1、庖丁巧解牛知识巧学一、条件概率1.设 A、B 为两个事件，且 P（A）0，称 P(B|A)= 为在事件 A 发生的条件下，事)(PB件 B 发生的条件概率.一般把 P(A|B)读作 B 发生的条件下 A 的概率.2.条件概率的性质为：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即 0P(B|A)1；（2）如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A). 疑点突破 事件 B 在“ 事件 A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的. 深化升华 已知 A 发生，在此条件下 B 发生，相当于 AB 发生，要求 P（BA
2、）相当于把 A 看做新的基本事件空间来计算 AB 发生的概率，即P(B|A)= .)()()()(PnB每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率则是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件） ，求另一事件在此条件下发生的概率. 二、事件的独立性设 A、B 为两个事件，如果 P（AB）=P（A ）P（B） ，则称事件 A 与事件 B 相互独立如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 ， 与 B， 与 也都相互独立.“P（AB）=P（A）P （B ） ”，说明事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，即P（B A）=P （B ）.一般地，如
3、果事件 A1,A2,An 相互独立，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(A1A2An)=P（A 1）P(A 2)P(An).同两事件相互独立的公式应用前提一样，这儿也只有当 A1,A2,An 相互独立时才成立.辨析比较 事件的“互斥”与“相互独立” 是两个不同的概念 .两事件“互斥” 是指两事件不可能同时发生，两事件“相互独立”是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.知识拓展 1-P（A）P（B）表示两个相互独立事件 A、B 至少有一个不发生的概率.三、独立重复试验与二项分布1.独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验.“在相同
4、条件下” ，是指在次独立重复试验中，各次试验的结果不会受到其他试验的影响.次独立重复试验常见的实例有：反复抛掷一枚均匀硬币；正（次）品率的抽样；有放回的抽样；射手射击目标命中率已知的若干次射击.2.二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件 A 恰好发生次的概率为P（X=k）= pk（1-p） n-k，k=0 ，1，2，n.此时称随机变量 X 服从二项分布.记作 XnCB（n,p） ，并称为成功概率 .二项式（1-p）+p n 的展开式中，第1 项为 Tk+1= (1-p)n-kpk，可见 P(X=k)就
5、是二knC项式(1-p)+p n 的展开式中的第 1 项，故此公式称为二项分布公式.方法归纳 求概率问题时，一般按如下步骤解决：确定所给事件的性质.归纳为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验中的某一种；u 判断事件的运算.看是和事件、积事件，确定事件至少有一个发生还是同时发生，从而运用相加或相乘的公式；运用相应的公式求解.问题探究问题 1 我们知道，抛掷两次硬币，出现一次正面的概率是 .那么抛掷 100 次硬币一定会21出现 50 次正面吗？思路:不会.事实上，将一枚硬币随机掷 100 次，相当于重复做了 100 次试验，每次有两个可能结果（出现正面或出现反面）.出现正面的概率为 ，根据
6、次独立重复试验中事件发生次的概率公式，随机掷 100 次正好出现 50 次正面的概率为 P100(50)= ( )1000.08.501C2这个事件发生的可能性很小.探究:误认为“抛掷 100 次硬币一定会出现 50 次正面”，是因为没有理解 “次独立重复试验恰好发生次”这一概率模型.这里指的是掷 100 次硬币恰好有 50 次正面，因而它的概率并不等于 ，应该是掷 100 次硬币至少有 50 次正面的概率为 .21 21问题 2 条件概率和相互独立事件同时发生的概率有什么异同？互斥事件和相互独立事件的区别是什么？思路:设事件 A、B，在事件 A 发生的条件下事件 B 发生，等价于事件 A 和
7、 B 同时发生，即 AB 发生.但是在相互独立事件同时发生的概率中，A、B 相互独立，互不影响，在条件概率中 A、B 有联系，不独立，即若 B 发生，则 A 一定发生.互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念，两者都是对两个事件而言的，不同的是：“互斥事件”是说两个事件不能同时发生， “相互独立事件”是说一个事件发生与否与另一个事件发生的概率没有影响.因此，互斥事件和相互独立事件一定要区分清楚.探究:相互独立事件的概率求解一般是应用乘法公式，应用时要注意理解并运用相互独立事件的性质，如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 ， 与 B， 与 也都相互独立.如甲A乙两人独立解同一道题，甲解决该
