1、湖南省永州市 2019 届高三第一次模拟考试文科数学试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 ， ，则 =1,1=1,2=( )A. B. 1 1,2C. 1， D. 1，1, 2 1,1, 2【答案】C【解析】解：集合 ， ，=1,1=1,2则 1， =1, 2故选：C根据并集的定义写出 本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题2. 若复数 i 为虚数单位 的虚部为 2，则 =(+)(, ) =( )A. B. 2 C. D. 12 1【答案】B【解析】解： ，=(+)=1+由于复数 i 为虚数单位 的虚部为 2，=(+)(, )，=2故选：B利用复数的运算法则
2、、实部与虚部的定义即可得出本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3. 抛物线 的准线方程是 2=4 ( )A. B. C. D. =1 =1 =2 =2【答案】A【解析】解：根据题意，抛物线的方程为 ，2=4其开口向右，且 ，=2则其准线方程为： ；=1故选：A根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的开口方向与 p 的值，进而由抛物线的准线方程计算即可得答案本题考查抛物线的标准方程，关键是掌握抛物线标准方程的形式4. 在等差数列 中，若 ，则 1+5=8 3=( )A. B. C. 1 D. 45 2【答案】D【解析】解：在等差数列 中，由 ， 1
3、+5=8得 ，23=1+5=83=4故选：D由已知直接利用等差数列的性质求解本题考查等差数列的性质，是基础的计算题5. 已知两线性相关变量 x 和 y 之间的几组数据如表：x 1 2 3 4 5y 8 5 4 6 2若根据上表数据所得线性回归方程为 ，则 =0.1+ =( )A. B. C. D. 2.5 3.4 4.7 7.9【答案】C【解析】解： ，=15(1+2+3+4+5)=3，=15(8+5+4+6+2)=5将 代入 ，(3,5)=0.1+得： ，解得： ，5=0.3+ =4.7故选：C分别求出 x，y 的平均数，代入回归方程，求出 m 的值即可本题考查了回归方程问题，直线过样本点的
4、中心，代入计算即可6. 双曲线 的渐近线方程是 2429=1 ( )A. B. C. D. =32 =23 =94 =49【答案】A【解析】解：化已知双曲线的方程为标准方程 ，2924=1可知焦点在 y 轴，且 ， ，=3 =2故渐近线方程为 =32故选：A化方程为标准方程，可得 a，b，代入 可得渐近线方程=本题考查双曲线的简单性质，涉及渐近线的求解，属基础题7. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在射线上，则 =2(0) =( )A. B. C. D. 55 255 55 255【答案】C【解析】解：根据题意角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，可知
5、： ，(0,90) =2所以 ，2= 12+1=15则 =55故选：C根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到 的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出 即可此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，注意角的始边与 x 的负半轴重合，是易错点，本题是一道中档题8. 已知函数 ，若 是 的极值点，则 a 等于 ()=3+32+6 =2 () ( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】解：函数 ， ，()=3+32+6 ()=32+6+是 的极值点，得到 ，可得 ，=2 () (2)=0 1212+=0，=0满足题意
6、故选：A因为 是 的极值点，得到 ，得到 a 的值验证即可=3 () (2)=0本题考查函数的极值和函数导数的应用，考查计算能力9. 函数 是 R 上的奇函数，且在 上是减函数，若 ，则实数=() 0,+) ()(1)m 的取值范围是 ( )A. B. 1 11C. D. 或1 1 1【答案】C【解析】解：根据题意，函数 是 R 上的奇函数，且在 上是减函数，=() 0,+)则函数 在 上为减函数，()(,0则 在 R 上为减函数，()若 ，必有 ，()(1) 1即 m 的取值范围为： ，1故选：C根据题意，分析可得 在 R 上为减函数，据此可得若 ，必有 ，即() ()(1) 1可得答案本题
