1、2.3.2 向量数量积的运算律 (2)自主学习知识梳理熟悉以下计算结果(1)a2aa_；(2)(ab )2_；(3)(ab )2_；(4)(ab )(ab )_ _；(5)|ab| 2|a b|2_.自主探究在代数式的运算中，我们知道：ab0a 0 或 b0；(ab)c a(bc)类比到向量的数量积运算 ab0 a0 或 b0，(ab)c a(bc)还成立吗？对点讲练知识点一 向量数量积的运算律例 1 给出下列结论：若 a0，ab0，则 b0；若 abbc，则 ac；(ab)ca(bc )；ab(ac)c( ab)0 其中正确结论的序号是 _回顾归纳 向量的数量积 ab 与实数 a、b 的乘积
2、 ab 有联系，同时有许多不同之处例如，由 ab0 并不能得出 a0 或 b0.特别是向量的数量积不满足结合律，即(ab) ca( bc)变式训练 1 设 a，b，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：ac bc(a b)c ；(bc)a(c a)b 不与 c 垂直 ；|a |b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a| 24| b|2.其中正确的序号是_知识点二 向量数量积及其运算律的应用例 2 已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且| a|4，|b| 2，求：(1)(2a b)(a 3b)；(2)|3a4b| ；(3)|(ab)(a2b)|.回顾归纳 (1)|a| 要作
3、为计算模的公式记住并灵活应用a2(2)对于第(3)小题要注意|(a b)(a2b)|ab|a2b|.变式训练 2 若向量 a 与 b 不共线，ab0，且 ca b，则向量 a 与 c 的夹角为( )(aaab)A0 B. C. D.6 3 2知识点三 利用平面向量的数量积解决垂直问题例 3 求证：ABC 的三条高交于一点回顾归纳 非零向量 ab0 a b 是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握变式训练 3 若 O 为ABC 所在平面内一点，且满足( )( 2 )0，则ABC 的OB OC OB OC OA 形状为( )A正三角形 B等腰三角形C直角三角形 D
4、A 、B、C 均不正确1在实数中，若 ab0 则 a0 或 b0，但是在数量积中，即使 ab0，也不能推出 a0 或b0，因为其中 cos 有可能为 0.2在实数中，若 abbc ，b0 则 ac，在向量中 abbc，b0D/ ac.3向量的数量积对结合律一般不成立，(a b)c 是一个与 c 共线的向量，而( ac)b 是一个与 b 共线的向量，两者一般不同. 23.2 向量数量积的运算律(2)答案知识梳理(1)|a|2 (2)a 22abb 2 |a| 22ab|b| 2(3)a22abb 2 | a|22ab |b|2(4)a2b 2 |a| 2| b|2 (5)2|a| 22| b|2
5、自主探究解 以上两条结论类比到向量的数量积都不再成立由 ab0 不能推出 a0 或 b0.例如a0，b0，但a，b90.另外，向量乘法不适合结合律，即(ab) c 不一定等于 a(bc)，这是因为( ab)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线对点讲练例 1 解析 因为两个非零向量 a、b 垂直时，ab0，故不正确；当 a0，b c 时，abbc 0，但不能得出 ac ，故 不正确；向量(ab) c 与 c 共线，a( bc)与 a 共线，故不正确；ab(ac)c(ab)(ab)( ac)(ac)(ab)0，故正确变式训练 1 例
6、2 解 (1)(2ab)( a3b )2a 26abab3b 22| a|2 5ab 3|b|2216542cos 120340.(2)|3a4b| 2(3a4b) 29a 224ab16b 291624(4)1641619|3 a 4b|4 .19(3)(a b)(a 2b)a 22ab ab2b 216(4) 2412，|( ab)( a2 b)|12.变式训练 2 D例 3 证明 如图所示，已知 AD、BE、CF 是ABC 的三条高，设 BE、CF 交于 H，且令 b，AB c， h，可得 hb， hc， cb.AC AH BH CH BC ， ，BH AC CH AB (hb )c0， (hc) b0，(hb )c( hc) b，化简得 h(cb)0. ， AH 与 AD 重合，AH BC AD、BE、CF 相交于一点 H.变式训练 3 B高考试|题 库
