1、第 1 页（共 33 页）2017 年内蒙古赤峰市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑每小题 3 分，共计 36 分）1|（3） 5|等于（ ）A 8 B2 C2 D82下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D3风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为 90021 平方公里90021 用科学记数法表示为（ ）A9.002110 5 B9.002110 4 C90.021 103 D900.2110 24下列运算正确的是（ ）A3x+2y=5（x+y） Bx+x 3=x4 Cx 2
2、x3=x6 D （x 2） 3=x65直线 ab，RtABC 的直角顶点 C 在直线 a 上，若1=35，则2 等于（ ）A65 B50 C55 D606能使式子 + 成立的 x 的取值范围是（ ）Ax 1 Bx2 C1x2 Dx27小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖，点 E 是以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 的交点如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）第 2 页（共 33 页）A B C D8下面几何体的主视图为（ ）A B C D9点 A（1 ， y1） 、B（3，y 2）是反比例函数 y= 图象上的两点，则 y1、y 2 的大小关系是（ ）Ay 1y
3、2 By 1=y2 Cy 1y 2 D不能确定10如图，将边长为 4 的菱形 ABCD 纸片折叠，使点 A 恰好落在对角线的交点O 处，若折痕 EF=2 ，则A=（ ）A120 B100 C60 D3011将一次函数 y=2x3 的图象沿 y 轴向上平移 8 个单位长度，所得直线的解析式为（ ）Ay=2x5 By=2x+5 Cy=2x+8 Dy=2x 812正整数 x、y 满足（2x5） （2y5）=25，则 x+y 等于（ ）A18 或 10 B18 C10 D26第 3 页（共 33 页）二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题 3 分，共 12 分）13分解因式：xy 2+8
4、xy+16x= 14如果关于 x 的方程 x24x+2m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 15数据 5，6，5，4 ，10 的众数、中位数、平均数的和是 16在平面直角坐标系中，点 P（x ，y）经过某种变换后得到点 P（y+1，x+2） ，我们把点 P（y+1，x+2）叫做点 P（x ，y）的终结点已知点 P1 的终结点为P2，点 P2 的终结点为 P3，点 P3 的终结点为 P4，这样依次得到P1、P 2、P 3、P 4、P n、 ，若点 P1 的坐标为（2，0） ，则点 P2017 的坐标为 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过
5、程或演算步骤，共 10 题，满分 102 分）17 （ ） ，其中 a=2017+（ ） 1+ tan3018已知平行四边形 ABCD（1）尺规作图：作BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交 DC 延长线于点 F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ；（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF19为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A 喜欢吃苹果的学生；B 喜欢吃桔子的学生；C喜欢吃梨的学生； D喜欢吃香蕉的学生；E 喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图 1 和图 2 的统计图（不完整）
6、 请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；第 4 页（共 33 页）（2）将图 2 补充完整，并求图 1 中的 x；（3）现有 5 名学生，其中 A 类型 3 名，B 类型 2 名，从中任选 2 名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）20王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图 1 所示已知AC=20cm，BC=18cm，ACB=50，王浩的手机长度为 17cm，宽为 8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽 AB 内？请说明你的理由 （提示：sin500.8，cos500.6，tan501.2）21如图，一次函数 y= x+1 的图象
7、与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ，以线段AB 为边在第一象限作等边 ABC（1）若点 C 在反比例函数 y= 的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点 P（2 ，m）在第一象限，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，当PAD与OAB 相似时，P 点是否在（ 1）中反比例函数图象上？如果在，求出 P 点坐标；如果不在，请加以说明第 5 页（共 33 页）22为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵 2 元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是 3500 元和 2500 元（1）若两种树苗购买的棵数一
