1、 四川省德阳市 2015 届高三第一次诊断考试本试卷是高三文科试卷,以基础知识和基本技能为为主导,在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力,知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:不等式、导数,数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷.一、选择题本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符台题目要求的【题文】1如果复数 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,2(i1b其 中那么 b=A. B. C. D.2233【知识点】复数的基本概念与
2、运算 L4【答案】C【解析】复数 = =2-2b+(-4-b)i,它的实部和虚部互为相反数,12bi()12i2-2b+(-4-b)=0,b= 。3【思路点拨】化简复数 为 2-2b+(-4-b)i,由题意可得 2-2b+(-4-b)=0,解得 b 的值12bi【题文】2下列命题中,真命题是A.若 x,y ,且 x+y2,则 x,y 至少有一个大于 1RB. ,x2xCa+b=0 的充要条件是 1abD. 00,xRe【知识点】命题及其关系 A2【答案】A【解析】A,假设 x,y 都小于 1,则 x1,y1,所以 x+y2 与 x+y2 矛盾,所以假设不成立,所以A 正确 B当 x=-1 时,
3、2 -1= (-1)2=1,所以 B 错误C若 a=b=0 时,满足 a+b=0,但 =-1,不成立,所以 C 错误D根据指数函数的性质可知 ex0 恒成立,所以 D 错误ab【思路点拨】利用全称命题和特称命题的定义判断 B,D利用充要条件和必要条件的定义判断 C利用反证法证明 A【题文】3如图,若 N=5 时,则输出的数等于A. B. C. D. 5465【知识点】算法与程序框图 L1【答案】D【解析】模拟程序框图的运行过程,如下;输入 N=5,k=1,S=0,S=0+ = ;12kN,是,k=2,S= + ;3kN,是,k=3,S= + + ;14kN,是,k=4,S= + + + ;21
4、5kN,是,k=5,S= + + + + ,316kN,否,输出 S= + + + +14=(1- )+( - )+ ( - )+( - )+( - )= 1255【思路点拨】根据题意,模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的结果是什么【题文】4在等差数列 中,若 则 的值为na468102aa102aA20 B22 C24 D28【知识点】等差数列 D2【答案】C【解析】a n 为等差数列且 a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120a 1+7d=242a 10-a12=2a1+18-a1-11d=a1+7d=24 【思路点拨】有已知 an 为等差数列,设首项为 a1 和
5、公差为 d,则已知等式就为 a1 与 d 的关系等式,所求式子也可用 a1 和 d 来表示【题文】5要得到函数 y=sin( -2x)的图象,可以将函数 y=sin(2x- )的图象3A向左平移 个单位 B向左平移 个单位36C向右平移 个单位 D向右平移 个单位6【知识点】函数 的图象与性质 C4sin()yx【答案】B【解析】由 y=sin( -2x)=sin2x, y=sin(2x- )向左平移 个单位为 y=sin2(x- + )=sin2x366【思路点拨】根据三角函数平移的性质求出结果。【题文】6某几何体的三视图如图所示,当 a+b 取最大值时,这个几何体的体积为A. B. C.
