1、数值分析,数 值 分 析 Numerical Analysis机械与汽车工程学院 主讲人：孔胜利 2012-09-01,数值分析,教材 (Text Book),数值分析（第4版） 李庆扬 王能超 易大义 清华大学出版社工程数值分析 王立秋 魏焕彩 周学圣 山东大学出版社Introduction to Numerical Analysis (Second Edition) J. Stoer, R. Bulirsch Springer-VerlagMatlab与数值分析Fortran编程,数值分析,数值分析商业软件,MATLAB,数值分析,数值分析商业软件,MAPLE,数值分析,数值分析商业软件
2、,MATHEMATICA,数值分析,第1章 绪论 第2章 插值法 第3章 函数逼近与曲线拟合 第4章 数值积分与数值微分 第5章 解线性方程组的直接法 第6章 解线性方程组的迭代法 第7章 非线性方程求根 第8章 常微分方程初值问题解法,课程主要内容,数值分析,第1章 绪论,数值分析的研究对象与特点误差基础知识误差分析,数值分析,1.1 数值分析的对象与特点,数值分析：用计算机求解实际问题的数值计算方法和理论。数值分析的特点： 1. 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。 2. 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证 收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析
3、。 3. 要有好的计算复杂性。 4. 要经过数值实验的验证。,数值分析,数值分析的对象与特点,算法：用计算机解决数学问题而构造的能用数值计算的实施方案，其 主要特点有： 1. 必须是构造性的；（反证法） 2. 必须是能通过数值演算的方法；（图解法） 3. 必须是一种实施方案。课程学习的方法：1. 掌握方法的基本原理与思想，2. 通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题，3. 一定数量的理论分析与计算练习。,数值分析,1.2 误差基础知识,误差的来源：从实际问题中抽象出数学模型 模型误差 /* Modeling Error */通过测量得到模型中参数的值 观测误差 /* Measureme
4、nt Error */求近似解 方法误差或截断误差 /* Truncation Error */机器字长有限 舍入误差 /* Roundoff Error */,数值分析,截断误差 高等数学中有许多运算，如求极限、求导数、求定积分、求级数的和 等等都是无限的运算，而在计算机上运算时，只能作有限次的运算。 例如，已知指数函数的泰勒级数为实际计算x=x0处的函数值时，只能取展开式的前n+1项，即其截断误差为泰勒公式的余项,数值分析,舍入误差 无理数可表示为无限不循环小数，有些分数可表示为无限循环小数。 在实际计算中只能取有限位，而取有限位的方法不是截断，而是用舍 入的方法取近似值。例如：用四舍五入
5、法取的小数点后四位的近似值为而小数点后取两位则为其它如：自然对数e、开方、三角函数等。,数值分析,误差的基本概念绝对误差其中：x为精确值，x*为近似值绝对误差限 若 ，则称x的近似数x*的绝对误差限为 即相对误差相对误差限 若 ，则称 为近似数的相对误差限注意：绝对误差限是有量纲的，而相对误差限是无量纲的。,数值分析,1.3 误差分析,有效数字 若x的近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的左面第一 位非零数字共有n位，就说x*有n位有效数字。也就是说，如果近似数 x*满足则用x*近似表示x时，精确到小数之后的第k位。 由此可知：用四舍五入法取精确值的前n位x*（不含左边的零）作为
6、近似值，则x*有n位有效数字。,注：两数之和（差）结果保留的有效位数与有效数字位数较少的加数相同；两数之积（商）结果保留的有效位数与有效数字位数较少的因数相同。,数值分析,误差估计 两个近似数x1*和x2* ，其误差限分别为(x1*)和(x2*) ，它们进 行加减乘除运算得到的误差限分别为和差的误差估计乘积的误差估计商的误差估计,数值分析,更一般的情况是，当自变量有误差时计算函数值也产生误差，其误差限可利 用函数的泰勒展开式进行估计。 设 是一元函数，x的近似值是x*，以 近似 ，其误差界记作，则函数的误差限当 为多元函数 时，其近似值为 ，则 其误差为,数值分析,数值分析,例题 已测得某场地长l的值为 ，宽d的值为 ，已知 ， 。试求面积s=dl的绝对误差限与相对误差限。 解：,数值分析,算法的稳定性构造算法中应注意的问题： 算法的优劣；计算量的大小；存储量的多少；逻辑结构是否简单计算中应注意的问题： 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 要防止大数“吃掉”小数； 要避免两个同号的相近的数相减； 要尽量减少计算次数。,数值分析,习题,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,