8、样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买 1100 棵，且购买两种树苗的总费用不超过 6000 元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵23如图，点 A 是直线 AM 与O 的交点，点 B 在 O 上，BDAM 垂足为D，BD 与O 交于点 C，OC 平分AOB，B=60（1）求证：AM 是O 的切线；（2）若 DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号） 24如图 1，在ABC 中，设 A、B 、C 的对边分别为 a，b ，c ，过点 A 作ADBC，垂足为 D，会有 sinC= ，则SABC = BCAD= BCACsinC= absinC，即 SABC = abs
9、inC同理 SABC = bcsinASABC = acsinB第 6 页（共 33 页）通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理余弦定理：如图 2，在ABC 中，若 A、B 、C 的对边分别为 a，b ，c，则a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=a2+b22abcosC用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图 3，在DEF 中，F=60 ，D、E 的对边分别是 3 和 8求 SDEF和 DE2解：S DEF = EFDFsinF= ；DE2=EF2+DF22EFDFcosF= （2）如图 4，在ABC 中，已知 ACBC，C=60，ABC、B
10、CA 、ACB分别是以 AB、BC、AC 为边长的等边三角形，设ABC、ABC、BCA、ACB的面积分别为 S1、S 2、S 3、S 4，求证：S 1+S2=S3+S425OPA 和OQB 分别是以 OP、OQ 为直角边的等腰直角三角形，点C、 D、E 分别是 OA、OB、AB 的中点（1）当AOB=90时如图 1，连接 PE、QE，直接写出 EP 与 EQ 的大小关系；（2）将OQB 绕点 O 逆时针方向旋转，当AOB 是锐角时如图 2， （1）中的结第 7 页（共 33 页）论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明（3）仍将OQB 绕点 O 旋转，当AOB 为钝角时，延长 PC
11、、QD 交于点 G，使ABG 为等边三角形如图 3，求AOB 的度数26如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3 ，0） ，顶点 C 的坐标为（1，4） （1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式；（2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使 BDQ 中 BD 边上的高为2 ？若存在求出点 Q 的坐标；若不存在请说明理由第 8 页（共 33 页）2017 年内蒙古赤峰市
12、中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑每小题 3 分，共计 36 分）1|（3） 5|等于（ ）A 8 B2 C2 D8【考点】1A：有理数的减法；15：绝对值【分析】根据分式的减法和绝对值可以解答本题【解答】解：|（3）5|=|35|=|8|=8，故选 D2下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D【考点】R5：中心对称图形； P3：轴对称图形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图
13、形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意故选：C第 9 页（共 33 页）3风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为 90021 平方公里90021 用科学记数法表示为（ ）A9.002110 5 B9.002110 4 C90.021 103 D900.2110 2【考点】1I：科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数
14、的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：90021 用科学记数法表示为 9.0021104故选：B4下列运算正确的是（ ）A3x+2y=5（x+y） Bx+x 3=x4 Cx 2x3=x6 D （x 2） 3=x6【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的计算法则计算，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、不是同类项不能合并，故 A 错误；B、不是同类项不能合并，故 B 错误；C、 x2x3=x5，故 C 错误；D、 （x 2） 3=x6，故 D 正确故选：D5直线 ab，RtABC 的直角顶点 C 在直线
