1、河北省衡水中学 2015 届高三上学期四调考试数学（理）试题【试卷综述】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.【题文】一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）【题文】1已知向量 = 【知识点】平面向量的数量积；向量模的运算. F
2、3 【答案】 【解析】C 解析： ，又 ，22()()50abab(2,1)0ab ，故选 C. 2505b【思路点拨】把向量的模转化为数量积运算. 【题文】2已知 的共轭复数，复数 A B c1 D2【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案】 【解析】A 解析： ，313231842iii iz i ， . 314zi2144z 【思路点拨】化简复数 z ，根据共轭复数的定义得 ，进而求得结论. z【题文】3某学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有 A80 种 B90 种 C120 种 D150 种【知识点】排列与组合. J2
3、【答案】 【解析】 D 解析：有二类情况：（1）其中一所学校 3 名教师，另两所学校各一名教师的分法有种， （2）其中一所学校 1 名教师，另两所学校各两名教师的分法有3560C种，共有 150 种.故选 D. 213459A【思路点拨】先根据分到各学校的教师人数分类，再根据去各学校教师人数将教师分成三组，然后将这三组教师全排列即可. 【题文】4曲线 处的切线方程为 A B C D【知识点】导数的几何意义. B11【答案】 【解析】A 解析： ，曲线在点222()()xxyy（-1，-1）处切线的斜率为 2，所求切线方程为 ，故选 A. 1【思路点拨】根据导数的几何意义，得曲线在点（-1，-1
4、）处切线的斜率，然后由点斜式得所求切线方程. 【题文】5等比数列A B C D629215212【知识点】等比数列；积得导数公式. D3 B11 【答案】 【解析】D 解析：因为 ，18,4a又 12128()fxaxxaxa 所以 ，故选 D. 422810【思路点拨】根据积得导数公式求解. 【题文】6经过双曲线： 的右焦点的直线与双曲线交于两点 A,B，若 AB=4，则这样的直线有几条 A4 条 B3 条 C2 条 D1 条【知识点】直线与双曲线. H6 H8【答案】 【解析】B 解析：因为 AB=4 而双曲线的实轴长是 4，所以直线 AB 为 x 轴时成立，即端点在双曲线两支上的线段 A
5、B 只有一条，另外端点在双曲线右支上的线段 AB 还有两条，所以满足条件得直线有三条. 【思路点拨】设出过焦点的直线方程，代入双曲线方程，由弦长公式求得满足条件得直线条数. 【题文】7设函数，则 A 在 单调递增 B 在 单调递减C 在 单调递增 D 在 单调递增【知识点】两角和与差的三角函数；函数的周期性；奇偶性；单调性. C5 C4【答案】 【解析】D 解析： ，因为 ，所以 ，又因为()2cos()4fxxT2，所以 ，所以 ，经检验 在 单调递增，故选 D. (),2fxf4f【思路点拨】根据已知条件求得函数 ，然后逐项检验各选项的正误. ()2cosfxx【题文】8某产品的广告费用
6、x 与销售额 y 的统计数据如下表：根据下表可得回归方程 中的b =106，据此模型预报广告费用为 10 万元时销售额为 A 1121 万元 B1131 万元 C1119 万元 D1139 万元【知识点】变量的相关性；回归直线方程的性质与应用. I4 【答案】 【解析】C 解析：把样本中心点（ ）代入回归方程得 ，所以广告费用为 10 万元时7,4325.a销售额为 （万元） ，故选 C. 10.65.91.【思路点拨】根据回归方程过样本中心点得 a 值，从而求得广告费用为 10 万元时销售额. 【题文】9椭圆 C 的两个焦点分别是 F1，F 2 若 C 上的点 P 满足 ，则椭圆 C 的离心
7、率 e的取值范围是 【知识点】椭圆的性质. H5 【答案】 【解析】C 解析： ，由三角形中，两边之和大于第三边123,PFc23PFac得 ，故选 C. 234caca【思路点拨】利用椭圆定义，三角形的三边关系，椭圆离心率计算公式求得结论. 【题文】10已知直三棱柱 ，的各顶点都在球 O 的球面上，且，若球 O 的体积为 ，则这个直三棱柱的体积等于 【知识点】几何体的结构；球的体积公式；柱体的体积公式. G1【答案】 【解析】B 解析：由球的体积公式得球的半径 R= ，由 AB=AC=1，5BC= 得ABC 是顶角是 120的等腰三角形，其外接圆半径 r=1，所以球心到三棱柱底面的距离为 2
