1、学业分层测评( 二十)(建议用时：45 分钟)学业达标一、填空题1从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是_(填序号)至少有一个红球；至少有一个白球；恰有一个红球；都是白球；至少有一个红球；都是白球；至多有一个红球；都是红球【解析】 对于， “至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球， “至少有一个白球”可能为一个白球，一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于， “恰有一个红球” ，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于， “至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球
2、”显然是对立事件；对于， “至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件【答案】 2现有历史、生物、政治、物理和化学共 5 本书，从中任取 1 本，取出的是理科书的概率为_【解析】 记取到历史、生物、政治、物理、化学书分别为事件A，B，C ，D，E，则 A， B，C，D，E 互斥，取到理科书的概率为事件B、D、 E 概率的和P(BDE)P (B)P(D) P(E) .15 15 15 35【答案】 353若事件 A 和 B 是互斥事件，且 P(A)0.1，则 P(B)的取值范围是_【解析】 A 与 B 为互斥事件，P(A)P (B)1，P( B)0.9，故 P(B)的取值范围
3、是0,0.9【答案】 0,0.94某城市 2016 年的空气质量状况如表所示：【导学号：11032072】污染指数 T 30 60 100 110 130 140概率 P 110 16 13 730 215 130其中污染指数 T50 时，空气质量为优； 50T100 时，空气质量为良；100T 150 时，空气质量为轻微污染该城市 2016 年空气质量达到良或优的概率为_【解析】 设“空气质量达到优或良”为事件 A，由题意可知， P(A)P( T50) P(50T100) .110 16 13 35【答案】 355某家庭电话，打进电话响第一声时被接的概率是 0.1，响第 2 声时被接的概率为
4、 0.2，响第 3 声时被接的概率是 0.3，响第 4 声时被接的概率为 0.3，则电话在响第 5 声前被接的概率为_【解析】 由互斥事件概率公式得所求概率为 P 0.10.20.30.30.9.【答案】 0.96如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是 ，取到方片的概率是 ，则取到黑色牌的概率是_14 14【解析】 设“取到红心”为事件 A， “取到方片 ”为事件 B， “取到红色牌”为事件 C，则 CA B，且 A，B 互斥P(C)P( AB )P(A ) P(B) .14 14 12而 表示“取到黑色牌” ，C 所以 P( )1P(C)1 .C 12 12
5、即取到黑色牌的概率为 .12【答案】 127盒子里装有 6 个红球，4 个白球，从中任取 3 个球设事件 A 表示“3个球中有 1 个红球，2 个白球” ，事件 B 表示“3 个球中有 2 个红球，1 个白球”已知 P(A) ，P( B) ，则“3 个球中既有红球又有白球 ”的概率为310 12_【解析】 记事件 C 为“3 个球中既有红球又有白球” ，则它包含事件A“3 个球中有 1 个红球，2 个白球”和事件 B“3 个球中有 2 个红球，1 个白球”，而且事件 A 与事件 B 是互斥的，所以 P(C)P( AB)P (A)P (B) 310 12.45【答案】 458某产品分甲、乙、丙三
6、级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为 0.03，出现丙级品的概率为 0.01，则抽查一件产品，抽得正品的概率为_【解析】 记“抽出的产品为正品”为事件 A， “抽出的产品为乙级品”为事件 B， “抽出的产品为丙级品”为事件 C，则事件 A，B，C 彼此互斥，且 A与 B C 是对立事件，所以 P(A)1P(BC)1P (B)P(C)10.030.010.96.【答案】 0.96二、解答题9在一个袋子中放入 3 个白球，1 个红球，摇匀后随机摸球(1)摸出的球不放回袋中，求第 1 次或第 2 次摸出红球的概率；(2)摸出的球放回袋中连续摸 2 次，求第 1 次或第 2 次摸出的
7、球都是红球的概率【解】 (1)记 “第 1 次摸到红球”为事件 A， “第 2 次摸到红球”为事件 B.显然 A， B 为互斥事件，易知 P(A) .下面计算 P(B)摸两次球可能出现的结果14为：(白 1，白 2)、 (白 1，白 3)、(白 1，红)、(白 2，白 1)、(白 2，白 3)、(白2，红) 、( 白 3，白 1)、(白 3，白 2)、(白 3，红)、 (红，白 1)、(红，白 2)、(红，白 3)，在这 12 种情况中，第二次摸到红球有 3 种情况，所以 P(B) ，故第 1 次14或第 2 次摸到红球的概率为 P(AB )P(A)P(B ) .14 14 12(2)把第 1
8、 次，第 2 次摸球的结果列举出来，除了上题中列举的 12 种以外，由于放回，又会增加 4 种即(白 1，白 1)，(白 2，白 2)，(白 3，白 3)，( 红，红)这样共有 16 种摸法其中第 1 次摸出红球，第 2 次摸出不是红球的概率为 P1 .316第 1 次摸出不是红球，第 2 次摸出是红球的概率为 P2 .316两次都是红球的概率为 P3 .116所以第 1 次或第 2 次摸出红球的概率为 PP 1P 2P 3 .71610甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 5 个不同题目，选择题 3 个，判断题 2 个，甲、乙两人各抽一题. 【导学号：11032073】(1)甲、乙两人中有一个抽
