1、3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课时演练促提升A 组1.下列说法中正确的是( )A.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底B.不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底C.单位正交基底中的基向量模为 1 且互相垂直D.不共面且模为 1 的三个向量可构成空间的单位正交基底解析:单位正交基底中的三个向量必须是模等于 1,且两两垂直,因此只有选项 C 正确.答案:C2.设 x=a+b,y=b+c,z=c+a,且 a,b,c是空间的一个基底,给出下列向量组: a,b,x, x,y,z, b,c,z, x,y,a+b+c,其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A.1 个 B.2 个 C.
2、3 个 D.4 个解析:如图,令 a=,b=,c=,则 x=,y=,z=,a+b+c=.由 A,B1,C,D1 四点不共面,可知向量 x,y,z 也不共面,同理 b,c,z 和 x,y,a+b+c 也不共面,故选 C.答案:C3.已知空间四边形 OABC,M,N 分别是 OA,BC 的中点,且= a,=b,=c,用 a,b,c 表示向量为( )A.a+b+c B.a-b+cC.-a+b+c D.-a+b-c解析:如图,b+c-a=-a+b+ c.答案:C4.已知向量 p 在基底a,b,c 下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量 p 在基底i,j,k下的坐标是
3、( )A.(12,14,10) B.(10,12,14)C.(14,12,10) D.(4,3,2)解析:= 8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.答案:A5.设 OABC 是四面体,G 1 是ABC 的重心,G 是 OG1 上的一点,且 OG=3GG1,若=x+y+z,则(x ,y,z)为( )A. B.C. D.解析:如图,由已知=)=)=()+()=,从而 x=y=z=.答案:A6.设命题 p:a,b,c为空间的一个基底 ,命题 q:a,b,c 是三个非零向量,则命题 p 是 q 的 条件. 解析:若a,b,c为空间的一个基底 ,则 a,b,
4、c 一定不共面.故 a,b,c 中一定没有零向量;但当 a,b,c是三个非零向量时,却不一定不共面,不一定能作为一个基底.答案:充分不必要7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,设= a,=b,=c,A1C1 与 B1D1 的交点为 E,则= . 解析:如图,)=)=-a+b+c.答案:-a+b+c8.已知 i,j, k 是空间直角坐标系 Oxyz 的坐标向量,并且= -i+j-k,=3i-2j-4k,那么的坐标为 .解析:因为=(-i+j-k )-(3i-2j-4k)=-4i+3j+3k,所以= (-4,3,3).答案:(-4,3,3)9.如图,四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形,设
5、= a,=b,=c,E,F 分别是 PC 和 PB 的中点,用 a,b,c 表示.解:)=)=-a-b+c.=-=-)=-a-b+c.10.已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 2 的正方体,E,F 分别是 BB1 和 DC 的中点,试找出空间的一个基底,并写出向量在此基底下的坐标.解:易知为空间的一个基底 .=-,所以的坐标为.=-,所以的坐标为.,所以的坐标为.B 组1.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中 ,已知 ABC 的边长为 1,三棱柱的高为 2,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列向量对应坐标正确的是( )A.=(0,0,-2)B.C.=(0,1,2)D.解析:设与方向相同
6、的单位向量为 i,j,k,则 i,j,=2k,故=2 k,从而=(0,0, 2),故 A 不正确.i-j,即,故 B 不正确.j+2k,即,故 C 不正确.=-=-i-j+2k,即,故 D 正确.答案:D2.三棱锥 P-ABC 中,ABC 为直角 ,PB平面 ABC,AB=BC=PB=1,M 为 PC 的中点,N 为 AC的中点,以为基底,则的坐标为 . 解析:如图,)- )=,故.答案:3.如图,已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点,并且 PA=AD=1,建立适当的坐标系,并写出的坐标.解: PA=AD=AB,PA平面 AC,ADAB, 可设=e
7、 1,=e2,=e3.以 e1,e2,e3 为单位正交基底建立空间直角坐标系,如图.=)=-e2+e3+(-e3-e1+e2)=-e1+e3, =(0,1,0).4.已知e 1,e2,e3为空间的一个基底,且=2e 1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3.(1)判断 P,A,B,C 四点是否共面;(2)能否以 作为空间的一个基底?若不能,说明理由; 若能,试以这一基底表示向量.解:(1)假设四点共面,则存在实数 x,y,z 使=x+y+z ,且 x+y+z=1,即 2e1-e2+3e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3),比较对应项的系数,得到关于x,y,z 的方程组解得与 x+y+z=1 矛盾 ,故四点不共面.(2)若向量共面,则存在实数 m,n 使=m+n,同(1)可证,这不可能,因此 可以作为空间的一个基底.令=a,=b,= c.由 e1+2e2-e3=a,-3e1+e2+2e3=b,e1+e2-e3=c,联立得到方程组,从而解得所以=17-5- 30.
