1、1八年级阅读理解题专项练习1.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1， ABO 和 CDO 均为等腰直角三角形, AOB=COD =90若 BOC 的面积为 1， 试求以 AD、 BC、 OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积 图 1 图 2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长 CO 到 E, 使得 OE=CO, 连接 BE, 可证 OBE OAD, 从而得到的 BCE 即是以AD、 BC、 OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图 2） 请你回答：图 2 中 BCE 的面积等于
2、 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图 3，已知 ABC, 分别以 AB、 AC、 BC 为边向外作正方形ABDE、 AGFC、 BCHI, 连接 EG、 FH、 ID（1）在图 3 中利用图形变换画出并指明以 EG、 FH、 ID 的长 度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹） ；（2）若 ABC 的面积为 1，则以 EG、 FH、 ID 的长度为三边长的三角形的面积等于 图 3解： BCE 的面积等于 2 1 分 （1）如图（答案不唯一）2 分以 EG、 FH、 ID 的长度为三边长的一个三角形是 EGM . 3 分（2） 以 EG、 FH、 ID 的长度为三边长的三角形的面
3、积等于 3 5 分2.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的 点叫凸四边形的准内点如图 1， PHJ， IPG，则点 就是四边形 ABCD的准内点ADCOBEBOCDAI HGFAB CDEEDCBAGHI2（1 ）如图 2， AFD与 EC的角平分线 ,FPE相交于点 求证：点 P是四边形 B的准内点（2 ）分别画出图 3 平行四边形和图 4 梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） 3 如图所示，圆圈内分别标有 1，2，12，这 12 个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为 ，则电子 跳蚤连续跳（ ）步作
4、为一次跳跃，例如：n-3n电子跳蚤从标有数字 1 的圆圈需跳 步到标有数字 2 的圆圈1内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳 步到达标有数字 642的圆圈，依此规律，若电子跳蚤从开始，那么第 3 次能跳到的圆圈内所标的 数字为 ；第 2012 次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 4.ABC 是等边三角形， P 为平面内的一个动点，BP=BA ，若 PBC180 ，且PBC 平分线上的一点 D 满足 DB=DA，0（1 ）当 BP 与 BA 重合时（如图 1） ，BPD= ；（2 ）当 BP 在ABC 的内部时（如图 2） ，求BPD 的度数；（3 ）当 BP 在ABC 的外部时，请你直接写出B
5、PD 的度数，并画出相应的图形5请阅读下列材料：已知：如图（1）在 RtABC 中，BAC=90，AB = AC，点 D、E 分别为线段 BC 上两动点，若DAE=45.探究线段 BD、DE、EC 三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把AEC 绕点 A 顺时针旋转 90，得到ABE ，连结 ED，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1 ）猜想 BD、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 图（1）（2 ）当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时，如图（2） ，其它条件 不变， （1）中探究的结论是否发生改变？1112
6、10 987654321第 12 题图3请说明你的猜想并给予证明. 图（2）6.（石景山二）25 （1）如图 1，四边形 中， ， ，ABCDB60AC，请你 猜想线段 、 之和与线段 的数量关系，并证明你的20ADC结论；（2）如图 2，四边形 中， ， ，若点 为四边形60PB内一点，且 ，请你猜想线段 、 、 之和与线段 的120PPBD数量关系，并证明你的结论7.问题：如图 1，P 为正方形 ABCD 内一点，且 PAPBPC=123，求 APB 的度数小娜同学的想法是：不妨设 PA=1， PB=2，PC=3，设法把 PA、PB、PC 相对集中，于是他将 BCP 绕点 B 顺时针旋转
7、90得到BAE（如图 2），然后连结 PE，问题得以解决请你回答：图 2 中APB 的度数为 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图 3，P 是等边三角形 ABC 内一点，已知APB= 115，BPC=125（1 ）在图 3 中画出并指明以 PA、PB、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹） ；（2 ）求出以 PA、PB、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 EDDPPP CCC BBBAAA图 1 图 2 图 3图 2图4图2图1APPA AB CB C8.阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图 1，在 ABC（其中 BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，