15、 a 上，若1=35，则2 等于（ ）第 10 页（共 33 页）A65 B50 C55 D60【考点】JA：平行线的性质【分析】先根据直角为 90，即可得到3 的度数，再根据平行线的性质，即可得出2 的度数【解答】解：RtABC 的直角顶点 C 在直线 a 上，1=35，3=9035=55，又a b，2=3=55，故选：C6能使式子 + 成立的 x 的取值范围是（ ）Ax 1 Bx2 C1x2 Dx2【考点】E4：函数自变量的取值范围【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，就可以求解【解答】解：根据题意得： ，解得：1x2故选：C7小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖，
16、点 E 是以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 的交点如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）第 11 页（共 33 页）A B C D【考点】X5：几何概率【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S CEB ，进而得出答案【解答】解：如图所示：连接 BE，可得，AE=BE，AEB=90，且阴影部分面积=S CEB = SBEC = S 正方形 ABCD，故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为： 故选：B8下面几何体的主视图为（ ）A B C D【考点】U2：简单组合体的三视图【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【解答】解：从正面看 ，第 1
17、2 页（共 33 页）故选：C9点 A（1 ， y1） 、B（3，y 2）是反比例函数 y= 图象上的两点，则 y1、y 2 的大小关系是（ ）Ay 1y 2 By 1=y2 Cy 1y 2 D不能确定【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征【分析】根据反比例函数图象的增减性进行填空【解答】解：反比例函数 y= 中的 90，经过第一、三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小，又A（1，y 1） 、B（3，y 2）都位于第一象限，且 13，y 1y 2，故选 A10如图，将边长为 4 的菱形 ABCD 纸片折叠，使点 A 恰好落在对角线的交点O 处，若折痕 EF=2 ，则A=（ ）A1
18、20 B100 C60 D30【考点】PB：翻折变换（折叠问题） ；L8：菱形的性质【分析】连接 AC，根据菱形的性质得出 ACBD ，根据折叠得出 EFAC ，EF 平分 AO，得出 EFBD，得出 EF 为ABD 的中位线，根据三角形中位线定理求出BD 的长，进而可得到 BO 的长，由勾股定理可求出 AO 的长，则ABO 可求出，继而BAO 的度数也可求出，再由菱形的性质可得 A=2BAO 【解答】解：连接 AC，四边形 ABCD 是菱形，第 13 页（共 33 页）ACBD，A 沿 EF 折叠与 O 重合，EF AC，EF 平分 AO，ACBD，EF BD，E 、F 分别为 AB、AD
19、的中点，EF 为ABD 的中位线，EF=BD ，BD=2EF=4 ，BO=2 ，AO= =2，AO= AB，ABO=30，BAO=60，BAD=120 故选 A11将一次函数 y=2x3 的图象沿 y 轴向上平移 8 个单位长度，所得直线的解析式为（ ）Ay=2x5 By=2x+5 Cy=2x+8 Dy=2x 8第 14 页（共 33 页）【考点】F9：一次函数图象与几何变换【分析】根据函数图象上加下减，可得答案【解答】解：由题意，得y=2x3+8，即 y=2x+5，故选：B12正整数 x、y 满足（2x5） （2y5）=25，则 x+y 等于（ ）A18 或 10 B18 C10 D26【考
20、点】1C：有理数的乘法【分析】易得（2x5） 、 （2y 5）均为整数，分类讨论即可求得 x、y 的值即可解题【解答】解：xy 是正整数，（2x5） 、 （2y5）均为整数，25=125，或 25=55，存在两种情况：2x5=1，2y 5=25，解得：x=3， y=15， ；2x5=2y5=5，解得：x=y=5 ；x+y=18 或 10，故选 A二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题 3 分，共 12 分）13分解因式：xy 2+8xy+16x= x （y+4） 2 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有
21、3 项，可采用完全平方公式继续分解【解答】解：xy 2+8xy+16x=x（y 2+8y+16）第 15 页（共 33 页）=x（y +4） 2故答案为：x（y+4） 214如果关于 x 的方程 x24x+2m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 m2 【考点】AA：根的判别式【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=168m0，解之即可得出 m 的取值范围【解答】解：关于 x 的方程 x24x+2m=0 有两个不相等的实数根，= （ 4） 242m=168m0，解得：m2故答案为：m215数据 5，6，5，4 ，10 的众数、中位数、平均数的和是 16 【考点】W5 ：众数