9、到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【解】 把 3 个选择题记为 x1，x 2，x 3,2 个判断题记为 p1，p 2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x 1，p 1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x 2，p 2)，(x3， p1)，(x 3，p 2)，共 6 种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p2，x 1)，( p2，x 2)，(p 2，x 3)，共 6 种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x
10、 1)，(x 2，x 3)，(x3， x1)，( x3， x2)，共 6 种； “甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p 1，p 2)，(p2，p 1)，共 2 种因此基本事件的总数为 666220 种(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为 ， “甲抽到判断题，620 310乙抽到选择题”的概率为 ，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一620 310个抽到判断题”的概率为 .310 310 35(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为 ，故“甲、乙两人至少有220 110一人抽到选择题”的概率为 1 .110 910能力提升1对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图 342 为检测
11、结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间20,25)上的为一等品，在区间15,20)和区间 25,30)上的为二等品，在区间 10,15)和30,35) 上的为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为_图 342【解析】 由图可知抽得一等品的概率为 0.3，抽得三等品的概率为 0.25，则抽得二等品的概率为 10.30.250.45.【答案】 0.452抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上一面的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现 1 到 6 点中任一结果，连续抛掷两次，第一次出现点数记为 a，第二次出现点数记为 b，则直线 axby 0 与直线 x2y 10 有
12、公共点的概率为_【解析】 设“直线 ax by0 与直线 x2y1 0 有公共点”为事件A，则 为“它们无公共点” ，A事件 发生，表示两直线平行，故 ，Aab 12a1，b2 或 a2，b4 或 a3，b6，P( ) ，P( A)1 .A336 112 112 1112【答案】 11123袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是 ，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率是 ，13 512 512则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是_、_、_.【解析】 从袋中任取一球，记事件“摸到红球” “摸到黑球” “摸到黄球”“摸到绿球”分别为 A，B，C，
13、D，且彼此互斥，则有P(BC)P(B )P(C) ；512P(CD )P(C)P( D) ；512P(BCD)P(B )P(C)P(D)1P(A) 1 .13 23解得 P(B) ，P( C) ，P(D) .14 16 14所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ， .1416 14【答案】 14 16 144某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示. 【导学号：11032074】一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上顾客数 (人) x 30 25 y 10结算时
14、间(分钟/人)1 1.5 2 2.5 3已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率)【解】 (1)由已知得 25y 1055，x3045，所以 x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)115 1.530 225 2.520 310100(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” ，A1，A 2，A 3 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟” ， “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟” ， “该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟” 将频率视为概率得P(A1) ，15100 320P(A2) ，30100 310P(A3) .25100 14因为 AA 1A 2A 3，且 A1，A 2，A 3 是互斥事件，所以 P(A)P( A1A 2A 3)P(A 1) P(A2)P(A 3) .320 310 14 710故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 .710