8、AC=4，以 BC 为边在 BC 的下方作等边PBC，求 AP 的最大值。小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点 B 为旋 转中心将ABP 逆时针旋转 60得到A BC,连接 A,当点 A 落在 C上时,此题可解（如图 2）请你回答：AP 的最大值是 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等腰 RtABC边 AB=4,P 为ABC 内部一点， 则 AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）图3 CABP59.如图，在ABC 中， ,M 是 AB 的中点，动点 P 从点 A 出发，沿 AC 方向匀速运90C动到终点 C，动点 Q 从点 C 出
9、发，沿 CB 方向匀速运动到终点 B。已知 P，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连结 MP， MQ，PQ。在整个运动过程中， MPQ 的面积大小变化情况是（ ）A. 一直增大 B.一直减小C. 先减小后增大 D.先增大后减少10. （2012 山东省青岛市，23，10） （10 分）问题提出：以 n 边形的 n 个顶点和它内部的m 个点，共（m+n）个点为顶点，可把原 n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC 的三个顶点和它内部的一个点 P，共 4 个点为顶点，可把ABC 分割成多少个互不
10、重叠的小三角形？如图，显然，此时可把ABC 分割成 3 个互不重叠的小三角形.探究二：以ABC 的三个顶点和它内部的 2 个点 P、Q，共 5 个点为顶点，可把ABC 分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图ABC 的内部，再添加 1 个点 Q，那么点 Q 的位置会有两种情况：一种情况，点 Q 在图分割成的某个小三角形内部，不妨假设点 Q 在PAC 内部，如图；另一种情况，点 Q 在图分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点 Q 在 PA 上，如图；显然，不管哪种情况，都可把ABC 分割成 5 个互不重叠的小三角形.6探究三：以ABC 的三个顶点和它内部的 3 个点
11、P、Q、R，共 6 个点为顶点可把ABC分割成 个互不重叠的小三角形，并在图画出一种分割示意图.探究四：以ABC 的三个顶点和它内部的 m 个点，共（ m+3）个顶点可把ABC 分割成 个互不重叠的小三角形。探究拓展：以四边形的 4 个顶点和它内部的 m 个点，共（m+4 ）个顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形。问题解决：以 n 边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点，共（m+n ）个顶点，可把ABC 分割成 个互不重叠的小三角形。实际应用：以八边形的 8 个顶点和它内部的 2012 个点，共 2020 个点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）23. 【解析】
12、观察图形发现：内部每多一个点，则多 2 个三角形，从而得到一般规律为n+2(m-1)或 2m+n-2.根据根据规律逐一解答.【答案】探究三：7分割示意图.（答案不唯一）.探究四：3+2（m-1）或 2m+1 探究拓展：4+2（m-1）或 2m+2问题解决：n+2(m-1) 或 2m+n-2实际应用：把 n=8,m=2012 代入上述代数式，得 2m+n-2=22012+8-2=4024+8-2=4030.【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解题关键是结合图形，探寻其规律，发现规律才能顺利解题，体现特殊到一般的数学思想711.在由 mn（mn1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线
13、所穿过的小正方形个数 f，（1）当 m、n 互质（m、n 除 1 外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：猜想：当 m、n 互质时，在 mn 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数 f 与 m、n 的关系式是_（不需要证明） ；解：（2）当 m、n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立，17：解析：（1）通过题中所给网格图形，先计算出 25，34，对角线所穿过的小正方形个数 f，再对照表中数值归纳 f 与 m、n 的关系式.（2）根据题意，画出当 m、 n 不互质时，结论不成立的反例即可.解：（1）如表：f=m+n-1（2）当 m、n 不互质时，上述结论不成立，如图 24