8、问题的概率为 P1，乙解决该问题的概率为 P2，求恰好有1 人解决这个问题的概率.我们应明确“恰好有 1 人解决这个问题”是指一人解出，同时另一人解不出，而两人解决问题是相互独立的.可以记甲解决这个问题的事件为 A，乙解决这个问题的事件记为 B.则所求概率为 P(A + B)=P（A ）+P（ B）=P（A）P （ ）+P（ ）P（B ）=P 1（1-P 2）+P 2（1-P 1）.A典题热题例 1(2005 浙江高考)袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球，从 A 中摸出一个红球的概率是 ，从 B 中摸出一个红球的概率为 p31(1)从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸
9、到红球即停止求恰好摸 5 次停止的概率；记 5 次之内(含 5 次 )摸到红球的次数为 ，求随机变量 的分布列.(2)若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12，将 A、B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 ，求 p 的值2思路分析： 由题意知，问题(1)可以看做是一个独立重复试验，可能利用独立重复试验的概率公式求解；问题(2)属于一个古典概型问题，可以用古典概型的概率公式解决 .解：(1) ( )2( )2 = .4C3181随机变量 的取值为 0，1，2，3.由 n 次独立重复试验概率公式Pn(k)= pk(1-p)n-k，得P(=0)= (1- )5= ,P(=1)= (1- )
10、4= ,05C32415C32380P(=2)= ( )2(1- )3= ,180P(=3)= ( )3+ ( )2 + （ ） 2（ ） 2 = 或24187P（=3）=1-P（ =0)-P(=1)-P(=2)=1- 43508随机变量 的分布列是 0 1 2 3P 243280817(2)设袋子 A 中有 m 个球，则袋子 B 中有 2m 个球.由 ,得 p= .5321p01方法归纳 解决概率问题的关键是找出概率类型，所以对各种类型必须熟悉.根据试验的特点找出试验类型，然后采用相应的公式求解.例 2 在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽出 6 道题，若考生至少能答对其中的 4 道题即
11、可通过；若至少能答对其中 5 道题就获得优秀，已知某考生能答对其中 10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 思路分析： 本题属于条件概率问题.在已知该考生在考试中通过的前提下，获得优秀的概率，所以应根据条件概率的公式求解. 解：设事件 A 为“该考生 6 道题全答对”，事件 B 为“ 该考生答对了其中 5 道题另一道答错”，事件 C 为“该考生答对了其中 4 道题另 2 道答错”，事件 D 为“该考生在这次考试中通过”，事件 E 为“该考生在这次考试中获得优秀” ，则 A、B、C 两两互斥，且D=ABC,E=AB.由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(A
12、BC)=P(A)+P(B)+P(C)= ;62014620156201P(AD)=P(A),P(BD)=P(CB);P(E|D)=P(AB|D)=P(A|D)+P(B|D)= ,所以所求的概58132018)(660CDPBA率为 .5813误区警示 利用公式 P（BC|A）=P（B|A ）+P（C|A）可使求有些条件概率较为简捷，但应请注意这个性质在“B 与 C 互斥” 这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式.例 3 甲乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 和 ，求：314（1）两个人都译出密码的概率；（2）两个人都译不出密码的概率；（3）至多 1 个人译出
13、密码的概率；（4）至少 1 个人译出密码的概率.思路分析： 我们把 “甲独立地译出密码 ”记为事件 A，把“乙独立地译出密码”记为事件 B，显然，A，B 为相互独立事件.问题（1）相当于事件 A，B 同时发生，即事件 AB.问题（2）相当于事件 .问题（ 3） “至多 1 个人译出密码”的对立事件是 “两个人都译出密码”，AB即事件 AB.问题（4） “至少 1 个人译出密码”的对立事件是“两个人都未译出密码”，即事件 .由于 A、B 是相互独立事件，上述问题中， 与 B，A 与 ， 与 都是相互独立B事件，可以用公式计算相关概率.解：记“甲独立地译出密码” 为事件 A， “乙独立地译出密码”
14、记为事件 B，A 、B 为相互独立事件，且 P（A ）= ，P（B）= .314（1）两个人都译出密码的概率为：P（AB）=P（A）P（B）= = .3142（2）两个人都译不出密码的概率为：P( )=P（ ）P（ ）=1-P（A） 1-P(B)ABB=(1- )(1- )= .3421（3） “至多 1 个人译出密码” 的对立事件是“ 两个人都译出密码 ”，所以至多 1 个人译出密码的概率为 1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1- = .3142（4） “至少 1 个人译出密码” 的对立事件是“ 两个人都未译出密码 ”，所以至少 1 个人译出密码的概率为 1-P( )=1-P( )P(