6、D. 1321【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2【答案】D【解析】由题设可得其直观图如图,由三视图知,PA,PB,PC 两两垂直PA=1,BC= ,AB=b ,AC=a6如图有 PC= ,PB=21a21b在直角三角形 BPC 中有 PC2+PB2=BC2=6,即 a2-1+b2-1=6,即 a2+b2=8可设 a=2 cos,b=2sin,(0,2)则 a+b=2 cos+2 sin=4sin( + )4,最大值当 = 时取到244此时 a=b=2,验证知符合题意由此知 PC= = , PB= =21a321b3故底面三角形 APB 的面积为 ,棱锥的体积为 =32【思路点拨】由三视
7、图及题设条件知,此几何体为一个三棱锥,底面一边长为 1 的直角三角形,一条棱长为 ,由于本题中含有两个参数,且需求满足两者和最大时的体积,故本题第一步是找到关于 a,b 的表6达式,先求其和最大时两参数的值,再由体积公式求体积,观察发现,可以先用参数 a,b 表示出PC,PB 的值,在直角三角形 BPC 中用勾股定理建立关于 a,b 的方程,研究此方程求出满足条件的参数的值再求体积即可【题文】7在 中, (cos ,sin ), (2cos ,2cos )则 面积为ABC18BC6327ABCA. B. C. D. 24232【知识点】平面向量的数量积及应用 F3【答案】B【解析】|AB|=
8、=1, |BC|= =2, 22cos18in224cos63s7cosABC= =2sin45/2= ABC=45 , 面积为 。ABC【思路点拨】先求出向量的模,再根据面积公式求出。【题文】8设 f(x)= ,若 f(x) f(0)则 a 的取值范围为2(),01xaA.-1,2 B.-1,0 C.1,2 D.0,2【知识点】函数的单调性与最值 B3【答案】D【解析】当 a0 时,显然 f(0)不是 f(x)的最小值,当 a0 时,f(0 )=a 2,由题意得:a 2x+ +a,1解不等式:a 2-a-20,得-1a2 ,0a2,【思路点拨】当 a0 时,显然 f(0)不是 f(x)的最小
9、值,当 a0 时,解不等式:a 2-a-20,得-1a2,问题解决【题文】9.从集合 A=-1,1,2 中随机选取一个数记为 k,从集合中 B=-2,1 ,2 随机选取一个数记为b,则直线 y=kx+b 不经过第二象限的概率为A. B. C. D. 13295949【知识点】古典概型 K2【答案】B【解析】题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件 kA=-1,1,2 ,bB=-2,1 ,2得到(k,b)的取值所有可能的结果有:(-1,-2);(-1 ,1 );( -1,2);(1,-2);(1, 1);(1,2);(2,-2 );( 2,1);(2,2)共 9 种结果而当 时,直线不经过第
10、二象限,符合条件的(k,b)有 2 种结果,0直线不过第四象限的概率 P= 29【思路点拨】本题是一个古典概型,试验发生包含的事件(k,b)的取值所有可能的结果可以列举出,满足条件的事件直线不经过第二象限,符合条件的(k,b)有 2 种结果,根据古典概型概率公式得到结果【题文】10.已知函数 f(x)=2f( ),当 时,f(x)=lnx,若在 内,函数 g(x)=f(x)-ax 有三个零点,1x,31,3那么实数 a 的取值范围是A. B. C. Dln31,e0,2e0,eln,32e【知识点】导数的应用 B12【答案】A【解析】在区间 ,3 内,函数 g(x)=f(x)-ax,有三个不同
11、的零点,13a0 若 x1,3时,f(x)=lnx,可得 g(x)=lnx-ax ,(x0)g(x)= -a= ,1x2a若 g(x)0,可得 x , g(x)为减函数,a若 g(x)0,可得 x , g(x)为增函数,1此时 g(x)必须在1,3 上有两个交点, ,解得 a1()30aln3e设 x1,可得 1 3 ,xf(x)=2f( )=2ln ,此时 g(x)=-2lnx-ax,g(x)=- ,2ax若 g(x)0,可得 x- 0,g(x)为增函数2a若 g(x)0,可得 x- ,g(x)为减函数,在 ,1上有一个交点,则 ,解得 0a6ln3 131()3综上可得 a ;lne若 a
