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- 浙江省2015届高三六校联考数学（理）试卷 PDF版含答案
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数学（理科）试题卷 · 第 1 页（共 4 页） 2015 届浙江省六校联考 数学（理科） 试 题 卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为 120 分钟 . 参考公式： 柱体的体积公式 V Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高 锥体的体积公式 13V Sh其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 台体的体积公式1 1 2 21 ()3V h S S S S其中 S1,S2分别表示台体的上 ,下底面积 球的表面积公式 24SR 其中 R 表示球的半径， h 表示台体的高 球的体积公式 343VR 其中 R 表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题 1．若全集 U=R，集合 02| 2 xxxA ， 2| lo g ( 3 ) ,B y y x x A ，则集合 ()UA C B A． 02| xx B． 10| xx C． 23| xx D． 3| xx 2. 已知 直线 l： 1y kx 与圆 O： 221xy相 交于 A， B 两点，则“ 1k ”是“△ OAB 的面积 为 12”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3. ABC的内角A B C、 、的对边分别是a b c、 、,若 2BA,1a,3b,则cA．23B． 2 C．2D． 1 4．设 ,, 是三个不重合的平面， nm, 是两条不重合的直线，下列判 断正确的是 A．若 ,, 则 // B．若 ， l ∥ ， 则 l C．若 ,,mn则 //mn D．若 // , //mn，则 //mn 5. 已知函数 ( ) si n( ) ( 0)36f x A x A 在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5 ，则 A 等于 A． 1 B． 2 C． 4 D． 8 数学（理科）试题卷 · 第 2 页（共 4 页） 6. 已知向量 ba, 是单位向量，若 0ba ，且 5|2||| bcac ，则 |2| ac 的取值范围是 A． ]3,1[ B． ]3,22[ C． ]22,556[ D． ]3,556[ 7．已知双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab 的左、右焦点分别为 12,FF， P 为双曲线上任一点，且 12PF PF 最小值的取值范围是 2231[ , ]42cc，则该双曲线的离心率的取值范围为 A． (1, 2] B． [ 2,2] C． (1, 2] D． [2, ) 8.已知 2f x x ， 1g x x，令 1f x g f x ， 1nnf x g f x ，则方程 2015 1fx 解的个数为 A． 2014 B. 2015 C. 2016 D.2017 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题 9. 函数 ( ) sin cosf x x x的单调增区间为 ，已知 3sin =5α ， 且 0 2πα（ ， ） ， 则 ()12πf α . 10.设公差不为零的等差数列 na 满足： 143, 5aa 2855aa是 和 的等比中项，则 ________,nnaa 的 前 n 项和 _________ .nS 11.某空间几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则其体积是 ____ 3cm , 表面积是 ____ 2cm . 12.已知变量 x， y 满足 4 3 0401xyxyx ，点 (x， y)对应的区域的面积 __________， 22xyxy的取值范围为__________. 13.已知 F 为抛物线 C: 2 2 ( 0)y px p的焦点，过 F 作斜率为 1 的直线交抛物线 C 于 A、 B 两点，设| | | |FA FB ，则 || __ __ __ _ .||FAFB （ 第 11 题图 ） 数学（理科）试题卷 · 第 3 页（共 4 页） 14.若实数 a 和 b 满足 132923242 babbaa ，则 ba 32 的取值范围为 ____ ______________. 15.