1、20.1 平行四边形的判定 A 卷一、选择题1四边形 ABCD，从（1）ABCD；（2 ）AB=CD；（3）BCAD ；（4）BC=AD 这四个条件中任选两个，其中能使四边形 ABCD 是平行四边形的选法有（ ）A3 种 B4 种 C5 种 D6 种2四边形的四条边长分别是 a，b，c，d ，其中 a，b 为一组对边边长，c，d 为另一组对边边长且满足 a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（ ）A任意四边形 B平行四边形C对角线相等的四边形 D对角线垂直的四边形3下列说法正确的是（ ）A若一个四边形的一条对角线平分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形B对角线互相平分的四边形
2、一定是平行四边形C一组对边相等的四边形是平行四边形D有两个角相等的四边形是平行四边形二、填空题4在 ABCD 中，点 E，F 分别是线段 AD，BC 上的两动点，点 E 从点 A 向 D 运动，点F 从 C向 B 运动，点 E 的速度 m 与点 F 的速度 n 满足_ 关系时，四边形 BFDE 为平行四边形5如图 1 所示，平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 边上的一点，连结 EF，若再增加一个条件_，就可以推出 BE=DF图 1 图 26如图 2 所示，AO=OC，BD=16cm，则当 OB=_cm 时，四边形 ABCD 是平行四边形三、解答题7如图所示，四边形 ABCD
3、中，对角线 BD=4，一边长 AB=5，其余各边长用含有未知数 x 的代数式表示，且 ADBD 于点 D，BD BC 于点 B问：四边形 ABCD是平行四边形吗？为什么？四、思考题8如图所示，在ABCD 中， E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AF=CE， 则线段 DE与 BF 的长度相等吗？参考答案一、1B 点拨：可选择条件（1 ） （3）或（2 ） （4）或（ 1） （2）或（3） （4 ） 故有 4 种选法2 B 点拨：a 2+b2+c2+d2=2ab+2cd 即（a-b） 2+（c-d ） 2=0，即（a-b） 2=0 且（c-d） 2=0所以 a=b，c=d ，即两组对边分别相等
4、，所以四边形为平行四边形3B 点拨：熟练掌握平行四边形的判定定理是解答这类题目的关键二、4相等 点拨：利用 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 来确定5AE=CF 点拨：本题答案不惟一，只要增加的条件能使四边形 EBFD是平行四边形即可68 点拨：根据对角线互相平分的四边形为平行四边形来进行判别三、7解：如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形理由如下：在 RtBCD 中，根据勾股定理，得 BC2+BD2=DC2，即（x-5） 2+42=（x-3） 2，解得 x=8所以 AD=11-8=3，BC=x-5=3 ， DC=x-3=8-3=5，所以 AD=BC，AB=DC所以四边形 ABCD
5、 是平行四边形点拨：本题主要告诉的是线段的长度，故只要说明 AD=BC，AB=DC 即可，本题也可在RtABD 中求 x 的值四、8解：线段 DE 与 BF 的长度相等；连结 BD 交 AC 于 O 点，连结 DF，BE，如图所示在 ABCD 中，DO=OB，AO=OC，又因为 AF=EC，所以 AF-AO=CE-OC，即 OF=OE，所以四边形 DEBF 是平行四边形，所以 DE=BF点拨：本题若用三角形全等，也可以解答，但过程复杂，学了平行四边形性质后，要DACFEB学会应用20.1 平行四边形的判定 B 卷一、七彩题1 （一题多解题）如图所示，在ABCD 中，点 E，F 都在对角线 AC
6、 上，且 AE=CF，连结 DE， BE，DF ，BF，则四边形 DEBF 是平行四边形吗？为什么？二、知识交叉题2 （科外交叉题）如图所示，在四边形 ABCD 中，ADBC，且 ADBC，BC=6cm，P ，Q分别是线段 AD，BC 上两动点， P，Q 分别从 A，C 出发， P 以 1cm/s 的速度由 A 向 D 运动，Q以 2cm/s 的速度由 C 向 B 运动，P，Q 两点同时开始运动，且开始运动的时刻是0 P，Q 运动到顶点处即停止运动，问：第几秒时，四边形 ABQP 是平行四边形？三、实际应用题3如图所示，某城市中心有一个小公园，在它的四个角 A，B ，C ，D 处均有一棵古树，
7、城建部门准备扩建公园，要求使公园的面积扩大一倍， 而且必须保持四棵古树不动，并要求建成以后的公园呈平行四边形形状问：该城市能否实现这一设想？若能，请你设计方案并画出图；若不能，请说明理由四、经典中考题4 （达州）如图，一个四边形花坛 ABCD，被两条线段 MN，EF 分成四个部分，分别种上红，黄，紫，白四种花卉，种植面积依次是 S1，S 2，S 3， S4若 MNABDC，EFDACB，则有（ ）AS 1=S4 BS 1+S4=S2+S3 CS 1S4=S2S3 D都不对五、探究学习1 （条件开放题）如图所示，在ABCD 中，P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6， P7 是对角线BD