15、)=1- = .AB1方法归纳 解答这类概率综合问题时，一般 “大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥事件，然后运用概率的加法公式和乘法公式来解决.在运用乘法公式时，一定要注意是否满足彼此独立，只有彼此独立才能运用乘法公式. 深化升华 在求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多” 等事件概率的问题，如果从正面考虑这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但它们的对立事件却往往较简单，其概率也易求，此时，可逆向思维，先求其对立事件的概率，再利用概率的和与积的互补公式，求得原来事件的概率，即正难则反.例 4 某人射击 5 次，每次中靶的概率均为 0.9，求他至少两次中靶的概率.思路分析：
16、至少有两次中靶包括恰好有 2 次中靶，恰好有 3 次中靶，恰好有 4 次中靶和恰好有 5 次中靶四种情况.而这些事件是彼此互斥的，而他每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而他射击 5 次是进行 5 次独立重复试验.解：解法一：在 5 次射击中恰好有 2 次中靶的概率为 0.920.13；5C在 5 次射击中恰好有 3 次中靶的概率为 0.930.12；5在 5 次射击中恰好有 4 次中靶的概率为 0.940.1；在 5 次射击中 5 次均中靶的概率为 0.95.C至少有 2 次中靶的概率为 0.920.13 0.930.12+ 0.940.1 0.9
17、5=0.008 555C10.072 90.328 050.590 49=0.999 54.解法二：至少有 2 次中靶的对立事件是至多有 1 次中靶，它包括恰好有 1 次中靶与全没有中靶两种情况，显然这是两个互斥事件.在 5 次射击中恰好有 1 次中靶的概率为 0.90.14；5在 5 次射击中全没有中靶的概率为 0.15.所以至少有 2 次中靶的概率为 1- 0.90.14-0.15=1-0.000 45-0.000 01=0.999 54. 1C误区警示 如果我们对独立重复试验的意义理解不深刻，很容易得出其概率为0.920.13=0.008 1 的错误结果.究其原因是“ 至少有 2 次中靶
18、”这一事件并不是指“ 有 2 次5C中靶，而其余三次不中靶”，因而不能直接运用公式 pk(1-p)n-k.该公式仅适用于求某次nC独立重复试验中，事件 A 发生了次，而其余的 -次事件 A 不发生的概率，且 P（A）=.例 5 某厂生产的电子元件，其每件产品的次品率为 5%（即每件为次品的概率）.现从一件产品中任意连续地取出 2 件，其中次品数 的概率分布是 0 1 2P请完成上表.思路分析： 由于每件产品的次品率为 5%，则连续取出 2 件就相当于 2 次独立重复试验，即题中次品数 服从二项分布.解：由题意知，B(2,5%) ，则P(=0)= (5%)0(95%)2=0.902 5,2CP(
19、=1)=C12(5%)1(95%)1=0.095,P(=2)= (5%)2(95%)0=0.002 5.所以，所求随机变量 的分布列为： 0 1 2P 0.902 5 0.096 0.002 5深化升华 二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布，它应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体概率值的过程，因此我们应熟练掌握二项分布.应用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为次独立重复试验，随机变量是否为在这次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.
20、例 6 某车间有 10 台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为 10 千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动 12 分钟，且开动与否是相互独立的，现因电力供应紧张，供电部门只提供 50 千瓦的电力给这 10 台机床，问这 10 台机床能够正常工作的概率是多少？思路分析：50 千瓦电力可同时供给 5 台机床开动，10 台机床同时开动的台数不超过 5 台都可以正常工作，而每台开动与否是相互独立的，这是独立重复实验的问题. 解：每台机床只有“开动” 与“不开动”两种情况，开动的概率为 ，不开动的概率为 1-51602.由于机床是否开动是相互独立的，因此 10 台机床正常工作，相当于做 10
21、 次重复实541验，但供电部门提供 50 千瓦的电力只能使 5 台机床同时工作.所以P=P10（ 0）+P 10（1）+P 10（2）+P 10（3）+P 10（4）+P 10（5）= （ ） 0（ ） 10+ （ ） 1（ ） 9+ （ ） 2（ ） 8+ （ ） 3（ ）1C10C210C4310C547+ （ ） 4（ ） 6+ （ ） 5（ ） 5=0.094.40551故这 10 台机床能够正常工作的概率为 0.094.误区警示 本题容易忽视的是独立重复试验含义，独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果，并且在每一次试验中，事件发生的概率均相等.
