1、2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差（一）教学目标1理解随机变量的方差和标准差的含义；2会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题教学重点：理解离散型随机变量的方差、标准差的意义教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题教学过程一、自学导航1复习：离散型随机变量的数学期望X 1x 2x nxP p p p，12inExx 数学期望是反映离散型随机变量的平均水平特殊的分布的数学期望若 X0-1 分布 则 E(X) p；若 XB(n,p) 则 E(X) np；若 XH(n,M,N) 则 E(X) n2思考：甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产 件产品
2、所出的不合格品数10分别用 表示， 的概率分布如下如何比较甲、乙两个工人的技术？12,X12,X1X0 1 2 3kp0.6 0.2 0.1 0.120 1 2 3kp0.5 0.3 0.2 03学生活动我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？二、探究新知1一般地，若离散型随机变量 的概率分布如表所示：XX 1x 2x nxP p p则 描述了 相对于均值 的偏离程度，2()()ixE(1,.)ixn故 ，2211.xp（其中 ）120,.i npnp刻画了随机变量 与其均值 的平均偏离程度，我
3、们将其称为离散型随机变量 的方差，X X记为 或 ()V22方差的意义:方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量.如果 V(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, EX 的代表性差;而如果 V(X) 值小, 则表示 X 的取值比较集中,以 EX 作为随机变量的代表性好.3方差公式也可用公式 计算21()niVXxp4随机变量 的方差也称为 的概率分布的方差， 的方差 的算术平方根称为X()V的标准差，即 X()思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？三、例题精讲例 1 若随机变量 的分布如表所示：求方差 和标准差 ()VX()VX解：因为 ，所以 01p，22()()(1)p
4、X 0 1 P 1-p p()(1)VXp例 2 求第 节例 1 中超几何分布 的方差和标准差.5(5,103)H解：第 节例 1 中超几何分布如表所示：X 0 1 2 3 4 5P 25843705807157021423数学期望 ，由公式 有21()niVXxp22584058037045()0149162()37753713VX.91故标准差 8例 3 求第 节例 2 中的二项分布 的方差和标准差 .5(10,.5)B解： ，则该分布如表所示：0pX0 1 2 3 4 5kp01()Cp9()p810()C710()p610()Cp510()6 7 8 9 10k410()310()21
5、0()110()0()由第 节例 2 知 ，由 得.5.5EX21niVXxp20102192100210.9.5.9.5CCC.75475故标准差 .68说明：一般地，由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式：当 时， ，(,)XHnMN2()()1nNMnVX当 时， ,Bp1p当 X01 分布时， ()1)VXp例 4 有甲、乙两名学生，经统计，他们字解答同一份数学试卷时，各自的成绩在 80 分、90分、100 分的概率分布大致如下表所示：分数 X 甲 80 90 100 分数 X 乙 80 90 100甲概率 0.2 0.6 0.2乙概率 0.4 0.2 0.4试分析两名学生的
6、答题成绩水平解：由题设所给分布列数据，求得两人的均值如下：，XE甲（ ） =80.2+9610.2=9XE乙（ ） =80.4+9210.4=9方差如下： 222().(0).6(1).V甲 8094909480X乙由上面数据可知 ，()(),()EXVX乙 乙甲 甲这表明，甲、乙两人所得分数的平均分相等，但两人得分的稳定程度不同，甲同学成绩较稳定，乙同学成绩波动大四、课堂精练(1)课本 701,2P(2)设 X B( n, p )，如果 E（ X）= 12， V（ X）= 4，求 n, p (3)设 X 是一个离散型随机变量，其分布列如下：求 q 值，并求 E（ X） ， V（ X） .X -1 0 1P 0.5 1-2q q2甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量大致相等，而两个野生动物保护区每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布如表，试评定这两个保护区的管理水平.(甲) (乙)五、回顾小结X 0 1 2 3P 0.3 0.3 0.2 0.2Y 0 1 2P 0.1 0.5 0.41离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义；2离散型随机变量的方差和标准差的计算方法；3超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法六、拓展延伸书本 P71 探究拓展题七、课后作业 2，3，471P八、教学后记
