1、太原市 2018 年高三模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则 （ ）2 1|log,|,2xAyxByABA B C D1,10,12. 若复数 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是（ ）miz mA B C D1,1,01,13. 已知命题 ；命题 若 ，则 ，则下列为真命题的是（ 20:pxR:qab）A B C D qqppq4. 执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ）SA B C. 3 D2213log2log5. 已知等比数列 中， ，
2、na5821,a则 （ ）1aA B C. D212996. 函数 的图像大致为（ ）lnxyA. B C. D7. 已知不等式 在平面区域 上恒成立，若 的最大值和2axby,|1xyy且 ab最小值分别为 和 ，则 的值为（ ）MmA 4 B 2 C. -4 D-28.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 是抛物线上的两个动点，且满足0ypxF,lAB设线段 的中点 在 上的投影为 ，则 （ ）06FAlNA B 2BMN23MC. D39. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C. 2 D4438310.已知函数 ，若 ，在 上具有单调性，那么sinfxx2,0ff,
3、43的取值共有 （ ）A 6 个 B 7 个 C. 8 个 D9 个11.三棱锥 中， 底面 为正三角形，若DC,ABC，则三棱锥 与三棱锥 的公共部分构成的几何/,2EEEABC体的外接球的体积为（ ）A B C. D16393272032312.设函数 ，若存在区间 ，使 在 上的值域为lnfxx1,abfx,ab，则 的取值范围是（ ）2,kabkA B C. D9ln1,492ln1,492ln1,092ln1,0二、填空题：本大题共 4 道，每小题 5 分，共 20 分13.在多项式 的展开式中， 的系数为_6512xy3xy14.已知双曲线 的右焦点为 ，过点 向双曲线的一条渐近线
4、引垂线，垂足为2:1CabF，交另一条渐近线于 ，若 ，则双曲线的离心率 _MNMe15.某人在微信群中发了一个 7 元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到 1 元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是_16.数列 中， ，若数列 满足na*10,2,2nanNnnb，则数列 的最大项为第_项18nnbAnb三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 的内角为 的对边分别为 ，已知 ABC,abcosinsicoabCBC（1）求 的最大值；sinsicosAB（2）若 ，当 的面积最大时， 的周长；2bA18.某校倡导
5、为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱现统计了连续 5 天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：售出水量 （单位：箱）x7 6 6 5 6收入 （单位：元）y165 142 148 125 150学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前 20 名，获一等奖学金 500 元；综合考核 21-50 名，获二等奖学金 300 元；综合考核 50 名以后的不获得奖学金（1）若 与 成线性相关，则某天售出 9 箱水时，预计收入为多少元？xy（2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为 ，获二等奖学金的概率均为 ，不获得奖学金的25
6、13概率均为 ，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学415金之和 的分布列及数学期望；X附：回归方程 ，其中 ybxa12,niiiiixyabx19. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， PABCDAB2PABD（1）求证： ；（2）若 分别为 的中点， 平面 ，,EF,EFPCD求直线 与平面 所成角的大小PB20.已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，右焦点为 ，点2:10xyCab12,A21,0F在椭圆 上31,2B（1）求椭圆方程；（2）若直线 与椭圆 交于 两点，已知直线 与 相交于点:40lykxC,MN1AM2N，证明：点 在定直线上，