22、；W1：算术平均数；W4：中位数【分析】根据众数、中位数和平均数的概念分别求出这组数据的众数、中位数和平均数，再相加即可【解答】解：数据 5 出现了 2 次，次数最多，所以众数是 5；数据按从小到大排列为 4，5，5，6，10，中位数为 5；平均数=（5 +6+5+4+10）5=6；5+5+6=16故答案为 1616在平面直角坐标系中，点 P（x ，y）经过某种变换后得到点 P（y+1，x+2） ，我们把点 P（y+1，x+2）叫做点 P（x ，y）的终结点已知点 P1 的终结点为P2，点 P2 的终结点为 P3，点 P3 的终结点为 P4，这样依次得到P1、P 2、P 3、P 4、P n、
23、，若点 P1 的坐标为（2，0） ，则点 P2017 的坐标为 第 16 页（共 33 页）（2，0） 【考点】D2：规律型：点的坐标【分析】求得点 P2、P 3、P 4、P 5 的值，即可发现其中规律，即可解题【解答】解：P 1 坐标为（2，0） ，则 P2 坐标为（1，4） ，P 3 坐标为（ 3，3） ，P 4坐标为（2，1） ，P 5 坐标为（2，0） ，P n 的坐标为（2，0） ， （ 1，4） ， （ 3，3） ， （2， 1）循环，2017=2016 +1=4504+1，P 2017 坐标与 P1 点重合，故答案为（2，0） 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时
24、要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共 10 题，满分 102 分）17 （ ） ，其中 a=2017+（ ） 1+ tan30【考点】6D：分式的化简求值；6E ：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值【分析】先化简分式，然后再化简 a 的值，从而可求出原式的值【解答】解：原式= = =由于 a=2017+（ ） 1+ tan30，a=15+3=1原式= =2第 17 页（共 33 页）18已知平行四边形 ABCD（1）尺规作图：作BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交 DC 延长线于点 F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ；（2）在（1）的条件下，求证：
25、CE=CF【考点】N2：作图基本作图； L5：平行四边形的性质【分析】 （1）作BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交 DC 延长线于点 F 即可；（2）先根据平行四边形的性质得出 ABDC，ADBC，故1=2，3=4再由 AF 平分BAD 得出1=3，故可得出2=4，据此可得出结论【解答】解：（1）如图所示，AF 即为所求；（2）四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，ADBC ，1=2，3=4AF 平分BAD ，1=3，2=4，CE=CF第 18 页（共 33 页）19为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，
26、调查分为五种类型：A 喜欢吃苹果的学生；B 喜欢吃桔子的学生；C喜欢吃梨的学生； D喜欢吃香蕉的学生；E 喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图 1 和图 2 的统计图（不完整） 请根据图中提供的数据解答下列问题：（1）求此次抽查的学生人数；（2）将图 2 补充完整，并求图 1 中的 x；（3）现有 5 名学生，其中 A 类型 3 名，B 类型 2 名，从中任选 2 名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图【分析】 （1）根据百分比= 计算即可；（2）求出 B、C 的人数画出条形图即可；（3）利用树
27、状图，即可解决问题；【解答】解：（1）此次抽查的学生人数为 1640%=40 人（2）C 占 4010%=4 人，B 占 20%，有 4020%=8 人，条形图如图所示，第 19 页（共 33 页）（3）由树状图可知：两名学生为同一类型的概率为 = 20王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图 1 所示已知AC=20cm，BC=18cm，ACB=50，王浩的手机长度为 17cm，宽为 8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽 AB 内？请说明你的理由 （提示：sin500.8，cos500.6，tan501.2）【考点】T8：解直角三角形的应用【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得 A
28、D 和 CD 的长，进而可以求得DB 的长，然后根据勾股定理即可得到 AB 的长，然后与 17 比较大小，即可解答本题【解答】解：王浩同学能将手机放入卡槽 AB 内理由：作 ADBC 于点 D，第 20 页（共 33 页）C=50， AC=20cm，AD=ACsin50=200.8=16cm，CD=ACcos50=200.6=12cm，BC=18cm，DB=BCCD=1812=6cm ，AB= = ，17= ，王浩同学能将手机放入卡槽 AB 内21如图，一次函数 y= x+1 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ，以线段AB 为边在第一象限作等边 ABC（1）若点 C 在反比例函数 y
