1、1.3.3 函数的最大(小)值与导数教学建议1.教材分析本节是函数的极值的继续和发展,介绍了最值的求法.因此,本节的重点、难点是求闭区间a,b上函数 f(x)的最大值和最小值 .2.主要问题及教学建议(1)函数的极值与最值 .建议教师利用函数图象让学生直观感受函数极值和最值的联系和区别.(2)求函数的最值 .建议教师利用具体的例子,归纳、总结求函数最值的方法;另外,可适当选配一些题目帮助学生理解和掌握.(3)含参数的问题 ,归纳清楚分类的几种常见情况 .备选习题1.已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b 在-1,2上有最大值 3,最小值-29, 求 a,b 的值.解:依题意,显然 a0.因为
2、 f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),x-1,2,所以令 f(x)=0,解得 x1=0,x2=4(舍去).若 a0,当 x 变化时,f(x),f(x) 的变化情况如下表:x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2f(x) + 0 -f(x)-7a+b 极大值 -16a+b由上表知,当 x=0 时,f(x)取得最大值,所以 f(0)=b=3.所以 f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,故 f(-1)f(2).所以当 x=2 时 ,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,a=2.若 af(-1).所以当 x=2 时 ,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,a=-2.综
3、上所述,所求 a,b 的值为2.已知 f(x)=x2-aln x,求 f(x)在 1,+)上的最小值.解:f(x)=2x- ,当 a0 时,f(x)0,f(x)在1,+) 上单调递增,故 f(x)min=f(1)=1;当 a0 时,令 f(x)=0 得 x1=- (舍去),x 2= .若 1 即 01 即 a2 时,f(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:xf(x) - 0 +f(x) 极小值 故在 x= 时 f(x)取极小值也为最小值,所以 f(x)min=f ln .综上所述:当 a2 时,f(x) min=f(1)=1;当 a2 时,f(x) min=f ln .3.已知函数 f(x)=xln x.(1)求 f(x)的最小值;(2)若对所有 x1 都有 f(x)ax-1,求实数 a 的取值范围.解:(1)f(x) 的定义域为(0,+ ),f(x)的导数为 f(x)=1+ln x.令 f(x)0,解得 x ;令 f(x)1-a 0,故 g(x)在(1,+ )上为增函数,所以 x1 时,g(x)g(1)=1-a 0,即 f(x)ax-1.若 a1,方程 g(x)=0 的根为 x0=ea-1,此时,若 x(1,x0),则 g(x)1 时,因为 g(x)= 0,故 g(x)是(1,+ )上的增函数,所以 g(x)的最小值是 g(1)=1.所以 a 的取值范围是(- ,1.
