1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十二)定积分在几何中的应用一、选择题(每小题 3 分，共 12 分)1.(2014广州高二检测)用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是( )A. f(x)dxB. f(x)dxC. f(x)dx+ f(x)dxD. f(x)dx- f(x)dx【解析】选 D.因为在区间a，b上 f(x)0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积 S 为如图所示阴影 部分面积.所以 S= dx=lnx=ln2-ln1=ln2.3.已知 a=(sinx，cos
2、x)，b=(cosx，sinx)，f(x)=ab ，则直线x=0，x= ，y=0 以及曲线 y=f(x)围成平面图形的面积为( )A. B. C. D.【解题指南】求出函数解析式，确定积分区间，利用定积分的几何意义计算面积.【解析】选 C.由 a=(sinx，cosx)，b=(cosx，sinx)，来源:gkstk.Com得 f(x)=ab=2sinxcosx=sin2x，当 x 时，sin2x0；当 x 时，sin2x0)围成图形的面积是 ，则c 等于( )A. B. C.1 D.【解析】选 B.由 得交点(0，0)， ，则 S= (x2-cx3)dx= = - = ，c= .【误区警示】解
3、答此题时往往误认为积分上限是 1，积分区间错误的确定为0，1.确定积分区间必须通过解曲线交点确定.二、填空题(每小题 4 分，共 8 分)5.直线 x= ，x= ，y=0 及曲线 y=cosx 所围成图形的面积为_.【解析】由题意画草图：由图形知面积为S= cosxdx=- cosxdx=-sinx=-(-1-1)=2.答案：26.(2014青岛高二检测)由曲线 y2=2x，y=x-4 所围图形的面积是_.【解析】如图，为了确定图形的范围，来源:gkstk.Com先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组 得交点坐标为(2，-2)，(8，4).因此所求图形的面积 S= dy.取 F(y)= y2+4
4、y- ，则 F(y)=y+4- ，从而 S=F(4)-F(-2)=18.答案：18【一题多解】联立方程组， 来源:学优高考网 gkstk解得：(2，-2)，(8，4)，S=2 dx+ ( -x+4)dx=18.答案：18三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7.(2013沈阳高二检测)求曲线 y=x2和直线 x=0，x=1，y=t 2，t(0，1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.【解题指南】将阴影部分的面积表示为定积分，建立面积的目标函数求最小值.【解析】由定积分与微积分基本定理，得 S=S1+S2= (t2-x2)dx+ (x2-t2)dx= +=t3- t3+ -t2-
5、t3+t3= t3-t2+ ，t(0，1)，所以 S=4t 2-2t，所以 t= 或 t=0(舍去).当 t 变化时，S，S 变化情况如下表：tS - 0 +S 极小值 所以当 t= 时，S 最小，且 Smin= .【拓展延伸】复杂图形面积的两个求解策略(1)由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图象对各段分别求面积进而求和.来源:gkstk.Com(2)若积分变量选取 x 运算较为复杂，可以选 y 为积分变量，同时更改积分的上、下限.8.(2014潍坊高二检测)如图，直
6、线 y=kx 分抛物线 y=x-x2与 x 轴所围图形为面积相等的两部分，求 k 的值.【解题指南】所围图形的面积可用定积分表示，从而确定出要求的参数.【解析】抛物线 y=x-x2与 x 轴两交点的横坐标 x1=0，x 2=1，所以，抛物线与 x轴所围图形的面积S= (x-x2)dx= = - = .由 可得抛物线 y=x-x2与 y=kx 两交点的横坐标为 x 1=0，x 2=1-k，所以 = (x-x2-kx)dx= = (1-k)3.又 S= ，所以(1-k) 3= .于是 k=1- =1- .所以 k 的值为 1- .一、选择题(每小题 4 分，共 12 分)1.由曲线 y=x2，y=
7、x 3围成的封闭图形面积为( )A. B. C. D.【解析】选 A.由 得交点为(0，0)，(1，1).所以 S= (x2-x3)dx= .2.直线 x=-1，x=1，y=0 与偶函数 y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为 f(x)dx； f(|x|)dx； |f(x)|dx； 2|f(x)|dx.其中，正确表示的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选 C.由于偶函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称，当 f(x)0 时，平面图形的面积为 f(x)dx= 2f(x)dx；当 f(x)0)在曲线 y=x2上，若阴影部分面积与OAP 面积相等，则 x0=_.【解析】S 阴
8、= x2dx= - 03= ，S OAP = x0= x0，由题意知= x0，因为 x00，所以 x0= .来源:gkstk.Com答案：5.设曲线 y=2cos2x 与 x 轴、y 轴、直线 x= 围成的面积为 b，若 g(x)=2lnx-2bx2-kx 在1，+)上单调递减，则实数 k 的取值范围是_.【解析】由题意 b= 2cos2xdx=sin2x =sin = ，所以 g(x)=2lnx-x2-kx，所以 g(x)= -2x-k，因为 g(x)=2lnx-2bx2-kx 在1，+)上单调递减，所以 g(x)= -2x-k -2x 在1，+)上恒成立.因为 -2x 在1，+)上递减，所以 -2x0，所以 k0.