14、24点评：本题是操作探究题，根据操作规则得出数据，并归纳总结其中规律，对于错误结论的证明，只要举出反例即可.mnf1 2 3 21 3 4 32 3 5 42 4 73 5 7f1 2 3 21 3 4 32 3 5 42 4 7 63 5 7 6812操作与探究：（1）对数轴上的点 进行如下操作：先把点 表示的数乘以 ，再把所得数对应的PP13点向右平移 1 个单位，得到点 的对应点 .点 在数轴上，对线段 上的每个点进行上述操作后得到线段 ，其中AB， ABAB点 的对应点分别为 如图 1，若点 表示的数是 ，则点 表示的， ， A3数是 ；若点 表示的数是 2，则点 表示的数是 ；已知线
15、段B上的点 经过上述操作后得到的对应点 与点 重合，则点 表示的数是 EE E；（2）如图 2，在平面直角坐标系 中，对正方形 及其内部的xOyABCD每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数，将得到的点先向右平移 个单位，再向上平移 个单位（amn） ，得到正方形 及其内部的点，其中点0mn ABC的对应点分别为 。已知正方形 内部的一个点ABAB经过上述操作后得到的对应点 与点 重合，求点 的坐标。FF F【解析】 （1）3 +1=0；设 B 点表示的数为 a， a+1=2，a=3；设点 E 表示的数为 a, 313a+1=a，解得 a=32(2)由点 A 到 A，可得方程
16、组 ；由 B 到 B，可得方程组 ，解102ma 320man得，设 F 点的坐标为（x,y ） ，点 F与点 F 重合得到方程组 ，解得12amn 12xy，即 F（1，4）xy【答案】 （1）0，3， （2）F（1，4）【点评】本题考查了根据给出的条件列出方程或方程组，并解方程组的知识。913.如图，长方形纸片 ABCD 中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图，在线段 AD 上任意取一点 E，沿 EB，EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图，沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分，并在线段 GH 上任意取一点 M，线段
17、 BC 上任意取一点 N，沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分；第三步：如图，将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180，使线段 GB 与 GE 重合，将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180，使线段 HC 与 HE 重合，拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为_cm，最大值为_cm解析：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来矩形的边 AD=6，左右两边的长等于线段 MN 的长，当 MN 垂直于BC 时，其长度最短，等于原来矩形的边
18、AB 的一半，等于 4，于是这个平行四边形的周长的最小值为 2（6+4）=20；当点 E 与点 A 重合，点 M 与点 G 重合，点 N 与点 C 重合时，线段 MN 最长，等于 ，此时，这个四边形的周长最大，24+6=13其值为 2（6+ ）=12+ 。13答案：20；12+ .4点评：本题需要较好的空间想象能力和探究能力，解题时可以边操作边探究。将最终的四边形的一周的线段分成长度不变的和可以变化的，然后研究变化的边相关的边的变化范围，这是一种转化思想。14.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第二
19、次操作，依次类推，若第 n 次余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为 n 阶准菱形，如图 1， ABCD 中，若 AB=1,BC=2,则 ABCD 为 1 阶准菱形.10(1)判断现推理:邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形是_阶准菱形;小明为了得剪去一个菱形,进行如下操作:如图 2,把 ABCD 沿 BE 折叠( 点 E 在 AD 上),使点落在边上的点 F,得到四边形,请证明四边形是菱形.(2)操作、探究、计算：已知的边长分别为 1，a(a1)且是 3 阶准菱形，请画出 ABCD 及裁剪线的示意图，并在下方写出的 a 值已知 ABCD 的邻边长分别为 a,b(ab),满足 a=6b+r,
20、b=5r,请写出 ABCD 是几阶准菱形【解析】 （1）根据邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；根据平行四边形的性质得出 AEBF ，进而得出 AE=BF，即可得出答案；（2）如图所示：a=6b+r， b=5r，a=65r+r=31r；如图所示：故 ABCD 是 10 阶准菱形（2）利用 3 阶准菱形的定义，即可得出答案；根据 a=6b+r，b=5r ，用 r 表示出各边长，进而利用图形得出 ABCD 是几阶准菱形【答案】(1) 2，由折叠知：ABE=FBE,AB=BF四边形 ABCD 是平行四边形AEBFAEB=FBE,AEB=ABE,四
21、边形 ABFE 是平行四边形,四边形 ABFE 是菱形,(2)a=4,a= ,a= ,a= .(图同解析)52 43 53【点评】此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知 n 阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键1115.如图，直角三角形纸片 ABC 中，AB=3，AC=4D 为斜边 BC 中点，第 1 次将纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与 AD 交于点 P1；设 P1D 的中点为 D1，第 2 次将纸片折叠，使点 A 与点 D1 重合，折痕与 AD 交于 P2；设 P2D1 的中点为 D2，第 3 次将纸片折叠，使点 A 与点 D2 重合，折痕与 AD 交于点 P3；
