1、2017 年浙江省高中数学竞赛一、填空题：本大题共 10 个小题,每小题 8 分,共 80 分.1.在多项式 的展开式中 的系数为 310()2x6x2.已知 ,则实数 271log5log5a3.设 在 中有两个实数根,则 的取值范围为 2()fxb02ab4.设 , ,且 ,则 yR22sincoscosin1in()xxyxyxy5.已知两个命题,命题 :函数 ( )单调递增；命题 ：函数p()logafx0xq（ ） 若 为真命题， 为假命题，则实数 的取值范围2()1gxaRqpqa为 6.设 是 中所有有理数的集合，对简分数 ， ，定义函数S5(0,)8Sp(,)1，则 在 中根的
2、个数为 1()qfp2()3fxS7.已知动点 ， ， 分别在 轴上，圆 和圆PMN22(1)()1xy上，则 的最小值为 22(3)(4)xy|P8.已知棱长为 1 的正四面体 ， 的中点为 ，动点 在线段 上，则直线ABCDEAD与平面 所成的角的取值范围为 BEAC9.已知平面向量 ， ， ，满足 ， ， ， ，若 ，则abc|1a|2b|3c010bc所有取不到的值的集合为 |(1)|ab10.已知 方程 有三个2,0,xf22()1|()1|*40fxfxa根 若 ，则实数 123x21a二、解答题：本大题共 5 个小题，满分 120 分，将答案填在答题纸上）11.设 ， ， ，2，
3、对每个 ，求21()3fx216()()3nnfxfx1n()nfx的实数解312.已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 交椭圆于 ， 两点216xyF(2)ykxPQ若 的中点为原点，直线 交直线 于 (0)kPQON3M（1）求 的大小；MF（2）求 的最大值13.设数列 满足： ， ， 1,2,3，na1|2|na|2n证明：如果 为有理数，则从某项后 为周期数列114.设 ， ， ； ， ， ，证明：存在不全为零的数 ，231b23Z1， ，使得 和 同时被 3 整除230,23a123b15.设 为 的一个排列，记 ， ，求12,na1, 1()niFa1namin()F2017 年浙
4、江省高中数学竞赛答案一、填空题1. 2.2 3. 4. （ ） 5. 41280,22kZ(2,1,)6.5 7. 8. 9.3114,arctn710.6(,13)(4,)32三、解答题11.证明：利用数学归纳法（1） 是 的解 2x()3nfx当 时， 是 的解.213x当 时，设 ，则 .nk()6kf16()4(2)kkff由此可得 是 的解（对于所有的 ）.2x3nfxn（2）当 时， 2()当 时， 1n2()fxx当 时，设 ，则 k23()kf2216()833kkfxfxx由此可得 都不是 的解（对于所有的 ） 2xnfxn（3）当 时， 0()3当 时， （ ）.1n22(
5、)83fxxx02当 时，设 ，则 k3kf216()()13kkffx由此可得 都不是 的解（对于所有的 ） 02xnfxn因此，对每个 ， 的实数解为 n()3fx2x12.解：（1）联立 可得 21,6()ykx222(1)160kkx设 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，P,pyQ(,)qxy则 ， 213pqkx2163pqkx于是有 24()pqpqy因为 的中点为 ，所以 ，因此 的斜率 ，PQN226(,)31kON13ONk因为直线 交直线 于 ，所以 ，故 的斜率为 ，OxM(,kMFMF即得 ，因此 与 垂直， 1MFPQkFPQ2（2）222()()() ()1pqpqpq
6、xkxI kx 22()4pqpqkxx42221(3)3k24(3)k令 ，则 ，2u2(1)8uI 2261169)()3416uu由于 ，故 . 231k0因此 （当 时取到最大值，也即 ） maxI4u1k综上所述， 的最大值为 PQMF313.证明：（1）若 为有理数，则 为一个有理数数列1na（2）对于任意的 ，设 ， ，由已知条件，有且仅有下述一个等式成立：nyx(,)1或 (*)12na12nyx与 有相同的分母（不进行约分） （3）设 ， ，则 ， 为整数，由于 ， 1，2,3，因1qap(,)1nbap|2na此 2nb（4）若存在两个自然数 ，使得 ，则由（2）中得到的（
7、*）递推公式以及klkla， 1,2,3，可得 从第 项开始是一个周期数列，周期为 |nan lk（5）由（3）可知对于任意的 ， 的值只有 （有限个） ，故总能找到 ，使得b41p，从而有 klbkla综上所述，如果 为有理数，则从某项后 为周期数列1na14.证明：不妨设 ， ， ， ， 则要证(mod3)ik(od3)iblik0,12l,3i明结论正确，只要证明存在不全为零的数 ， ， ，使得12(*)123123()0(m)kkll记 ，这里 1(od)lc,c情形（1）当 时，则 ，或者 ， 不全为零01kl1kl若 ，则取 ， ，有（*）式成立kl230若 ， 不全为零，不妨设
8、，则取 , , ,且1 1k12k130即(*)式.232211(mod)03,klll情形（2）当 或 2 时，即 c2()c记 ， ，这里 ， 31()(od)kl312(od3)klc1c20,令 ， ， ，则 ， ， 且不全为零，且1c2330,3123kkck213123()()(mod)clkclk，321()(mod)cl)od类似可以证明 230(l综上所述，可以取到不全为零的数 ， ， ，使得（*）式成立1230,115.解：问题等价于圆周上放置 个数，使得相邻数的乘积之和为最小，最小值记为 n nT不妨设 ，则数字 1 必与它相邻，否则设 （ ， ） ，则可将 ， ，1an
9、ja2jn2a3的数字改变为 ， ， 上的数字，则相邻数的乘积和的该变量为j jja21212112()(0jjj jj于是可确定 再说明数字 2 也必与数字 相邻，即 n2na事实上，若 （ ） ，则交换 ， ， 为 ， ， ，此时的目jajna1jj1jna标改变值为 1111()(0jnjnj jjn因此目标取到最小值时， ， ， 由此出发，依次可得 ，a2a31an 在已安排好的两端数字，若剩下的数比两端数字都小，则在剩下的数中找12na两个最小的数字，按小对大，大对小放置；若剩下的数比两端数字大，则在剩下的数字中找两个最大的数，按大对小，小对大放置由此规律即得 ， ， ，43a24n53an，34na下面用递推法计算 nT考虑 个数字，我们在 的数字排序中，将每个数字加 1，再放置 1， 这两个数2n 2n字，在 ， 的中间插入 ，1，即可得到 122nT因此， ，2()()()nT其中 ，11 2niiniaT由此可得 ，2245nT可以推出321,2,61,.nnm
