 0.7，610 110 310V(X)(00.7) 2 (10.7) 2 (20.7) 2 0.81；610 110 310工人乙生产出次品数 Y 的平均值和方差分别为：E(Y
7、)0 1 2 0.7.510 310 210V(Y)(00.7) 2 (10.7) 2 (20.7) 2 0.61.510 310 210由 E(X) E(Y)知，两人生产出次品数的均值相同，两人技术水平相当，但 V(X) V(Y)可见乙工人的技术水平比较稳定已知 X 的分布列为：Y 0 10 20 50 60P 13 25 115 215 115(1)求 V(X)；(2)设 Y2 X E(X)，求 V(Y)解：(1) E(X)0 10 20 50 60 16，13 25 115 215 115 V(X)(016) 2 (1016) 2 (2016) 2 (5016) 2 (6016) 213
8、 25 115 215384.115(2) Y2 X E(X)， Y 的分布列如表所示.Y 16 4 24 84 104P 13 25 115 215 115 E(Y)16 4 24 84 104 16.13 25 115 215 115V(Y)(1616) 2 (416) 2 (2416) 2 (8416) 2 (10416)13 25 115 2152 1 536.115已知分布列求离散型随机变量的方差时，首先计算数学期望，然后代入方差公式 V(X) pi 2求方差，在实际问题中方差反映了数据的稳定与波动情况在均值相等或ni 1x2i相差不大的情况下，方差越小，说明数据越稳定，波动情况越小
9、1设随机变量 X 的分布列为 P(X k) (k1,2,3,4)，则 E(X)_.14答案：52解析： P(X k) (k1,2,3,4)， E(X)1 2 3 4 .14 14 14 14 14 522一批产品中的次品率为 ，现在连续抽查 4 次，用 X 表示次品数，则13 _.答案：223解析： X B ， V(X) 2 np(1 p)4 ， .(4，13) 13 23 89 2233设随机变量 X B(n， p)且 E(X)1.6， V(X)1.28，则n_， p_.答案：8 0.2解析： X B(n， p)， E(X) np， V(X) np(1 p)，Error!解之得Error!4
10、若随机变量 X 的分布列如下：X 0 1 xP 15 p 310若 E(X)1.1，则 V(X)_.答案：0.49解析：由 p 1，得 p .15 310 12又 E(X)1.1，0 1 x 1.1， x2.15 12 310 V(X)(01.1) 2 (11.1) 2 (21.1) 2 0.49.15 12 3105海关大楼顶端镶有 A， B 两面大钟，它们的日走时误差分别为 X， Y(单位：s)其分布列为：X 2 1 0 1 2P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05Y 2 1 0 1 2P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差，比较这两面大钟的质量解： E(X)0， E(Y)0， E(X) E(Y)又 V(X)(20) 20.05(10) 20.050 20.8(10) 20.05(20)20.050.5，V(Y)(20) 20.1(10) 20.20 20.4(10) 20.2(20)20.10.9， V(X) V(Y) A 面大钟的质量较好用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记知识精华 技能要领