12、0,对于 x1,3时,g(x)=lnx-ax0 ,没有零点,不满足在区间 ,3内,函数 g(x)13=f(x)-ax ,有三个不同的零点,a=0,显然只有一解,舍去. 综上: a .ln31e【思路点拨】可以根据函数 f(x)满足 f(x)=2f( ),求出 x 在 ,1 上的解析式,113已知在区间 ,3 内,函数 g(x)=f(x)-ax,有三个不同的零点,对 g(x)进行求导,利用导数研究13其单调性,从而求出 a 的范围【题文】第 II 卷二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。【题文】11计算 =121lg04【知识点】对数与对数函数 B7【答案】-20【解析】
13、 = =-20121lg504lg120【思路点拨】根据对数的运算性质求结果。【题文】12已知抛物线 的焦点是双曲线 的右焦点 F,且双曲线的右顶点 A2()ypx216xym到点 F 的距离为 1,则 p m = 。【知识点】双曲线及抛物线几何性质 H7 H6【答案】1【解析】双曲线 的右顶点 A 到点 F 的距离为 1,c-4=1,216xyc=5,m=9, 抛物线 y2=2px(p0 )的焦点是双曲线 的右焦点 F, =5,26xym2pp=10,p m =1.【思路点拨】利用双曲线 的右顶点 A 到点 F 的距离为 1,求出 c,再利用抛物线216xmy2=2px(p0)的焦点是双曲线
14、 的右焦点 F,求出 p,m 的值2y【题文】13已知实数 x,y 满足 ,z=2x+y 的最大值为 。10xy【知识点】简单的线性规划问题 E5【答案】8【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:由 z=2x+y,得 y=-2x+z,平移直线 y=-2x+z,由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 C 时,直线 y=-2x+z 的截距最大,此时 z 最大,由 ,解得 ,210xy32xy即 C(3,2),此时 z=23+2=8,【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,进行平移即可得到结论【题文】14已知 的周长是 且 sinA+sinB= sinC, 则 cosC= A
15、BC3133sin8ABCS【知识点】解三角形 C8【答案】 13【解析】由ABC 的周长为 ,可得 AB+BC+AC= ;3131根据 sinA+sinB= sinC,利用正弦定理可得 BC+AC= AB,两式相减,求得 AB=1由ABC 的面积为 sinC,可得 BCACsin C= sin C,可得 BCAC= 82834而 BC+AC= ,由余弦定理得 cos C= =322AB 22()ABCAB= 1【思路点拨】由条件求得 AB=1,根据ABC 的面积为 sinC,求得 BCAC= ,再结合 BC+AC= ,38343利用余弦定理求得 cosC 的值.【题文】15 a =2sina
16、x 在 上是增函数 aM()fx,34M,函数 f(x)= 是定义在 R 上的奇函数,则-130NbbDN方 程 有 实 数 解 , 设 2xnm下列命题中正确的是 (填出所有正确命题的序号)(1) (2) (3)D= (4)n=0,m (5)如果 f(x)在 D 上没有最小值,那么 m 的取,2,2N31,R值范围是( ,+ )32【知识点】函数的单调性与最值函数与方程 B9 B3【答案】(3) (5)【解析】:M=a| 函数 y=2sinax 在- , 上是增函数,可得 342T3且 a0,即 ,解得 a ,故 M=a|a 2322N=b|方程 3-|x-1|-b+1=0 有实数解 ,所以
17、可得 N=b|1b2D=MN=(1, f (x)= 是定义在 R 上的奇函数2nmf(0)=0 可得 n=0f(x)= ,又 f(x)= 在 D 内没有最小值2m2nf(x)= = ,21若 m0,可得函数 f(x)在 D 上是减函数,函数在右端点 处取到最小值,不合题意32若 m0,令 h(x)= x+ ,则 f(x)= 2nm在 D 内没有最小值可转化为 h(x)在 D 内没有最大值,下对 h(x)在 D 内的最大值进行研究:由于 h(x)=1- ,令 h(x)0,可解得 x ,令 h(x)0,可解得 x ,由此知,函数2 mh(x)在(0, )是减函数,在( ,+)上是增函数,当 时,即
18、 m 时,函数 h(x)在 D 上是减函数,不存在最大值,符合题意m3294当 1 时,即 m1 时,函数 h(x)在 D 上是增函数,存在最大值 h( ),不符合题意, 当321 时,即 1m 时,函数 h(x)在(1, )是减函数,在( , )上是增函数,mm必有 h(1)h ( )成立,才能满足函数 h(x)在 D 上没有最大值,即有 1+m + ,解得 m .32 3232【思路点拨】先确定出集合 MN 的范围,求出集合 D 的范围再根据 f(x)= 在 D 内没有最小值,2n对函数的最小值进行研究,可先求其导数,利用导数研究出函数的单调性,确定出函数的最小值在区间 D的左端点取到即可
