1、第二章 单元综合检测 (一)(时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题1根据偶函数定义可推得“函数 f(x)x 2 在 R 上是偶函数”的推理过程是( )A. 归纳推理 B. 类比推理C. 演绎推理 D. 非以上答案解析：由偶函数定义，定义域关于原点对称的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，则 f(x)为偶函数，f( x)x 2 时，f( x )f(x) ，“f (x)x 2 在 R 上是偶函数”是利用演绎推理答案：C2命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A. 使用了归纳推理B. 使用了类比推理C. 使用了“三段论” ，
2、但大前提错误D. 使用了“三段论” ，但小前提错误解析：大前提错误，小前提正确答案：C3用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 60”时，应假设( )A. 三角形的三个内角都不大于 60B. 三角形的三个内角都大于 60C. 三角形的三个内角至多有一个大于 60D. 三角形的三个内角至少有两个大于 60解析：其假设应是对“至少有一个角不大于 60”的否定，即“都大于 60”答案：B4分析法是要从证明的结论出发逐步寻求使结论成立的( )A充分条件 B必要条件C充要条件 D等价条件解析：由分析法定义知选 A.答案：A52012江西高考观察下列各式：ab1，a 2b 23，a 3b 34
3、，a 4b 47，a 5b 511，则 a10b 10( )A. 28 B. 76C. 123 D. 199解析：记 anb nf(n)，则 f(3)f(1)f (2)134；f (4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现 f(n)f (n1)f(n2)( nN *，n3)，则 f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6) 29； f(8)f(6)f (7)47；f (9)f (7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以 a10b 10123.答案：C6用数学归纳法证明等式 123(n3) (nN *)，验证 n1 时，n 3n 42左
4、边应取的项是( )A1 B12C123 D1234解析：n1 时，n34，左边1234.答案：D7设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k)k 2 成立时，总可推出f(k 1)( k1) 2 成立” ，那么，下列命题总成立的是( )A若 f(3)9 成立，则当 k1 时，均有 f(k)k 2 成立B若 f(5)25 成立，则当 k5 时，均有 f(k)k 2 成立C若 f(7)4 2，因此对于任意的 k4，有 f(k)k 2 成立答案：D8设正数 x，y 满足 log2(xy3)log 2xlog 2y，则 xy 的取值范围是( )A. (0,6 B. 6，)C.
5、1 ，) D. (0,1 7 7解析：xy3xy( )2( xy )24(xy)120，故 xy6，当且仅当x y2xy3 时等号成立答案：B9已知实数 a，b，c 满足 abc0，abc 0，则 的值( )1a 1b 1cA一定是正数 B一定是负数C可能是零 D正、负不能确定解析：(abc) 20，abbcac (a2b 2c 2)0， 0， m0，b0，得 0.a b .a ba ba ba、b 为有理数且 为有理数，a b 即 为有理数a ba b a b( )( )，即 2 为有理数a b a b a从而 也就为有理数，这与已知 为无理数矛盾，a a 一定为无理数a b18(12 分)
6、 已知 a、b、c 是不等正数，且 abc1，求证： 0)，f n1 (x)f 1fn(x)x1 x2(1)求 f2(x)、f 3(x)；(2)猜想 fn(x)的表达式，并证明解：(1)f 1(x) (x0)，x1 x2f2(x) ，x1 x21 x21 x2 x1 2x2f3(x) x1 2x21 x21 2x2 x1 2x2 x2 .x1 3x2(2)猜想 fn(x) ，x1 nx2下面用数学归纳法证明：当 n1 时，命题显然成立假设当 nk 时，f k(x) ，x1 kx2那么 fk 1(x)x1 kx21 x21 kx2 .x1 kx2 x2 x1 k 1x2这就是说，当 nk1 时命
7、题成立由，可知 fn(x) 对所有 nN *均成立x1 nx220(12 分) 2012福建高考某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin 213cos 217sin13cos17；sin 215cos 215sin15cos15；sin 218cos 212sin18cos12；sin 2(18)cos 248sin(18)cos48 ；sin 2(25)cos 255sin(25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择式计算如下：sin 215cos 2
8、15sin15cos151 sin30 .12 34(2)三角恒等式为 sin2cos 2(30)sincos(30) .证明如下：34sin2cos 2(30) sin cos(30)sin 2(cos30cos sin30sin) 2sin (cos30cossin30sin )sin 2 cos2 sincos sin2 sincos sin2 sin2 cos2 .34 32 14 32 12 34 34 3421(12 分) 先解答(1)，再通过类比解答(2)(1)求证：tan ；(x 4) 1 tanx1 tanx(2)设 xR 且 f(x1) ，试问 f(x)是周期函数吗？证明你
9、的结论1 fx1 fx解：(1)证明：tan (x 4)tanx tan41 tanxtan4 ；1 tanx1 tanx(2)f(x)是以 4 为一个周期的周期函数证明如下：f(x 2)f(x1)1)1 fx 11 fx 1 ，1 1 fx1 fx1 1 fx1 fx 1fxf(x 4)f(x2)2) f(x)1fx 2f(x)是周期函数22(12 分) 已知点 Pn(an，b n)满足 an1 a nbn1 ，b n1 (nN *)且点 P1 的坐标bn1 4a2n为(1， 1)(1)求过点 P1，P 2 的直线 l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于 nN *，点 Pn都在(1)中的直线 l 上解：(1)由 P1 的坐标为(1， 1)知 a11，b 11.b 2 ，a 2a 1b2 .b11 4a21 13 13点 P2 的坐标为 .(13，13)直线 l 的方程为 2xy1.(2)证明：当 n1 时，2a 1b 121( 1)1 成立假设 nk(kN *，k1)时，2a kb k1 成立则 2ak 1b k1 2a kbk1 b k1 (2ak 1) 1.bk1 4a2k bk1 2ak 1 2ak1 2aknk1 时，命题也成立由知，对 nN *，都有 2anb n1，即点 Pn在直线 l 上
