1、2019 届广东省佛山市高三 1 月教学质量检测（一）数学（文）试题一、单选题1已知集合 ， ，则 （ ）A B C D【答案】B【解析】求出集合 A，B,然后直接取并集即可【详解】集合 B x|1x1，A x|x22xab0，c 1，a，b，c 的大小关系是 cab故选：B【点睛】本题考查对数运算，考查对数函数单调性的应用，考查运算求解能力，是基础题9执行如图所示程序框图，若输出的 值为 ，在条件框内应填写（ ）A B C D【答案】D【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，可知该程序是计算并输出 S 的值，条件框内的语句决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案【详解
2、】模拟执行程序，可得：i1，S10，满足判断框内的条件，第 1 次执行循环体，S102 18，i2，满足判断框内的条件，第 2 次执行循环体，S82 24， i3，满足判断框内的条件，第 3 次执行循环体，S42 3 4，i4，满足判断框内的条件，第 3 次执行循环体，S4 2420，i 5，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的 S 值为20，则条件框内应填写：i5，故选：D【点睛】本题考查程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题10已知函数 两条相邻对称轴为 和 ，若 ，则 （ ）A B C D【答案】C【解析】由相邻对称轴可得周期，即得 值，
3、再由函数对称轴可得 取值，结合得到 A，从而可求得 值.【详解】由函数 两相邻对称轴为 和 ，可知 即 则 ， ， 为对称轴， ，即 ， ，所以 ，即 ，又 ，则 ，即 ，所以 ， ，故选：C.【点睛】本题考查正弦函数解析式的求法，考查正弦函数周期和正弦函数的对称性，考查计算能力，属于中档题11已知抛物线 ： 和直线 ： ， 是 的焦点， 是 上一点，过 作抛物线 的一条切线与 轴交于 ，则 外接圆面积的最小值为（ ）A B C D【答案】A【解析】设出过点 P 的切线方程，将切线方程与抛物线方程联立，即可得到切线斜率，进而得到点 Q 坐标，利用斜率乘积为-1 可判断出 为直角三角形，外接圆的
4、圆心即为斜边的中点，即可求出圆的半径，从而得到圆的面积，即可得到最值.【详解】将直线 l 与抛物线联立 ，得 ，即直线 l 与抛物线相切且切点为（1,2），又 是 上一点，当点 P 为切点（1,2）时，Q(0,1),F(1,0)， 此时 为直角三角形，且外接圆的半径为 1，故圆的面积为 ；当点 P 不为切点时，设点 ,切线斜率为 k,则切线方程为 ，即，将切线方程与抛物线方程联立 得，其中 ，则 ，此时切线方程化简得，此时点 Q ,可得 ,即 为直角三角形， PF 中点 M即为外接圆的圆心，则 ,面积为，当 时面积取到最小值为 ，综上，面积最小值为 ，故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线相切
5、，考查三角形外接圆的面积问题，关键是能确定出三角形为直角三角形.12设 为常数，函数 .给出以下结论：若 ，则 在区间 上有唯一零点；若 ，则存在实数 ，当 时， ；若 ，则当 时， .其中正确结论的个数是（ ）A 0 B1 C2 D3【答案】D【解析】由题意可得 f（x）过原点，求得 f（x）的导数，可得单调性、极值和最值，即可判断 ；结合最小值小于 0，以及 x 的变化可判断【详解】函数 f（x）e x（xa）+a，可得 f（0）0， f（x）恒过原点，若 a1，由 f（x）的导数为 f（x）e x（xa+1），即有 xa1 时，f（x）递增；xa1 时，f （x）递减，可得 xa1 处取
6、得最小值，且 f（a1）ae a1，由 exx+1，可得 aea10，又 f(a)=a0则 f（x）在区间（ a1，a）上有唯一零点，故正确；，若 0a 1，由 可得 f（x）的最小值为 f（a1）0，且 x+时，f（x）+ ，可得存在实数 x0，当 xx 0 时，f（x）0，故正确；，若 a0，由 可得 f（x）的最小值为 f（a1）0，且 x时，f（x） ，当 x0 时，f（ x）0，故正确故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查函数的零点问题，以及函数值的符号，考查化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题13已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线为 _【答
7、案】【解析】利用双曲线的离心率求出 a，然后求解双曲线的渐近线方程【详解】双曲线 （a0）的离心率为 ，可得： ，解 a1，所以双曲线方程为： ，所以该双曲线的渐近线为 故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的离心率和渐近线，属于常考题型14已知 ，则满足 的 的取值范围为_【答案】【解析】将 f（x）写成分段函数形式，分析得 f（x）为奇函数且在 R 上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.【详解】根据题意，f（x ）x|x | ，则 f（x）为奇函数且在 R 上为增函数，则 f（2x1）+f（x）0f（2x1）f（x）f（2x1）f（x）2x1x，解可得 x