22、 ；设 Pn-1Dn-2 的中点为 Dn-1，第 n 次将纸片折叠，使点 A 与点Dn-1 重合，折痕与 AD 交于点 Pn（n2） ，则 AP6 的长为（ ）第 1 次折叠 第 2 次折叠 第 3 次折叠第 7 题图A. B. C. D. 12539521462317253【解析】先写出 AD、AD 1、AD 2、AD 3的长度，然后可发现规律推出 ADn的表达式，继而根据 APn=ADn即可得出 APn的表达式，也可得出 AP6的长【答案】【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力难度中等.16.右图中每一
23、个小方格的面积为 1，则可根据面积计算得到如下算式：= .27531n是 正 整 数表 示 ，用 n考点：数学归纳法，规律探索题12【解析】当 时：2n241231当 时：3395当 时：4 657猜想： =1n2【点评】在求解规律探索问题时，常常通过特殊到一般，通过特殊值时的结论，总结一般的结论。17.观察图形，解答问题：（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：图 图 图三个角上三个数的积 1(1)2= 2 (3)(4)(5)=60三个角上三个数的和 1( 1)2=2 (3)( 4)(5)=12积与和的商 22= 1,（2）请用你发现的规律求出图中的数 y 和图中的数 x 【解析】模仿图中的
24、第三格（三个角上三个数的积与三个角上三个数的和的商）图的第三格：(60)(12)=5 图的第三格 17010=17，模仿前面的得到图 的第一格（三个角上三个数的积）(2) (5)17=170 第二格（三个角上三个数的和）(2) (5)17=10；（2）发现的规律是：中间的数 所以图三 个 角 上 三 个 数 的 积三 个 角 上 三 个 数 的 和 5(8)930y图中： 解之得：135x2x【答案】解: 图：(60)(12)=5 1 分图：(2) (5)17=170，2 分(2)(5)17=10， 3 分17010=17 . 4 分图：5(8)( 9)=3605 分5(8)(9)= 176
25、分y=360(12)=30.7 分图： ， 9 分31x解得 10 分2【点评】本题主要考查考生对所给图形的观察、理解和模仿能力，同时也考查了有理数的加减乘除运算能力。难度中等.18.某班级为筹备运动会，准备用 365 元购买两种运动服，其中甲种运动服 20 元/套，乙种运动服 35 元/套，在钱都用尽的条件下，有 种购买方案【答案】2。【考点】二元一次方程（不定方程）的应用。【分析】设甲种运动服买 x套，乙种买 y套钱都用尽，根据题意列出方程：y x1320 x35 y365 得 x734y，根据 x， y必须为整数，化为 x1824y。要使 为整数， 1要被 4 整除。同时考虑到 35 3
26、65，即 y1037，所以 只能取 3，7。故在钱都用尽的条件下，有 2 种购买方案：甲种运动服买 13 套，乙种买 3 套；甲种运动服买 6 套，乙种买 7 套。19.两个全等的梯形纸片如图(1)摆放，将梯形纸片 ABCD 沿上底 AD 方向向右平移得到图(2)已知 AD4，BC 8，若阴影部分的面积是四边形 ABCD 的面积的 ，则图(2)中平移13距离 AA . 【答案】3。【考点】平移的性质，一元一次方程的应用（几何问题） 。【分析】设 AAx，则根据平移的性质，得AD4 x，BC8x ，AD6x ，BC 8 x。设梯形的高为 a，四边形 ABCD 的面积为11AD+BCa4x8a6x
27、22 ，阴影部分的面积为1AD+BCa462 -。由阴影部分的面积是四边形 ABCD 的面积的 ，得1xaa3，解得 x3。1320.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角A=30 ，B=90，BC=6 米当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE= 米时，有 DC2=AE2+BC2【答案】143。【考点】一元二次方程的应用，含 30 度角直角三角形的性质，勾股定理。【分析】根据已知，坡角A=30， B=90，BC=6 米，AC=12 米。正方形 DEFH 的边长为 2 米，即 DE=2 米，设 AE= x，可得 EC=12 x，利用勾股定理得
28、出 DC2=DE2+EC2=4+（ 12 x）2， AE2+BC2= x2+36， DC2=AE2+BC2，4+（12 ）2= 2+36，解得：14143x=米。21.（ 2011 辽宁营口 14 分）已知正方形 ABCD，点 P 是对角线 AC 所在直线上的动点，点 E在 DC 边所在直线上，且随着点 P 的运动而运动，PEPD 总成立(1)如图(1)，当点 P 在对角线 AC 上时，请你通过测量、观察，猜想 PE 与 PB 有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；(2)如图(2)，当点 P 运动到 CA 的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由