8、，所3以此三棱柱的体积为 ，故选 B. 1sin2043【思路点拨】本题重点是求三棱锥的高，而此高是球心到三棱柱底面距离 h 的二倍，根据此组合体的结构，球半径 R，ABC 的外接圆半径 r 及 h 构成直角三角形，由此求得结果. 【题文】11在棱长为 1 的正方体 中，着点 P 是棱上一点，则满足的点 P 的个数为 A4 B6 C8 D12【知识点】几何体中的距离求法. G11 【答案】 【解析】 B 解析：若点 P 在棱 AD 上，设 AP=x，则 ，2221PCx所以 ，解得 ，同理点 P 可以是棱 的中点，显然点 P21x12x,AB不能在另外六条棱上，故选 B. 【思路点拨】构建方程
9、，通过方程的解求得点 P 的个数. 【题文】12定义在实数集 R 上的函数 的图像是连续不断的，若对任意实数 x，存在实常数 t 使得恒成立，则称 是一个“关于函数” 有下列“关于 t 函数”的结论：是常数函数中唯一一个“关于 t 函数” ；()0fx“关于 函数”至少有一个零点； 是一个“关于 t 函数”.122()fx其中正确结论的个数是 A1 B2 C3 D0【知识点】函数中的新概念问题；函数的性质及应用. B1【答案】 【解析】A 解析：不正确， ，取 t= -1 则 f(x-1)-f(x)=c-c=0,即()0fxc是一个“关于-1 函数” ； 正确，若 f(x)是“关于 函数” ，
10、则()0fxc 12，取 x=0，则 ，若 任意一个为 0，则函数 f(x)有零点，1()2fx1()2f(),0f若 均不为 0，则 异号，由零点存在性定理知在 内存在零点；不正确，若(),f ,0f 1,2是一个“关于 t 函数” ，则2fx2()xt恒成立，则 所以 t 不存在. 故选 A. 2210txt210tt【思路点拨】举例说明不正确；由函数零点存在性定理及新定义说明正确；把 代入新定义2()fx得 t 不存在，所以不正确. 【典例剖析】本小题是新概念问题，解决这类题的关键是准确理解新概念的定义，并正确利用新概念分析问题. 【题文】第卷（非选择题共 90 分）【题文】二、填空题（
11、本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。把每小题的答案填在答题纸的相应位置）【题文】13已知圆 ，若圆 C 上存在点 P，使得，则删的最大值为_【知识点】圆的参数方程的应用. H3【答案】 【解析】6 解析：设 ，则3cos,4inP，因为APB=90 ，所以(3cos,4sin),(,si)APmBm ，22i0B26co8sin，其中 ，2610cosin61sin()5 3ta4所以 ，故 m 的最大值为 6. 23,6m【思路点拨】利用圆的参数方程，把问题转化为 m 关于参数 的三角函数求解. 【题文】14抛物线 上一点 P 到直线 的距离与到点 Q（2，2 ）的距离之差的最
12、大值为_【知识点】抛物线的定义；三角形的性质. H7 【答案】 【解析】 解析：设此抛物线的焦点 F(1，0),则 P 到准线 x= -1 的距离等于 PF,由 PF-PQQF=5得所求最大值为 . 5【思路点拨】根据抛物线定义，结合三角形的性质确定结果. 【题文】15 的展开式中各项系数的和为 2则该展开式中常数项为 。【知识点】二项式定理的应用. J3【答案】 【解析】40 解析：因为 的展开式中各项系数的和为 2，所以512axx当 x=1 时， ，所以该展开式中常数项为：5121aa.故填 40 . 3235540C【思路点拨】根据展开式中各项系数的和就是 x=1 时式子的值，得 a=
13、1,而组成展开式中常数项的是：第一因式的 x 与第二因式展开式中含 的项的积，加上第一因式的 与第二因式展开式中含 x 的项的积. 由1x1x此得所求结论. 【题文】16一个几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 ，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的 （填入所有可能的图形前的编号） 锐角角三角形；直角三角形；钝角三角形；四边形；扇形；圆.【知识点】几何体的三视图. G2【答案】 【解析】 解析：若俯视图是四边形，则此四边形也是边长为 1 的正方形，即几何体是棱长为 1的正方体，其体积为 1，不合题意；若俯视图是扇形或圆，则体积值中含 ，所以俯视图不会是扇形或圆；若俯视图是
14、锐角三角形或钝角三角形，则在正视图或侧视图正方形中还有一条竖直的实线或虚线，所以俯视图不会是锐角三角形或钝角三角形；若俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角形，如下图，则此几何体体积为 ，且满足正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形.故这个几12何体的俯视图可能是.【思路点拨】分析俯视图是某个图形时，是否与已知条件发生矛盾，从而筛选出结果. 【题文】三、解答题（共 6 个题，共 70 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）【题文】17 （本小题满分 12 分）设ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为（1）求角 A 的大小；（2）若 的周长的取值范围，【知识点】正弦定理；两角和与差的三角函数；已