8、，即 x 的取值范围为 ，+）；故答案为： ，+）【点睛】本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析 f（x）的奇偶性与单调性15已知矩形 ， ， ， 为 的中点，现分别沿 将 ， 翻折，使点 重合，记为点 ，则几何体 的外接球表面积为_【答案】【解析】利用所给数据易得三线垂直，进而利用长方体外接球直径为其体对角线长，再利用外接球的表面积公式即可得到答案【详解】由 AB1，AD ，E 为 AD 中点，可得 PE ，PBPC1，得EPB EPC90，CPB90，PBCE 为长方体一角，其外接球直径为其体对角线长， ， ，外接球表面积为 4R2 ，故答案为： 【点睛】本题考查长方体外
9、接球问题，长方体外接球的直径为体对角线，考查推理和计算能力.16等腰直角 内（包括边界）有一点 ， ， ，则 的取值范围是_【答案】【解析】以点 A 为原点，AB， AC 所在直线为 x，y 轴建立直角坐标系，写 A,B,C 坐标，设 P（x，y），将 坐标化，得点 P 轨迹方程，利用圆的性质可求解 .【详解】建立以点 A 为原点，AB ，AC 所在直线为 x 轴，y 轴的直角坐标系，则 A（0，0），B（2，0），C（0，2），设 P（x，y） ，则 （x ，y）， （2x， y），由 1，得（x 1）2+y22，则点 p 的轨迹为以 F（1，0）为圆心， 为半径的圆，由图可知 D（0，1）
10、由圆的知识可知 取最小时为|CE| |CF| ，最大为|CD|1，故 的取值范围是： ，故答案为：【点睛】本题考查利用建系的方法解决平面向量的数量积问题，同时考查圆的有关性质，属中档题.三、解答题17数列 中， ， ，其中 为常数.（1 ）若 成等比数列，求 的值；（2 ）若 ，求数列 的前 项和 【答案】 （1） （2）【解析】 （1）可令 n1，2，3，解得 ，再由等比数列中项性质解方程得 p 值；（2）由已知 an+an+1n+1，讨论 n 为偶数或奇数，结合数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，即可得到所求和【详解】（1）由 可得所以 ， ，又 成等比数列，所以 ，即 ，又 ，故 .
11、（2） 时，当 为偶数时，当 为奇数时，综上所述， .【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，以及数列的求和方法：并项求和，考查运算能力，属于中档题18下表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：用这 44 人的两科成绩制作如下散点图：学号为 22 号的 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为 31 号的 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将 两同学的成绩（对应于图中 两点）剔除后，用剩下的 42 个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为 110.5，标准差为 18.36，物理学科的平均分为 74，标
12、准差为11.18，数学成绩与物理成绩 的相关系数为 ，回归直线 （如图所示）的方程为.（1 ）若不剔除 两同学的数据，用全部 44 人的成绩作回归分析，设数学成绩 与物理成绩 的相关系数为 ，回归直线为 ，试分析 与 的大小关系，并在图中画出回归直线 的大致位置；（2 ）如果 同学参加了这次物理考试，估计 同学的物理分数（精确到个位） ；（3 ）就这次考试而言，学号为 16 号的 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平，可按公式 统一化成标准分再进行比较，其中 为学科原始分， 为学科平均分， 为学科标准差） 【答案】 （1） ，理由见解析（2）81（3）【
13、解析】 （1）不剔除 两同学的数据，44 个数据会使回归效果变差，从而得到 ，描出回归直线即可；（2）将 x=125 代入回归直线方程，即可得到答案；（3）利用题目给出的标准分计算公式进行计算即可得到结论.【详解】(1) ，说明理由可以是：离群点 A,B 会降低变量间的线性关联程度；44 个数据点与回归直线 的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小；42 个数据点与回归直线 的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大；42 个数据点更加贴近回归直线 ；44 个数据点与回归直线 更离散，或其他言之有理的理由均可.要点：直线 斜率须大于 0 且小于 的斜率，具体为止稍有出入没关系，无需说明理
14、由.（2）令 ，代入得所以，估计 同学的物理分数大约为 分.（3）由表中知 同学的数学原始分为 122，物理原始分为 82，数学标准分为物理标准分为，故 同学物理成绩比数学成绩要好一些.【点睛】本题考查散点图和线性回归方程的简单应用，考查数据处理与数学应用能力 .19如图，在矩形 中， ， ， 分别是 边上的三等分点，将 分别沿 、 折起到 、 的位置，且使平面 底面 ，平面 底面，连结 （1 ）证明： 平面 ；（2 ）求点 到平面 的距离【答案】 （1）见解析（2）【解析】 （1）过 D，C作 AF，BE 的垂线，垂足为 M，N，连结 MN，推出 DM平面ABEF，CN平面 ABEF，从而