8、的八等分点，你是否可以从这七个分点中选取两个点，使得这两点和点 A，点 C为顶点的四边形是平行四边形？如果可以，请你写出一个这样的平行四边形，并说明理由；如果不可以，请说明理由2实际生活中，我们常碰到这样的例子：对一个物体 M同时施加两个成某个角度的力 F1 和 F2，这个物体的实际受力效果并不是 F1 与 F2 的简单叠加，它们的合力 F的大小和方向由以 F1 和 F2 为边的平行四边形的对角线决定，如图 1 所示 对于既有大小又有方向的量求和时，一般都采用上面的方法，我们把这种方法叫做平行四边形法则， 实际上求两个分为 F1，F 2 的合力 F 的大小，就是求 F1MF2F 的对角线 MF
9、 的长下面请利用平行四边形法则来解决一个实际问题：如图 2，一条小河缓缓地流着，河水的流速是 2km/h，一艘船从 A 点出发以 4km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，实际上，它以怎样的速度向对岸行驶？图 1 图 23 （图形方案设计题）某企业有一块等腰三角形的铁板，如图所示， 根据需要，现要把它加工成一个平行四边形的铁板，要把材料完全利用起来， 应该怎样加工呢？把切割的路线用虚线画出来参考答案一、1解法一：是理由：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD=BC，AD BC， 所以 DAE=BCF在ADE 和CBF 中，因为,.DABCEF所以ADECBF （S AS ） 所以 DE
10、=BF同理可证ABECDF 所以 BE=DF所以四边形 DEBF 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 解法二：是理由：同解法一可证ADECBF所以 DE=BF，AED= CFB所以 180-AED=180-CFB即DEF= BFE所以 DEBF所以四边形 DEBF是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）解法三：是理由：连结 BD如图，交 AC 于点 O因为四边形 ABCD是平行四边形，所以 OA=OC，OB=OD 又因为 AE=CF，所以 OA-AE=OC-CF，即 OE=OF，所以四边形 DEBF 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 点拨：
11、解法一利用了“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法；解法二利用了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 的判定方法，解法三利用“ 对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判别方法二、2解：设第 x 秒时，四边形 ABQP 是平行四边形，即 AP=BQ，则 AP=x，BQ=BC-CQ=6-2x，所以 x=6-2x，解得 x=2，所以第 2 秒时，四边形 ABQP 是平行四边形点拨：这是一道平行四边形的判断与物理知识的交叉题三、3解：能作法：连结 BD，AC 交于 O 点，过 A，C 分别作 BD 的平行线，过B，D 分别作 AC 的平行线，得四边形 ABCD，如图所示，则四边形 A
12、BCD为所求作的平行四边形理由：因为 ADBD，BCBD ，所以 ADBC同理得，ABDC 所以四边形 ABCD是平行四边形由上述作法知四边形 ABOA，四边形 BCOB，四边形 CCDO，四边形 ODDA 均为平行四边形在ABOA 中，AA=BO，AB=AO，BA=AB，所以AABBOA所以 S AABO =2SABOA同理得 S BCOB=2SBOC，S OCDO=2SCOD，S AODD =2SAOD，AA所以 S ABCD =2S 四边形 ABCD，所以该城市能实现这一设想四、4C五、探究学习1解：可以例如连结 AP1，AP 7，CP 1，CP 7，则四边形 AP1CP7 就是平行四边
13、形理由：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD BC，AB CD，/所以ABP 1=CDP7，所以在 ABP1 和CDP 7 中 ，17,.ABCDP所以ABP 1CDP7（SAS ） ，所以 AP1=CP7同理可求 AP7=CP1，所以四边形 AP1CP7 是平行四边形点拨：本题答案不惟一，还可取 P2，P 6 两点得到平行四边形 AP2CP6；取 P3，P 5两点得到平行四边形 AP3CP5理由同上2解：如图所示，以 4km/h，2km/h 为边构造ABDC，使 AB=2km/h，AC=4km/h ，因为四边形 ABDC 是平行四边形，所以 BD=AC=4（km/h） 在 RtAB
14、D 中，根据勾股定理，得 AD2=AB2+BD2=22+42=20所以 AD= =2 （km/h） 205答：略点拨：注意河水的速度与轮船的速度是互相垂直的， 所以构成的平行四边形实际上是长方形三、3方法一：作法：（1）分别取 AB，AC 的中点 D，E ，分别过点 D，E 作DMBC，EN BC 垂足分别为 M，N；（2 ）将BDM， CEN 分别裁下来，如图拼接，可得平行四边形 MMNN，此平行四边形即为所求（如图 1 所示） 图 1 图 2 图 3方法二：作法：（1）分别取 AB，AC 的中点 D，E；（2）沿 DE 裁下 ADE 并以点 E为中心旋转至CDE，平行四边形 DDCB 即为所求（如图 2 所示） 方法三：作法：（1）作 ABC 的 BC 边上的中线 AD；（2）将 ABC 沿 AD 裁开， 并将ABD 移至ABC 处，则平行四边形 ADCB即为所求（如图 3 所示）