29、；(3)如图(3)，当点 P 运动到 CA 的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时 PE 与 PB 有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)(1) (2) (3)【答案】解：(1)PE PB， PEPB。(2) (1)中的结论成立。证明如下：四边形 ABCD 是正方形， AC 为对角线，CDCB，ACD ACB。又 PC PC，PDC PBC（ SAS） 。PDPB。PEPD，PEPB。由PDCPBC，得 PDCPBC 。又 PEPD，PDE PED。 PDE PDC PECPBC180。EPB360 ( PECPBCDCB)90 。PEPB。(3)画出图形，结论： P
30、EPB，PEPB。15【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，多边形内角和定理，三角形外角定理。【分析】(1) 由PDC PBC（SAS）和 PEPD 可得 PEPB。BPE BPCCPEDPC CPE（全等三角形对应角相等）DPCDPC DPE2 DPCDPE2DPC（18002 PDE） （三角形内角和定理和等腰三角形底角相等）2（DPCPDE）18002（1800 PCD）1800 （三角形内角和定理）2（1800450 ）1800 （正方形的性质）90。PEPB。（2）由PDCPBC （SAS）和 PEPD 可得 PEPB。由四边形内角和为 3
31、600 可证。（3）由PDCPBC （SAS）和 PEPD 可得 PEPB。BPE CPE CPB（1800450CEP）（450CBP ）90 。PEPB。22.已知线段 AB=6，C、D 是 AB 上两点，且 AC=DB=1，P 是线段 CD 上一动点，在 AB 同侧分别作等边三角形 APE 和等边三角形 PBF，G 为线段 EF 的中点，点 P 由点 C 移动到点 D 时，G 点移动的路径长度为_.解答：解：如图，分别延长 AE、BF 交于点 HA=FPB=60，AHPF，B=EPA=60，BHPE，四边形 EPFH 为平行四边形，EF 与 HP 互相平分G 为 EF 的中点，G 也正好
32、为 PH 中点，即在 P 的运动过程中，G 始终为 PH 的中点，所以 G 的运行轨迹为三角形 HCD 的中位线 MNCD=611=4，MN=2，即 G 的移动路径长为 2故答案为 2A C P D BEGF1623.探究：如图，在 AABCD 的形外分别作等腰直角ABF 和等腰直角 ADE，FAB=EAD=90，连接 AC、EF在图中找一个与 FAE 全等的三角形，并加以证明应用：以 AABCD 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图，连结EF、GH、IJ、KL 若 ABCD的面积为 5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为 【答案】探究：FAECDA，证明如下：在平行四边形 ABCD 中，
33、AB=CD，BAD+ ADC=180。等腰直角ABF 和等腰直角ADE 中，AF=AB，AE=AD ，FAB=EAD=90，FAE+BAD=180。FAE=ADC。FAE CDA（SAS）应用：10。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质。【分析】首先由 SAS 可证明FAECDA，则阴影部分四个三角形的面积和是 AABCD 的面积的 2 倍，据此即可求解：四个三角形的面积和为 25=10。24.如图，点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，且 BE=BC，AB=3，BC=4，点 P 为直线EC 上的一点，且 PQBC 于点 Q，PRBD 于点 R。
34、（1 ）如图 1，当点 P 为线段 EC 中点时，易证：PR+PQ= 512（不需证明） 。（2 ）如图 2，当点 P 为线段 EC 上的任意一点（不与点 E、点 C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。（3 ）如图 3，当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则 PR 与 PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。17【答案】解：(2) 图 2 中结论 PRPQ125仍成立。证明如下：连接 BP, 过 C 点作 CKBD 于点 K。四边形 ABCD 为矩形，BCD90 。又 CD=AB=3， BC=4B
35、D 22DB345。SBCD1BCCD BDCK，345CK。 CK=125。SBCE 2BECK，SBEP12PRBE，S BCP PQBC，且 SBCE SBEPSBCP，1BECK PRBE PQBC 。又 BE BC，12CK PR12PQ。 CKPRPQ 。又 CK 5，PRPQ 5 。(3) 图 3 中的结论是 PRPQ=1【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，等量代换。【分析】 （2）连接 BP，过 C 点作 CKBD 于点 K。根据矩形的性质及勾股定理求出 BD 的长，根据三角形面积相等可求出 CK 的长，最后通过等量代换即可证明。（3 ）图 3 中的结论是 PRPQ=
36、125。如图，同（2）有 CK=125。SBCE12BECK，SBEP PRBE，S BCP PQBC，且 SBCE SBEPS BCP， BECK PRBE PQBC 。又 BE BC，12CK PR12PQ。 CKPRPQ 。又 CK 5，PRPQ 5 。15.（ 2011 黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西 8 分）在正方形 ABCD 的边AB 上任取一点 E，作 EFAB 交 BD 于点 F，取 FD 的中点 G，连接 EG、CG，如图（1） ，易证 EG=CG 且 EGCG18（1 ）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 90，如图（2 ） ，则线段 EG 和 CG 有怎样的数量
