1、第 1 页 共 8 页数列1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、n数字、字母与项数 在变化过程中的联系，初步归纳公式。n（2）公式法：等差数列与等比数列 n-1n1a=+-d a=q（ ）（3）利用 与 的关系求 nSan1,()2nnS例 1，已知数列 ,=-3,nn na的 前 项 和 为 且 求 通 项 公 式例 2， 123a.(),na数 列 中 ， 求 通 项（4）构造新数列法；例 1. n n11n 2+a=n的 各 项 均 为 正 数 ， 且 满 足 ， ， 求例 2. n1n12a=a+na数
2、列 中 ， ， ， 求例 3. n1n2n1n4,2,a数 列 中 ， ， 求（5）逐项作差求和法；（叠加法）（6）逐项作商求积法（形如： ）1()nag为 常 数 判断一个数列为等差数列的方法1） 定义法： 1()nn nad常 数 ， （ N） 为 等 差 数 列2） 递推法： （性质）2n,（ ） a为 等 差 数 列3） nn通 项 法 ： 为 的 一 次 函 数 为 等 差 数 列4） 求和法： 2 nnABaS为 等 差 数 列 (S为 数 列 的 前 项 和 )例 1：已知数列 2,nnapqRpqa的 通 项 公 式 是 且 为 常 数pq） 当 和 满 足 什 么 条 件 时
3、 ， 数 列 是 等 差 数 列 ？12pnq） 求 证 ： 对 任 意 实 数 和 ， 数 列 是 等 差 数 列2.等差数列 中：na第 2 页 共 8 页（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性 d0,单调递增；d0，单调递减。（2） ；1()nad()mand（3） 也成等差数列，公差为 kd；k(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. k()n nnabab和 为 等 差 数 列 ， 则 数 列 ， 为 非 零 常 数 也 是 等 差 数 列(5) 仍成等差数列.（1212123, ,mmmmaa 32 2, -mS S-， 成 等 差 数 列 ， 则 （ S-）
4、=+（ ）例 1：在等差数列 n中 ， 前 项 的 和 30， 前 项 的 和 为 10， 试 求 它 的 前 3项 和解： na记 数 列 的 前 项 和 为 ， 由 等 差 数 列 前 项 和 的 性 质23223m2, -mmmS S-， 成 等 差 数 列 ， 则 （ S-） =+（ ）=0170,S， 得32-mm-（ ）+S（6） ， ， ，1()2nna1()2nSad21()ndSan例 1： 3,5,0n等 差 数 列 中 ， 求 的 前 项 和例 2：在等差数列 49n6=3中 ， 若 ， 求 的 值例 3： 122028,846nnS等 差 数 列 a的 前 项 和 为
5、若 ， ， 求例 4： 已 知 等 差 数 列 的 前 5项 和 为 ， 第 项 为 5， 求 1项-等 差 数 列 16， 2， 8， .前 几 项 和 为 7？(7)若 ，则 ；若 ，则mnpqmnpqaa2pqm2pqma，,()0pqa； ., ()pqSSmnnSd(8)“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；n第 3 页 共 8 页例 1： 12=0-3n.n naaa已 知 a为 等 差 数 列 ， ， 求123=-, .n nn nSa解 析 ： 有 正 有 负 ， 当 时 ， ， 当 时 ，12)30.nnnS时 ， ，2()317na123452)4a0
6、, .n nSa时 ，123()(.)n748例 2： n=-3n+104,an naN已 知 数 列 a的 通 项 公 式 求 数 列 的 前 项 和 T解： n n=-3+104.60,35,0， 得 ， 即 当 时 ， 当n21), nT当 时1.a2305nS2)35当 时 ， 12345=nTaa3436()()a341212n34nS220505(*)()例 3：等差数列 ？149n0, n=naS中 ， 则 取 最 大 值 时 ，（9）等差中项：若 成等差数列，则 叫做 的等差中项。,Ab2abA,（10） 2n1n, bn SSTnTa设 数 列 a， 为 等 差 数 列 ，
7、分 别 为 其 前 项 和 ， 则第 4 页 共 8 页例： 8a2nb,=3+1bn nS已 知 等 差 数 列 a， 的 前 项 和 分 别 为 和 T若 ， 求8152ab15()2ab153015462ST（11）若项数为 2n-1, 21(),(),-=a,1nnnSNS奇奇 偶 偶则+2n1211 12n=(a+),-=ndnnnn Sa 奇奇 偶 偶若 项 数 为 ， 则 S为 中 间 两 项 ，3.等比数列 中：na（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。（2） ；1naqnm（3） 、 成等比数列； 成等比数列 成等比数列.|
8、nnknab、 nab（4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.（5） 成等比数列.1211, ,mkkmaa （6） .1111() () nn nnqaqSq（7） ； .pqmnpb 22mpqpqbmnmnnmSqS（8） “首大于 1”的正值递减等比数列中，前 项积的最大值是所有大于或等于 1 的项的积；n“首小于 1”的正值递增等比数列中，前 项积的最小值是所有小于或等于 1 的项的积；（9）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数 同号时，实数 存在等比中项.对同号两,ab,ab实数 的等比中项不仅存在，而且有一对 .也就是说，两实数要么没有等比中项,ab G(非 同号
9、时)，如果有，必有一对(同号时)。（10）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法第 5 页 共 8 页11）连续 m 项的和（ .）仍成等比数列，注意：这连续 m 项的和必须232,mmS-，非零才能成立。若项数为 2n 时，则 =,qS偶奇nmnmSq例： 一个项数为偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的 4 倍，前 3 项之积为 64，求通项公式 设数列 1aa,nqS的 首 相 为 公 比 为 ， 全 部 奇 数 项 ， 偶 数 项 和 分 别 记 偶 、 奇 ，由 题 意 知 ： +=4S偶 奇 偶3q偶数 列 项 数 为 偶 数 ， 奇2164q又 a
10、64a12即 a1na=()3n故 所 求 通 项 公 式例： 11,2,nn已 知 数 列 中 ， 且 求解： 12n+a（ ）a则 数 列 是 公 比 为 的 等 比 数 列 ， 111=+q2nn（ ）n例： n 24354635a0, ,+=?naaa已 知 数 列 是 等 比 数 列 ， 且 求2 224354635+即 ()0+=n4.等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列5.数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式 ， ，123()2n 22213()216nn， .5 5()例：1. ,.n1379求 的 前 项 和第
11、 6 页 共 8 页11a()(2)2n n1. )357()(2nS n1()221n2. ,+.345求 的 前 项 和 1a(1)2()(2)nnn1 . 23435()(2)nS n11()2n34()n（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例 求和(1)2.()naa2 (1).()=-12.(n-)2na当 时 ，)()+.na当 时 ， （ ） （ ）1(12na=（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是
12、等差数列前 和公式的推导方法）.n（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！） （这也是等比数列前和公式的推导方法之一）.nn9a=n,a S10n已 知 数 列 （ +） ()求 的 前 项 和第 7 页 共 8 页29923.(1)100nnS()3 19.()0n)29=+-5101nn两 式 相 减 ， 得 ()()118)n()99(1)0nnS(5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： 1()1nn ，()kk 1(+1)2()()2nnn例：1. 1,.3579求 的 前 项 和 1a()(2)2n n1 1. )357()(2nS n()221n2. 1,+.345求 的 前 项 和 1a()2()(2)nnn111 . 23435()(2)nS n()2n34(1)n第 8 页 共 8 页