已知正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 的棱长为 3 ， 以顶点 A 为球心， 2 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 ________． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （ 本题 15 分）如图，在△ ABC 中，已知 3B ， 34AC ,D 为 BC 边上一点． （ I） 若 2AD ， 23DACS ，求 DC 的长； （ II） 若 AB AD ，试求 ADC 的周长的最大值． 17. （ 本题 15 分） 如图，在三棱锥 A-BCD 中 , AB ⊥平面 BCD ,BC ⊥ CD ,∠ CBD =60° ,BC =2. （ I）求证： A B C A C D平 面 平 面； （ II）若 E 是 BD 的中点 ,F 为线段 AC 上的动点， EF 与 平 面 ABC 所成的 角 记为 ，当 tan 的最大值为 152 ，求二面角 A-CD-B 的余弦值 . 18. （ 本题 15 分） 已知椭圆 22 1( 0 )xy abab 的左、右焦点分别为 12FF、 ，该椭圆的离心率为 22 ，A 是椭圆上一 点， 2 1 2AF FF ，原点 O 到直线 1AF 的距离为 13 . （ I）求椭圆的方程； （ II）是否存在过 2F 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点，且满足 AOB 的面积为 23 ，若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 . EABCDF（ 第 17 题图 ） CAB D（ 第 16 题图 ） 数学（理科）试题卷 · 第 4 页（共 4 页） 19. （ 本题 15 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 32nnS a n *()nN. （ I）求证 1na 是等比数列，并求数列 na 的通项公式； （ II）证明： 3122 3 4 1138nnaaaa na a a a . 20. （ 本题 14 分） 已知函数 2( ) 4 | | ( ).f x x x a x R （ I）存在实数 12[ 1,1]xx、 ，使得 12( ) ( )f x f x 成立，求实数 a 的取值范围； （ II）对任意的 12[ 1,1]xx、 ，都有 12| ( ) ( ) |f x f x k成立，求实数 k 的最小值 . 1 2015 届浙江省六校联考 数学（理科） 答案 一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.D 二、填空题（第 9， 10， 11， 12 题每空 3 分，第 13， 14， 15 题每空 4 分，共 36 分） 9. 3[ 2 , 2 ] ,44k k k Z 3 6 4 210 10. 28 5 4n n n 11. 2 333 12. 8 10[2, ]53 13. 3 2 2 14． (1,2] 15. 52 三、 解答题 18． 解： （ I） 23DACS ， 1 si n 2 32 A D A C D A C ， ∴ 1sin 2DAC． ∵ 233D A C B A C ,∴ 6DAC ．在△ ADC 中， 由余弦定理，得 6c o s2222 ACADACADDC , 2 34 48 2 2 4 3 282DC , 27DC ． …… … ………………………………………………………………………… 7 分 （Ⅱ）∵ AB AD ， 3B ，∴ ABD 为正三角形， 在 ADC 中，根据正弦定理，可得， CDCCAD3s in32s in 34s in , 8sinAD C ， 8 si n3DC C, ∴ ADC的周长为 34)s i n21c o s2 3( s i n834)3s i n (8s i n8 CCCCCACDCAD 34)3s i n (834)c o s2 3s i n21(8 CCC 2 2203 3 3 3 3A D C C C ， ，， 3.3 2 6C C f A 当 ，即 ＝ 时， 有最大值1 6 + 8 ADC 的周长最大值为 348 ． …………… …… 15 分 17. （ I）证明： AB BCD 平 面 ， AB CD CB CD又 ， CD ABC平 面 ACDCD 平 面 CAAB CD平 面 平 面 …… 5 分 （ II）以 C 为坐标原点，分别以射线 CD、 CB 为 x、y 轴的正半轴，建 立空间直角坐标系 C-xyz，如图所示： C 0,0,0（ ） ，( 2 3 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 3 , 1 , 0 ) ,D B E …… 7 分 设(0,2, ),At (0, 2, )CF CA t , ( 0 , 2 , ) , ( 3 , 2 1 , )F t E F t , 平面 ABC的一个法向量为 (1,0,0)m ,由223sin ( 4 ) 4 4t ，由 t an 的最大值为152 得 22 19( 4 ) 4 4 5t 的 最 小 值 为，此时 t=4 …… 11 分 ,BC CD AC CD， A C B A C D B 就 是 二 面 角 所 成 的 平 面 角 …… 13 分 25c o s 525BCA C B AC …… 15 分 18.