37、关系和位置关系？请直接写出你的猜想（2 ）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 180，如图（3） ，则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明【答案】解：（1） EG=CG，EGCG。（2 ） EG=CG，EGCG。证明如下：延长 FE 交 DC 延长线于 M，连 MGAEM=90，EBC=90 ，BCM=90 ，四边形 BEMC 是矩形。 BE=CM， EMC=90。又 BE=EF，EF=CM 。EMC=90，FG=DG， MG= 12FD=FG。BC=EM，BC=CD，EM=CD。EF=CM， FM=DM。F=45。又 FG=DG， CMG= 12EMC=
38、45， F=GMC。又 FG=MG，GFE GMC（SAS） 。EG=CG，FGE=MGC。FMC=90，MF=MD，FG=DG，MG FD。FGE+ EGM=90。MGC+EGM=90。即 EGC=90。EG CG。 【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】从图（1）中寻找证明结论的思路：延长 FE 交 DC 延长线于 M，连 MG构造出GFEGMC易得结论；在图（2） 、 （3 ）中借鉴此解法证明。25.如图 (1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形 AFBDCE，它的面积为 1，取ABC 和 DEF 各边中点，连接成正六角
39、星形 A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取A1B1C1 和 1D1E1F1 各边中点，连接成正六角星形 A2F2B2D2C2E 2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去，则正六角星形 AnFnBnDnCnE nF n 的面积为 .【答案】 14n1926.等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高求证；等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。已知：等腰三角形 ABC 中，ABAC，BC 上任意点 D，DEAB，DFAC，BHAC 求证： DEDFBH 证法一：连接 AD则ABC 的面积AB
40、*DE/2AC*DF/2(DEDF)*AC/2 而ABC 的面积BH*AC/2 所以：DEDFBH 即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高 证法二：作 DGBH，垂足为 G因为 DGBH，DFAC，BHAC所以四边形 DGHF 是矩形所以 GHDF因为 ABAC所以EBDC因为 GD/AC所以GDBC所以EBDGDB又因为 BDBD所以BDEDBG（ASA）所以 DEBG所以 DEDFBGGHBH证法三：提示：20过 B 作直线 DF 的垂线，垂足为 M运用全等三角形同样可证另外运用三角函数也能进行证明如果 D 在 BC 或 CB 的延长线上，有下列结论：|DEDF|BH问题
41、：这个问题的另外一个表达形式：将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的21如图，已知等边三角形 ABC 和点 P，设点 P 到三角形 ABC 三边 ABACBC(或其延长线）的距离分别为 h1、h2、h3，三角形 ABC 的高为 h。解答提示：如图，过 P 作 BC 的平行线交 AB、AC 的延长线于 G、H，作 HQAG先证明 PDPEHQ（见：）而 HQAN，FPMN所以 PDPEPFANPFAMMNPFAM即 h1h2h3h另外一个变式问题：已
42、知：如图，在ABC 中，C90，点 D、P 分别在边 AC、AB 上，且BD=AD，PEBD，PFAD，垂足分别为点 E、F。 （1）当A30时，求证：PE+PFBC （2）当A30（AABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明：如果不正确，请说明理由。22腰长 5 厘米 底边长 6 厘米 p 是底边任意一点 pd 垂直于 ab pe 垂直于 ac 垂足为 d e pd+pe=解：作底边 BC 上的高 AM，设腰上的高h，连接 PA因为 ABAC5，BC6所以 BMCM3所以根据勾股定理得 AM4因为 SABCBC*AM/2AB*h/212所以 h24/5因为 SABCSABP
43、SACPAB*PD/2AC*PE/2所以 5*PD/25*PE/212所以 PDPE24/5如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，矩形的两天边长 AB/BC 分别为8 和 15，求点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和。 解：设 AC、BD 交于 O，作 AEBD，PMAC，PNBD，连接 OP因为 AB8，BCAD15所以根据勾股定理得 BD17因为 SABCAB*AD/2AE*BD/223所以可得 AE120/17因为四边形 ABCD 是矩形所以 OAOD因为 SOADSOPASOPDOA*PM/2OD*PN/2（PMPN）*OD/2SOADAE*OD/2