19、,由于直接研究有一定困难,可将函数变为 f(x)= = ,构造新函数2m1xh(x)=x + ,将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题,利用导数工具易确定m出新函数的最值,从而解出参数 m 的取值范围三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。【题文】16已知向量 ( , ) , ( ) , 且mna21,na*Nmn1a(1)求数列 的通项公式;na(2)若数列 满足 = ,求数列 的前 n 项和nbn2log1na1nbnS【知识点】数列求和 D4【答案】 (1) (2)1na【解析】 (1) ( , ) , ( ) ,mn12,na*Nmn,若 0 与 矛盾,12
20、nn1n1所以 即数列 是首项为 1,公比为 2 的等比数列1nana所以 12n(2) =n, =2lognnba1nb1()n=1- =1.3nS【思路点拨】根据等比数列求出通项公式,利用裂项求和求出结果。【题文】17已知函数 f(x)=2sin xcos x,过两点 A(t,f(t) ),B(t+1,f(t+1)的直线的斜率记为 g(t).6(1)求 g(t)的解析式及其单增区间。(2)若 g( )= ,且 ,求 g( +1)的值。0t450t1(,)20t【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案】 (1)g(t)=cos( + ),单调递增区间6k- ,6k- ,k3x6721Z(2
21、) 40【解析】 (1)f(x)=2sin xcos x=sin63xg(t)=f(t+1)+f(t)=sin( + )-sin =cos . - sin . =cos( + )3x23x1x6单调递增区间6k- ,6k- ,k721Z(2)g( )=cos( + )= ,则 g( +1)=cos( + )+ = cos( + )- sin( + )0t03t6450t03t61203t6203t6由 ,所以 + ,sin( + )=0t1(,)203t6(,)203t65所以 g( +1)= - =0t4541【思路点拨】化简求出解析式根据三角函数的单调性求出最值。【题文】18 为选拔选手参
22、加“中国谜语大会” ,某中学举行了一次 “谜语大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n)进行统计按照50,60) ,60,70) ,70,80) ,80 ,90) ,90,100 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在50,60) ,90,100的数据) ()求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值;()在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 3 名学生参加“中国谜语大会”,设随机变量 X 表示所抽取的 3 名学生中得分在 内的学生人
23、数,求随机变量 X 的分布列80,9及数学期望。【知识点】离散型随机变量及其分布列 K6【答案】 ()y =0.004, x=0.030() 157【解析】 ()由题意可知,样本容量 n= =50,8.6y= =0.004,x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030 ;251()由题意可知,分数在80,90)内的学生有 5 人, 分数在90,100内的学生有 2 人,共 7 人。抽取的 3 名学生中得分在80 ,90)的人数 X 的可能取值为 1,2,3P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)=1257C21537C430527C所 以 X
24、的 分 布 列X 1 2 3P 74727所以 EX=1 +2 +3 =245【思路点拨】 ()由样本容量和频数频率的关系易得答案;()由题意可知,分数在80,90)内的学生有 5 人,分数在90,100内的学生有 2 人,列分布列求出结果。 【题文】19.已知二次函数 f(x)=a +bx+c(c0)的导函数的图像如图所示2x(1)求 a,b 的值。(2)令 g(x)= ,求 y=g(x)在 上的最大值。()fx1,2【知识点】导数的应用 B12【答案】 (1) (2)g (x)max=ab13,022c【解析】 (1)因为 f(x)=2ax+b,由图可知,f(x)=2x+1,由 ,解得 ,