解： （ I）设 2( ,0)( 0)F c c ，由 22e 得， 2,a c b c 2 1 2 2, ( , )2A F F F A c c解 得，直线1 2 ()4A F y x c 的 方 程 为yxzEABCDF3 即 1 2 2 0A F x y c 的 方 程 为 1 1 2 c 1O=3318AF到 的 距 离 为 ， 即， 2, =1a b c 即所求椭圆的方程为 2 2y12x …… 5 分 （ II）设 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y 当直线 l 不垂直 x 轴时，设直线 l 的方程为 ( 1)y k x， 代入椭 圆方程得： 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k 221 2 1 24 2 2,1 2 1 2kkx x x x 2k …… 7 分 222212 222 2 1 2 2 ( 1 )| | 1 | | 1 1 2 1 2kkA B k x x k kk 点 O 到直线 l 的距离2||1kd k …… 9 分 222 2 | | 1 21 2 3A O B kkS k ，解得 2 1, 1kk …… 12 分 所以，直线 l 的方程为 10xy 或 10xy 当直线 l 不垂直于 x 轴时， 22,23AOBS 不符合 …… 14 分 所以，所求直线 l 的方程为 10xy 或 10xy . …… 15 分 19.解 （ I） 32nnS a n， 1 2a …… 1 分 113n 2 ( 1 )2nnS a n 当 时 ，，133 122n n na a a 即 132nnaa …… 3 分 1111 3 2 1 311nnaa ， 1na 是以 3 为首项，公比等于 3 的等比数列， …… 5 分 31nna …… 7 分 4 （ II） 1113 1 1 23 1 3 3 ( 3 1 )1 2 1 2 1 23 9 3 3 3 8 3 3 3 3 8 3nnnnnn n n naa …… 11 分 12 22 3 11 2 1 2 1 23 8 3 3 8 3 3 8 3n nnaaaa a a 21 1 1 1 1 1 1( ) ( 1 )3 4 3 3 3 3 8 3 3 8nnn n n …… 15 分 20.解： （ I） 224 4 , ( )() 4 4 , ( )x x a x afx x x a x a 由题意得， ()fx在 [1,1] 上不单调 …… 2 分 ① 当 1a 时， 2( ) 4 4f x x x a 在 [1,1] 上是减函数， 不符题意，舍去 ② 当 1a 时， 2( ) 4 4f x x x a 在 [1,1] 上是增函数， 不符题意，舍去 …… 4 分 ③ 当 11a ， ()fx在 [1, ]a 上是减函数，在 [,1]a 上是增函数 …… 6 分 （ II） 设 ()fx在 [1,1] 上的最大值为 ()Ma， 最小值为 ()ma ① 当 1a 时， 2( ) 4 4f x x x a 在 [1,1] 上是减函数，所以 ( ) ( 1) 4 5M a f a ，( ) (1) 4 3m a f a …… 8 分 ② 当 1a 时， 2( ) 4 4f x x x a 在 [1,1] 上是增函数，所以 ( ) (1) 5 4M a f a ，( ) ( 1) 4 3m a f a …… 10 分 ③ 当 11a ， ()fx在 [1, ]a 上是减函数，在 [,1]a 上 是增函数所以( ) m a x { ( 1 ) , (1 ) } m a x { 4 5 , 4 5 }M a f f a a ， 2( ) ( )m a f a a 当 01a时， ( ) 4 5M a a,当 10a 时， ( ) 4 5M a a , …… 12 分 5 228 , 1 1( ) ( ) 4 5 , 0 14 5 , 1 0aaM x m x a a aa a a 或 由题意得 ( ) ( )K M a m a恒成立 1 1 k 8aa 当 或 时 ， 20 1 k 4 5 , 8a a a k 当 时 ， 21 0 k 4 5 , 8a a a k 当 时 ， 综上， k 的最小值为 8 …… 14 分
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