7、考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数 在 R 上的单调性，属()于基础题10. 中， ， ， ，将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成的=3 =4 =5几何体的侧面积为 ( )A. B. C. D. 10 20 30 40【答案】B【解析】解：旋转一周所成的几何体是底面以 BC 为半径 r，以 AB 为高 h 的圆锥，且母线 ；=5所以该圆锥的侧面积为：侧 面 积 =45=20故选：B旋转一周所成的几何体是底面以 BC 为半径，以 AC 为母线的圆锥，求出圆锥的侧面积即可本题考查了圆锥的侧面积计算问题，是基础题11. 某三棱锥的三视图如图所示，图中三个三角形为全等的等腰直角三角形，若
8、该棱锥的体积等于 ，则图中等腰直角三角形的直角43边长为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：由三视图知，该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱锥，如图所示；设等腰直角三角形的直角边长为 a，则该几何体的体积为，解得 ；=13(12)=163=43 =2图中等腰直角三角形的直角边长为 2故选：B由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱锥，设等腰直角三角形的直角边长为 a，利用体积公式列方程求出 a 的值本题考查了利用三视图求几何体的体积应用问题，是基础题12. 设函数 ， 若 存在两个零点，则 a 的()= 2,12,1 ()=()
9、+2+.()取值范围是 ( )A. B. C. D. (,4 (2,4 4,+) 4,2)【答案】D【解析】解：由题意可得 有两个不同的实()=2根，即函数 的图象与直线 有两个交点，() =2作出 的图象和直线 ，=() =2当直线经过点 时，可得 ，即 ；(1,0) 2=0 =2当直线经过点 可得 ，即 ，(1,2)2=2 =4可得 时，直线和 的图象有两个交点，42(1)(2)12 0当 时， ，函数 在 上单调递增，()=2+1=22+1 0 ()0 ()(0,+)当 时，令 ，解得0 22 ()2(1)(2)12 0 ()，()=(32)=123，3123，163故 a 的取值范围为
10、 (,163).【解析】 先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，(1)由 时，有 ，可得 在 上单调递减，再求(2)12(1)(2)12 2 ()=()2(0,+)导，分离参数，再构造函数，利用导数求出函数的最值即可本题考查了导数和函数的单调性的关系，以及导数和函数最值得关系，考查了分析问题，解决问题的能力，属于难题22. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 A 的极坐标为 ，曲线 的极坐标方程为 ，且曲线 过点(2,4) 1 (4)= 1A，曲线 的极坐标方程为 2 =2求 a 的值及曲线 的直角坐标方程；(1) 2求曲线
11、 上的点到曲线 的距离的最大值(2) 2 1【答案】解： 将点 A 的极坐标 代入 的极坐标方程 ，(1) (2,4) 1 (4)=得 ，=2曲线 的极坐标方程为 ， 2 =2曲线 的直角坐标方程为 2 (+1)2+2=1由 可得 ： ，(2)(1) 1 (4)=2化为直角坐标方程为： ，+=2曲线 为直线 1由 知曲线 为圆，且圆心为 ，半径为 1，(1) 2 (1,0)曲线 的圆心 到直线 的距离为： ， 2 (1,0) 1 =32=322曲线 上的点到曲线 的距离的最大值为： 2 1 1+322【解析】 将点 A 的极坐标 代入 的极坐标方程 ，能求出 a 的值，(1) (2,4) 1
12、(4)=由曲线 的极坐标方程，能求出曲线 的直角坐标方程2 2由 ： ，化为直角坐标方程为： ，曲线 为圆，且圆心为(2)1 (4)=2 +=2 2，半径为 1，由此能求出曲线 上的点到曲线 的距离的最大值(1,0) 2 1本题考查实数值、曲线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的距离的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题23. 已知函数 ()=|+1|解不等式： ；(1) ()2若不等式 的解集为非空集合，求实数 a 的取值范围(2) ()|2|【答案】 本小题满分 10 分( )解： ，(1)()|2|2|+1|2|2当 时， 可得： ，解得 分1 |+1|2|2 1+22 32,1).(3)当 时， 可得： ，解得 12 |+1|2|2 +1+22 1,2)当 时， 可得： ，解得 分2 |+1|2|2 +1+22 2,+).(5)不等式的解集为 32,+)(2)()|2|+1|2|+1|2|(+1)(2)|=3分(8)分3 (10)注：此问用零点分区间法求 的最大值，同等给分( |+1|2| )【解析】 通过分类讨论，去掉绝对值符号，求解不等式即可(1)求出函数的最值，转化求解 a 的范围即可(2)本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的转化，考查计算能力