15、知角的范围求三角函数值的范围. C5 C7 C8 【答案】 【解析】 （1）A= ；（2） . 解析：(1)33,11cos,2ab sincosiniACB又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， sinC=-cosAsinC，2sinC0， cosA= - ,A（0，） ，A= ；-4 分123（2 ）由正弦定理得 ，sin2si,sin3BbcCA1si1i()lacCBA= .-8 分232sinosin()233B ,0,si()1A故ABC 的周长的取值范围为 -12 分32,【思路点拨】(1)把正弦定理代入已知等式，再利用两角和与差的三角函数转化从而求得
16、结论；（2）由（1 ）得 ,代入 a+b+c 的周长关于角 B 的函数sin,si()33bBcB， ，由此得周长的取值范围. 2i()0,【题文】18 （本小题满分 12 分）已知数列 ，若 和（1）求数列 的通项公式；（2）求数列【知识点】等差数列；已知递推公式求通项；裂项求和法. D1 D2 D4 【答案】 【解析】(1) ， ；（2 ） .21na4,(1)2nb61023nT解析：（1）由题意知数列 是公差为 2 的等差数列，又因为 =3，所以 ，当 n=1 时，n 1a21n；4bS当 时， ，2n22112nnSn对 不成立. 所以数列 的通项公式为 -6 分14bnb4,(1)
17、nb（2 ） n=1 时， ，120T当 时， -8 分2n1112323nbnn所以 0579nT 61205203n-10 分n=1 仍然适合上式，综上得， -12 分61203nT【思路点拨】 （1）利用等差数列定义、通项公式求 ；利用 求 ；na1()2nnSbnb（2 ）利用裂项求和法求数列 的前 n 项和. 1nb【题文】19 （本小题满分 12 分）如图，四棱柱 面 ABCD，ABDC ，（1）证明： ；（2）求二面角 的正弦值；（3）设点 M 在线段 C1E 上，且直线 AM 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 AM 的长【知识点】坐标法证明空间位置关系；求空间角；空间距离.
18、G10 G11【答案】 【解析】(1)证明：见解析；（2） ；（3 ） . 2172AM解析：如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得 A(0,0,0) , B(0,0,2) ,C(1,0,1) , .11(0,2)(,)(0,)BCE(1) 证明：易得 ,1(,0)1BCE于是 ， -2 分1E1（2 ） . 设平面 的法向量 ，(,2)1B(,)mxyz则 ，100BCmxyzE消去 x 得 y+2z=0,不妨取 z=1，可得一个法向量 -4 分3,21由（1） ，又 ,可得 平面 ,故 为平面 的一个法向1B1CB1CE1(,0)B1CE量，于是 ，1147cos,|2m从而
19、，-5 分12in,7BC故二面角 的正弦值为 ，-6 分11E1（3 ） ，1(0,)(,)A设 ,有 .10MC(,1)AME可取 为平面 的一个法向量，设 为直线 AM 与平面 所成的角，则(,2)B1D1ADsinco,|BA22231于是 舍去） ，-10 分221(63531 -12 分AM【思路点拨】 （1）建立空间直角坐标系，得 ，由它们的数量积为零的结论；1,BCE（2 ）求得二面角两半平面的法向量，由此求得二面角的余弦值，进而求得此二面角的正弦值；（3 ）利用直线 AM 与平面 所成角的正弦值为 ,求得点 M 的坐标即可的结果. 1AD26【题文】20 （本小题满分 12
20、分）已知椭圆 C 的中心在原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 ，右焦点到右顶点的距离为 1（1 ）求椭圆 C 的标准方程；（2 ）是否存在与椭圆 C 交于 A，B 两点的直线成立？若存在，求出实数 m 的取值范围，若不存在，请说明理由。【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆. H7 H8【答案】 【解析】 解析：(1)设椭圆 C 的方程为 ） ，半焦距为 c ，21(0xyab依题意 ，由右焦点到右顶点的距离为 1 得：a-c=1.12cea解得 c=1,a=2, 所以 .23bc所以椭圆 C 的标准方程 . -4 分14xy（2 ）存在直线 ，使得 成立，理由如下：l2OABO由 得 .21
21、43ykxm2248410kxm由 得 .-6 分228k23km设 ，则 .12,AxyB1212284,xx若 成立，即 ,OOAOB0OAB所以 ，即120xy1212()0xkmx12120k2 24180334kmk化简得 ，-8 分7mk将 代入 得： .-10 分221k234m24又由 12 得 ，k17所以 ，解得 或 ，217m22所以实数 m 的取值范围是 -12 分1,7【思路点拨】 （1）根据题意得关于 a,b,c 的方程组求得 a,b 即可；（2 ）把直线方程代入椭圆方程，0 得，设出 A、B 坐标，应用韦达定理. 由 得 ，把韦达定234km 2OABO0AB理代