25、2ab1b(2)g(x)= = =x+ +1,则 g(x)=1- = ,()fx2c2c2()xc若 1,即 0c1 时,g(x)0 ,g (x)在1 ,2 上递增,c故 g(x) max=g(2)= c+3;1若 1 2 ,即 1c 4,当 1x 时,g(x) 0,此时 g(x)单调递减;c当 x2 时, g(x)0,此时 g(x)单调递增;c又 g(1)=c+2 ,g(2)= c+3,所以当 1c2 时,g(1 )g(2),即 g(x) max=g(2)= c+3;1当 2x4 时,g(1 )g (2),即 g(x) max=g(1)=c+2;若 2,即 c4 时,g(x)0,g(x)在1
26、,2上单调递减,c故 g(x) max=g(1)=c+2;综上所述,g (x)max= 3,022c【思路点拨】 (1)先求出 f(x)=2ax+b,根据图象可得 f(x)=2x+1,由此可得 a,b 的方程组;(2)由(1)先求出 g(x),从而可得 g(x)= ,分 1,1 2, 2 三2()ccc种情况进行讨论,根据导数符号与单调性的关系可得最大值;【题文】20已知数列 满足 , ,p 为常数 成等差数列。na14131,nnap*N123,6a(1)求 P 的值及数列 的通项公式;(2)设数列 满足 = ,求数列 的最大项。nbn2anb【知识点】单元综合 D5【答案】 ()a n=3
27、n+n() 49【解析】 ()解:因为 a1=4,a n+1=an+p3n+1,所以 a2=a1+p31+1=3p+5; a3=a2+p32+1=12p+6因为 a1,a 2+6,a 3 成等差数列,所以 2(a 2+6)=a 1+a3,即 6p+10+12=4+12p+6,所以 p=2依题意,a n+1=an+23n+1,所以当 n2 时,a 2-a1=231+1,a 3-a2=232+1,an-1-an-2=23n-2+1,a n-an-1=23n-1+1相加得 an-a1=2(3n-1+3n-2+32+3)+n-1,所以 an-a1=2 +(n-1),所以 an=3n+n当 n=1 时,
28、a 1=31+1=4 成立,所以 an=3n+n ()证明:因为 an=3n+n,所以 bn= = 2()2n因为 bn+1-bn= - = ,(n N *)21()n21若-2n 2+2n+10 ,则 n ,即 n2 时,b n+1b n32又因为 b1= ,b 2= ,所以 bn 349【思路点拨】 ()根据 a1=4,a n+1=an+p3n+1,可得数列的前 3 项,利用 a1,a 2+6,a 3 成等差数列,确定 p 的值,再利用叠加法,可求数列a n的通项公式;()确定以 bn= = ,进而可知 n2 时 bn+1b n,结合 b1= ,b 2= ,可证结论2(3)2 49【题文】
29、21已知函数 f(x)=x-1-lnx(1)求曲线 y=f(x)在点( 2,f (2) )处的切线方程;(2)求函数 f(x)的极值。(3)对 ,f(x) 恒成立,求实数 b 的取值范围;0,xbx【知识点】导数的应用 B12【答案】 ()x-2y-2ln2=0()极小值为 f(1)=0 ()b 1- 2e【解析】 ()函数的定义域为(0,+),f (x)=1- ,则 f(2)= ,f(2 )=1-ln2 ,曲线 y=f(x )在点(2 ,f(2)处的切线方程为 y-(1-ln2)= (x-2),即 x-2y-2ln2=0;()f (x)=1- ,令 f(x)0,得 x1,列表:x (0,1)
30、 1 (1,+)f(x) - 0 +f(x) 0 函数 y=f(x )的极小值为 f(1)=0;()依题意对x(0,+),f (x)bx-2 恒成立等价于 x-1-lnxbx-2 在(0,+)上恒成立, 可得 b1+ -xln在(0,+)上恒成立,令 g(x)=1 + - ,g (x)=ln2l令 g(x)=0,得 x=e2列表:x ( 0,e 2) e2 (e 2,+)g(x) - 0 +g(x) 1- e函数 y=g(x)的最小值为 g(e2)=1- ,根据题意,b 1- 2e【思路点拨】 ()求出 f(2),再根据导数的几何意义,求出该点的导数值,即得曲线在此点处的切线的斜率,然后用点斜式写出切线方程即可()令导数大于 0 解出增区间,令导数小于 0,解出函数的减区间,然后由极值判断规则确定出极值即可()由于 f(x)bx-2 恒成立,得到 b1+ - 在(0,+)上恒成立,构造函数 g(x)=1 + -xln,bg(x) min 即可ln