29、= 的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）点 P（2 ，m）在第一象限，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，当PAD与OAB 相似时，P 点是否在（ 1）中反比例函数图象上？如果在，求出 P 点坐标；如果不在，请加以说明第 21 页（共 33 页）【考点】GB：反比例函数综合题【分析】 （1）由直线解析式可求得 A、B 坐标，在 RtAOB 中，利用三角函数定义可求得BAO=30，且可求得 AB 的长，从而可求得 CAOA，则可求得 C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；（2）分PADABO 和 PAD BAO 两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得 m 的值，可求得 P 点
30、坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可【解答】解：（1）在 y= x+1 中，令 y=0 可解得 x= ，令 x=0 可得 y=1，A（ ，0） ，B（0，1） ，tanBAO= = = ，BAO=30，ABC 是等边三角形，BAC=60 ，CAO=90，在 RtBOA 中，由勾股定理可得 AB=2，AC=2，C （ ，2） ，点 C 在反比例函数 y= 的图象上，k=2 =2 ，反比例函数解析式为 y= ；（2）P （2 ，m）在第一象限，AD=ODOA=2 = ，PD=m，当ADPAOB 时，则有 = ，即 = ，解得 m=1，此时 P 点坐标为（2第 22 页（共 33 页），1） ；当
31、PDAAOB 时，则有 = ，即 = ，解得 m=3，此时 P 点坐标为（2 ，3） ；把 P（ 2 ，3）代入 y= 可得 3 ，P（2 ，3）不在反比例函数图象上，把 P（ 2 ，1）代入反比例函数解析式得 1= ，P（2 ，1）在反比例函数图象上；综上可知 P 点坐标为（ 2 ，1） 22为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵 2 元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是 3500 元和 2500 元（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买 1100 棵，且购买两种树
32、苗的总费用不超过 6000 元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵【考点】B7：分式方程的应用； C9：一元一次不等式的应用【分析】 （1）设梨树苗的单价为 x 元，则苹果树苗的单价为（x +2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；（2）设购买梨树苗种树苗 a 棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过 6000 元建立不等式求出其解即可【解答】解：（1）设梨树苗的单价为 x 元，则苹果树苗的单价为（x +2）元，依题意得： = ，解得 x=5经检验 x=5 是原方程的解，且符合题意答：梨树苗的单价是 5 元；（2）设购买梨树苗种树苗 a 棵，苹果树
33、苗则购买棵，第 23 页（共 33 页）依题意得：（5+2）+5a6000，解得 a850 答：梨树苗至少购买 850 棵23如图，点 A 是直线 AM 与O 的交点，点 B 在 O 上，BDAM 垂足为D，BD 与O 交于点 C，OC 平分AOB，B=60（1）求证：AM 是O 的切线；（2）若 DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号） 【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算【分析】 （1）由已知条件得到BOC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到1=2=60，由角平分线的性质得到 1= 3，根据平行线的性质得到OAM=90，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质
34、得到OAC=60，根据三角形的内角和得到CAD=30，根据勾股定理得到 AD=2 ，于是得到结论【解答】解：（1）B=60，BOC 是等边三角形，1=2=60，OC 平分AOB，1=3，2=3，OABD，第 24 页（共 33 页）BDM=90，OAM=90，AM 是O 的切线；（2）3=60，OA=OC，AOC 是等边三角形，OAC=60，OAM=90 ，CAD=30，CD=2，AC=2CD=4，AD=2 ，S 阴影 =S 梯形 OADCS 扇形 OAC= （4+2）2 =6 24如图 1，在ABC 中，设 A、B 、C 的对边分别为 a，b ，c ，过点 A 作ADBC，垂足为 D，会有
35、sinC= ，则SABC = BCAD= BCACsinC= absinC，即 SABC = absinC同理 SABC = bcsinASABC = acsinB第 25 页（共 33 页）通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理余弦定理：如图 2，在ABC 中，若 A、B 、C 的对边分别为 a，b ，c，则a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=a2+b22abcosC用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图 3，在DEF 中，F=60 ，D、E 的对边分别是 3 和 8求 SDEF和 DE2解：S DEF = EFDFsinF= 6 ；DE