22、入此等式，化简得 , 由求得 m 范围. 2271k【题文】21 （本小题满分 12 分）已知（1 ）若 的单调减区间是 求实数 a 的值；（2 ）若 对于定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3 ）设 h（x）有两个极值点 ，且 的最大值【知识点】导数的应用. B12【答案】 【解析】(1)3；（2） ；（3） . ,1ln24解析：（1）依题意得 ，则 . 2()l,(0)hxax21()(0)xah要使 h(x)的单调减区间是 ，则 ，解得 a=3.1,1()2h另一方面当 a=3 时， 23() (0)xxhx由 解得 ，即 h(x)的单调减区间是 .()0hx1,21
23、,2综上所述 a=3. -2 分（2 ）由题意得 ，2 lnln(0),(0)xxaxa设 ，则l()()2l1x 在 上是正数，且 x=1 时，y=0 .2ln1yx0,当 x（0,1）时 ；当 x 时 ，()1,()0x 在（0,1）内是减函数，在 是增函数.() 即 -6 分min(1),xa,（3 ）由题意得 ，则 . 2ln,(0)hxx21()(0)xah方程 有两个不相等的实根 ，且210()xax12,x10,2又 ，且1221,212,a而 21212()lnlnhxxaxx2 21l-10 分2221lnln(1)4xx设 ，则 ，22()l()x23()0(1)xx 在
24、内是正数， ，即 ，1,21ln4x123ln4h ，所以 m 的最大值为 .-12 分3ln243l【思路点拨】 （1）由导数与函数单调性的关系求 a 值；（2 ）分离常数法求参数范围；（3 ）因为 h（ x）有两个极值点 ，而 . 12,x1()(0)xh方程 有两个不相等的实根 ，且210()a12,1,2又 ，且1221,xx212,axx从而 21212()lnlnha2 21lxxx只需求 的最小值，2221lnln(1)4221()ln(1)4xx， 在 内是正数，23()0(1)xx()x, ，即 ， ，2(1)ln4123ln4h3ln24m所以 m 的最大值为 .2【题文】
25、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。【题文】22 （本小题满分 10 分）如图，四边形 ABCD 内接于圆 求对角线 BD、 AC 的长【知识点】几何证明选讲. N1 【答案】 【解析】 ，AC . 解析：如图，延长 DC,AB 交于点 E，7BD143BAD=60 ，ECB=60 ，ABC=90，BC=3，CD=5 ，EBC=90，E=30EC=2BC=2 3=6，EB= BC=3 ，3ED=DC+CE=5+6=11， ECDBEA ，解得 ,61313BAC= ,-5 分22143()EDB=EAC,E=EEDBEA
26、C， BDEAC -10 分14376B【思路点拨】延长 DC,AB 交于点 E，利用勾股定理，切割线定理，相似三角形性质求解 . 【题文】23 （本小题满分 10 分）已知直线 l 的参教方程为，直线 l 与曲线 c 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 P（1 ）求曲线 C 的直角坐标方程；（2 ）求 的值1AB【知识点】参数方程与极坐标. N3【答案】 【解析】 （1） ；（2 ） . 21xy5解析：（1）利用极坐标公式，把曲线 C 的极坐标方程 2sin()4化为 ，曲线 C 的直角坐标方程是 ，2sin2cos 2xy即 ；-5 分1xy（2 ）把直线 的参数方程 代入曲线 C 的
27、方程 得l123xty221xy， ，210t12t .-10 分PAB2121112 4tttt 215【思路点拨】(1)利用 ，将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）把直线 的参数方程代入曲线cosinxy lC 的方程 得 ，由参数的几何意义得：22110t.PAB2121112 4tttt215【题文】24 （本小题满分 10 分）设函数（1 ）当 a=4 时，求不等式， 的解集：（2 ）若 的取值范围，【知识点】不等式选讲；不等式恒成立问题. N4 E8【答案】 【解析】(1) ；(2) 或 .|0x或 53a5解析：（1）当 a=4 时，不等式 为 ，()fx14x所以 或 或 ，解得 或25x1432505故不等式 的解集为 .-5 分()f|0x或（2 ）因为 (当 x=1 时等号成立)-8 分111xaxa所以 ，由题意得 ，解得 或 .-10 分min()fa435【思路点拨】 （1）分段讨论解绝对值不等式；（ 2）利用绝对值不等式的性质： 得ab，由题意得 ，解得 或 . min()fx1a