15、DMCN，得到四边形 DMNC为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可得到证明；（2）连结 DD，设点 A 到平面 EFDC的距离为 h，由 ，能求出点 A 平面 EFDC的距离【详解】（1）分别过点 作 的垂线，垂足为 ，连接因为平面 底面 ，且平面 底面 ，所以 平面 ，同理可证， 平面 ，所以 ，又 ，所以从而四边形 为平行四边形，则 ，又 平面 ，所以 平面 .（2）连结 ，在 中， ，所以 .因为 ，所以 .设点 到平面 的距离为 ，因为 ， .所以 ，由 得 ，所以 ，故点 到平面 的距离为 .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的
16、位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20已知过点 的直线 与椭圆 ： 交于不同的两点 ，其中， 为坐标原点（1 ）若 ，求 的面积；（2 ）在 轴上是否存在定点 ，使得直线 与 的斜率互为相反数？【答案】 （1） （2）在 轴上存在定点 ，使得直线 与 的斜率互为相反数.【解析】 （1）由题意不妨设点 A(0,1),写出直线 AB 方程，与椭圆方程联立，得点 B 坐标，根据面积公式即可得结果；（2）设过点 D 的直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理 ，即可得到定点 T 的坐标.【详解】(1)当 时， 或 ，由对称性，不妨令 ，此时直线 ： ，联立 ，消去 整理得 ，解得 ， ，故 .
17、所以 的面积为 .（2）显然直线 的斜率不为 0，设直线 ： ，联立 ，消去 整理得所以 ，即 ， ，设 ，则因为直线 与 的斜率互为相反数，所以 ，即 ，故 ，故在 轴上存在定点 ，使得直线 与 的斜率互为相反数.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法： 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21已知 是常数，函数 （1 ）讨论函数 在区间 上的单调性；（2 ）若 ，证明： 【答案】 （1）见解析
18、（2）见解析【解析】 （1）求函数求导,对 a 进行讨论，解导数不等式即可求出函数的单调区间；（2）将 化简整理得 ，构造函数 ，根据函数g(x)的单调性证明即可【详解】（1） ，若 ，则由 解得 ，且 ， ，所以 在 上递减，在 递增.当 ，则由 解得 或 ，（i）若 ，即 ， ，或 ，所以 在 上递减，在 ， 上递增.（ii）若 ，即 时， ， 在区间 上递增.（iii）若 ，即 时， ，或 ，所以 在 上递减，在 ， 上递增.（2） （）注意到 ，故（）式 ，令 ，则 ，故 在 上递增，所以 ，故 .【点睛】本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不
19、等式的证明，是一道综合题22在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ） ，直线 的参数方程为 （ 为参数）.（1 ）若 ，求曲线 与 的普通方程；（2 ）若 上存在点 ，使得 到 的距离为 ，求 的取值范围【答案】 （1） ， （2）【解析】 （1）利用平方和等于 1 消去参数 ，得到曲线 C 的普通方程，消去参数 t 得到直线 l 的普通方程；（2）设出曲线 C 上点 P 坐标，写出点到直线的距离公式 ，然后对 a进行讨论即可得到 a 的范围.【详解】(1)当 时，曲线 的普通方程为消参得直线 的普通方程为 .（2）设点 ，则 到 的距离为 （其中 ），当 即 时，当 即 时，因
20、为 ，所以当 时，始终满足条件.当 时，则由 ，解得综上所述， 的取值范围是 .【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线距离公式及分类讨论思想的应用.23已知函数 .（1 ）若 ，求 的取值范围；（2 ）若 ，关于 的不等式 的解集为 ，求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】 （1）根据绝对值定义去掉绝对值符号，转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集.（2）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集，得到关于 a，b 的不等式组，求出 a，b 的值即可【详解】（1）由 得当 时， ，解得当 时， ，不等式无解当 时， ，解得综上所述， 的取值范围为 .（2）因为 ，所以 ，当 时， ，得当 时， ，得因为不等式 的解集为 ，则又 ，所以 .【点睛】本题考查解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用