7、并求出定直线的方程G21. 1,1,xfxagxaeR（1）证明：存在唯一实数 ，使得直线 和曲线 相切；yfygx（2）若不等式 有且只有两个整数解，求 的范围fxa22.在平面直角坐标系 中，曲线 过点 ，其参数方程为 （ 为参数，xOy1C,Pa21xaty） ，以 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为aR 2C2cos40rqr（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；1C2C（2）求已知曲线 和曲线 交于 两点，且 ，求实数 的值,AB2PBa23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 21fxmx（1）当 时，求不等式 的解集；1f（2）若 的解集包含 ，
8、求 的取值范围2fx3,24m太原市 2018 年高三模拟试题（一）理数试卷答案一、选择题1-5: AABDB 6-10: CCDAD 11、12：BC二、填空题13. 120 14. 15. 16. 62325三、解答题17.解：（1）由 得： ，cosinsicoabCBCcosinsiniabCBB，即 ， ， ；abiA 4由 ，sinsis2scosicoAAA令 ，原式 ，cot 21t当且仅当 时，上式的最大值为 45（2） ，即221sin,bcosSacBacaB，当且仅当 等号成立；2,2c，1MAXS周长 22Labc18.解：（1） ，经计算 ，所以线性回归方程为 ，6
9、,14xy20,6ba206yx当 时， 的估计值为 206 元；9（2） 的可能取值为 0，300，500，600，800，1000；X； ；416052P41830253PX24165057PX； ； ；639X8120 300 500 600 800 1000P1254675941545所以 的数学期望 X60EX19解：（1）连接 交于点 ，连接 ，底面 是正方形， ，,ACBDOPABCD,ACBDO又 平面 平面 ，P,AC,P 平面 ， 平面 ， ，O又 ， ；BP（2）设 的中点为 ，连接 ，则 ，PDQ,AE1/,2QCDE又 ， ，1/,2AFCBAF四边形 为平行四边形，
10、 ，E/ 平面 ， 平面 ，PDAQPCD ， 是 的中点， ，AQ2A 平面 ， ，又 ，C,QDA 平面 ， ，PP又 ， 平面 ，,BDADABC以 为坐标原点，以 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，,B则 ，22,0,2,0,PQ ， 平面 ， 为平面 的一个法,AQBAPCDAQPCD向量 ，1cos, 2APB设直线 与平面 所成角为 ，则 ，PBCD1sinco,2AQPB直线 与平面 所成角为 PBCD620.解：（1） ， ，由题目已知条件知 ， ，所以21,0Fc222194ab,3ab；243xy（2）由椭圆对称性知 在 上，假设直线 过椭圆上顶点，则 ，G0xl0,
11、3M ， ， ，所83,45kN1 23:,:2AMANlyxlyx1,2G以 在定直线 上x当 不在椭圆顶点时，设 ， 得M12,xy2413ykx，22234640kxk所以 ，1212231,3xA，当 时， 得1 212:,:AMANyyl lxx1123yx，122580所以 显然成立，所以 在定直线 上222346403kkk G1x21.解：（1）设切点为 ，则 ，0,xy00001,xxxaxeae和 相切，则 ，yfxyg 0001g所以 ，0011xxee即 令 ，所以 单增又因为022,10xxhhehx，所以，存在唯一实数 ，使得 ，,0he02e且 所以只存在唯一实数
12、 ，使成立，即存在唯一实数 使得 和01xaayfx相切yg（2）令 ，即 ，所以 ，fx1xaxe1xae令 ，则 ，由（1）可知， 在 上单减，在1xme2xmem0,单增，且 ，故当 时， ，当 时，0,x0,001xx，1当 时，因为要求整数解，所以 在 时， ，所以 有无穷多整amxZx1amx数解，舍去；当 时， ，又 ，所以两个整数解为 0，1，即011xa,01，21ma所以 ，即 ，2ea2,1ea当 时， ，因为 在 内大于或等于 1，1mx,mxZ所以 无整数解，舍去，综上， a2,1ea22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中 的几何意义t解
13、：（1） 的参数方程 ，消参得普通方程为 ，1C21xaty 10xya的极坐标方程为 两边同乘 得 即22cos40rqrr22cos4sqr；4yx（2）将曲线 的参数方程标准化为 （ 为参数， ）代入曲线 得1C21xatyaR2:4Cyx，由 ，得 ，240ta24?0D设 对应的参数为 ，由题意得 即 或 ，,AB12,t12t12t12t当 时， ，解得 ，12t124ta36当 时， 解得 ，12t1212tt94综上： 或 36a9423考点：绝对值不等式解：（1）当 时， ，1m12fxx 时， ，解得 ；x32fx43当 时， ，解得 ；22x当 时， ，解得 ；1xfx10综合可知，原不等式的解集为 4|3x（2）由题意可知 在 上恒成立，当 时，21fx3,43,24x，从而可得 ，即 21fxmx2xm，且 ， ，22xmax4in20因此 1,04