36、2=EF2+DF22EFDFcosF= 49 （2）如图 4，在ABC 中，已知 ACBC，C=60，ABC、BCA 、ACB分别是以 AB、BC、AC 为边长的等边三角形，设ABC、ABC、BCA、ACB的面积分别为 S1、S 2、S 3、S 4，求证：S 1+S2=S3+S4【考点】KY：三角形综合题【分析】 （1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法 1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；第 26 页（共 33 页）方法 2、先用正弦定理得出 S1，S 2，S 3，S 4，最后用余弦定理即可得出结论【解答】解：（1）在DEF 中，F=60
37、 ，D、 E 的对边分别是 3 和 8，EF=3，DF=8，S DEF = EFDFsinF= 38sin60=6 ，DE2=EF2+DF22EFDFcosF=3 2+82238cos60=49，故答案为：6 ，49；（2）证明：方法 1，ACB=60，AB 2=AC2+BC22ACBCcos60=AC2+BC2ACBC，两边同时乘以 sin60得， AB2sin60= AC2sin60+ BC2sin60 ACBCsin60，ABC ， BCA，ACB是等边三角形，S 1= ACBCsin60，S 2= AB2sin60，S 3= BC2sin60，S 4= AC2sin60，S 2=S4+
38、S3S1，S 1+S2=S3+S4，方法 2、令A，B，C 的对边分别为 a，b ，c，S 1= absinC= absin60= abABC ， BCA，ACB是等边三角形，S 2= ccsin60= c2，S 3= aasin60= a2， S4= bbsin60= b2，S 1+S2= （ ab+c2） ，S 3+S4= （a 2+b2） ，c 2=a2+b22abcosC=a 2+b22abcos60，a 2+b2=c2+ab，S 1+S2=S3+S4第 27 页（共 33 页）25OPA 和OQB 分别是以 OP、OQ 为直角边的等腰直角三角形，点C、 D、E 分别是 OA、OB、A
39、B 的中点（1）当AOB=90时如图 1，连接 PE、QE，直接写出 EP 与 EQ 的大小关系；（2）将OQB 绕点 O 逆时针方向旋转，当AOB 是锐角时如图 2， （1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明（3）仍将OQB 绕点 O 旋转，当AOB 为钝角时，延长 PC、QD 交于点 G，使ABG 为等边三角形如图 3，求AOB 的度数【考点】RB：几何变换综合题【分析】 （1）先判断出点 P，O ，Q 在同一条直线上，再判断出APEBFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出 CE=DQ，PC=DE，进而判断出EPC QED 即可
40、得出结论；（3）先判断出 CQ，GP 分别是 OB，OA 的垂直平分线，进而得出GBO=GOB，GOA= GAO，即可得出结论【解答】解：（1）如图 1，延长 PE，QB 交于点 F，APO 和BQO 是等腰直角三角形，APO=BQO=90，AOP= BOQ=45，AOB=90，AOP +AOB+BOQ=180，点 P，O，Q 在同一条直线上，APO=BQO=90，第 28 页（共 33 页）AP BQ，PAE=FBE，点 E 是 AB 中点，AE=BE，AEP=BEF，APEBFE，PE=EF，点 E 是 RtPQF 的斜边 PF 的中点，EP=EQ；（2）成立，证明：点 C，E 分别是 O
41、A，AB 的中点，CEOB，CE= OB，DOC=ECA，点 D 是 RtOQB 斜边中点，DQ= OB，CE=DQ，同理：PC=DE，DOC=BDE，ECA=BDE，PCE=EDQ，EPCQED，EP=EQ；（3）如图 2，连接 GO，点 D，C 分别是 OB，OA 的中点，APO 与QBO 都第 29 页（共 33 页）是等腰直角三角形，CQ，GP 分别是 OB，OA 的垂直平分线，GB=GO=GA，GBO= GOB，GOA= GAO，设GOB=x， GOA=y，x+x +y+y+60=360x+y=150，AOB=15026如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象交 x 轴于
42、A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3 ，0） ，顶点 C 的坐标为（1，4） 第 30 页（共 33 页）（1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式；（2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使 BDQ 中 BD 边上的高为2 ？若存在求出点 Q 的坐标；若不存在请说明理由【考点】HF ：二次函数综合题【分析】 （1）可设抛物线解析式为顶点式，由 B 点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得 D 点坐标，利用待定系数法可求得直线 B
43、D 解析式；（2）设出 P 点坐标，从而可表示出 PM 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过 Q 作 QGy 轴，交 BD 于点 G，过 Q 和 QHBD 于 H，可设出 Q 点坐标，表示出 QG 的长度，由条件可证得 DHG 为等腰直角三角形，则可得到关于 Q 点坐标的方程，可求得 Q 点坐标【解答】解：（1）抛物线的顶点 C 的坐标为（ 1，4） ，可设抛物线解析式为 y=a（x 1） 2+4，点 B（3，0）在该抛物线的图象上，0=a（31） 2+4，解得 a=1，抛物线解析式为 y=（x1） 2+4，即 y=x2+2x+3，点 D 在 y 轴上，令 x=0 可得 y=3，D 点坐标为（ 0，3） ，
