1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(三)几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式一、选择题(每小题 3 分，共 18 分)1.已知 f(x)=xa，若 f(-1)=-4，则 a 等于( )A.4 B.-4 C.5 D.-5【解题指南】先求出函数的导数，然后把 f(-1)=-4 代入即可求出参数的值.【解析】选 A.因为 f(x)=xa，所以 f(x)=ax a-1，又因为 f(-1)=-4，即 a(-1)a-1=-4，解得 a=4.2.(2014济南高二检测)在曲线 f(x)= 上切
2、线的倾斜角为 的点的坐标为( )A.(1，1) B.(-1，-1)C.(-1，1) D.(1，1)或(-1，-1)【解析】选 D.因为 f(x)= ，所以 f(x)=- ，因为切线的倾斜角为 ，所以切线斜率为-1，即 f(x)=- =-1，所以 x=1，则当 x=1 时，f(1)=1；当 x=-1 时，f(1)=-1，则点坐标为(1，1)或(-1，-1).3.已知函数 f(x)=lgx，则 f(e)=( )A. B. C. D.【解析】选 C.因为 f(x)=lgx，所以 f(x)= ，所以 f(e)= .【变式训练】f(x)=log ax，若 f (e)= ，则 a=_.【解析】因为 f(x
3、)= ，所以 f(e)= = .所以 lna=1，a=e.答案：e4.(2014北京高二检测)已知曲线 y=x3在点(2，8)处的切线方程为 y=kx+b，则 k-b=( )A.4 B.-4 C.28 D.-28【解析】选 C.因为 y=3x 2，所以 k=y| x=2=12，切线方程为 y-8=12(x-2)，即 12x-y-16=0，y=12x-16，所以 k=12，b=-16，所以 k-b=28.【变式训练】已知函数 f(x)= 在(x 0，y 0)(x00)处的切线方程为 y=- x+b，则b=_.【解析】因为 f(x)= ，所以 f(x)=- ，又 f(x)= 在(x 0，y 0)(
4、x00)处的切线方程为 y=- x+b，所以 f(x 0)=- =- ，解得 x0=2，所以 y0= ，又因为点 在 y=- x+b 上，代入方程，解得 b=1.答案：15.如果曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 x+2y-3=0，那么( )A.f(x 0)0 B.f(x 0)0，所以 x=1.答案：1【误区警示】解答此题时易忽视隐含条件 x0，造成增根，致使答案错误.9.(2014南京高二检测)已知函数 y=f(x)的图象在 M(1，f(1)处的切线方程是 y= x+2，则 f(1)+f(1)=_.【解析】由已知切点在切线上，所以 f(1)= +2= ，切点处的导数为
5、切线斜率，所以 f(1)= ，所以 f(1)+f(1)=3.答案：3【变式训练】函数 f(x)=lnx 在点(e，1)处的切线方程为_.【解析】因为 f(x)=lnx，所以 f(x) = ，所以 f(x)=lnx 在点(e，1)处的切线斜率 k=f(e)= ，切线方程为 y-1= (x-e)，即 x-ey=0.答案：x-ey=0三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)10.(2014长沙高二检测)求过曲线 f(x)=cosx 上一点 P 且与曲线在这点的切线垂直的直线方程.【解析】f(x)=cosx，所以 f(x)=-sinx，则曲线 f(x)=cosx 在点 P 的切线斜率为f =-si
6、n =- ，所以所求直线的斜率为 ，所求直线方程为 y- = ，即 y= x- + .11.(2014苏州高二检测)设曲线 y=ex(x0)在点 M(t，e t)处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为 S(t)，求 S(t)的解析式.【解析】对 y=ex求导可得f(x)=(e x)=e x，故切线 l 在点 M(t，e t)处的斜率为f(t)=e t，故切线 l 的方程为y-et=et(x-t).即 etx-y+et(1-t)=0，令 y=0 可得 x=t-1，令 x=0 可得 y=et(1-t)，所以 S(t)= |(t-1)et(1-t)|= = (t-1)2et(t0).一
7、、选择题(每小题 4 分，共 16 分)1.(2014广州高二检测)若 f(x)=sinx，f()= ，则下列 的值中满足条件的是( )A. B. C. D.【解析】选 A.f(x)=cosx，f()=cos= ，又 cos = ，故选 A.2.曲线 y= 过点(4，2)的切线方程为( )A.y=x+1 B.y= x+1C.y=- x+ D.y=x【解题指南】先求出在点(4，2)处的导数，即得斜率，再利用点斜式方程写出切线方程.【解析】选 B.y= ，x=4 时，k=y| x=4= = ，切线方程为 y-2= (x-4)，即 y= x +1.【举一反三】将点改为(1，1)，切线方程为_.【解析
8、】k=y| x=1= ，所以切线方程为 y-1= (x-1)，即 y= x+ .答案：y= x+3.若曲线 y=x4的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直，则 l 的方程为( )A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0【解析】选 A.因为 l 与直线 x+4y-8=0 垂直，所以直线 l 的斜率为 4，而y=4x 3，由 y=4 得 x=1，而 x=1 时，y=x 4=1，故直线 l 的方程为：y-1=4(x-1)，即 4x-y-3=0.【误区警示】本题易认为切线 l 的斜率即为直线 x+4y-8=0 的斜率，而导致结果错误.4.(2014长
9、春高二检测)若函数 f(x)=x2014，则 f =( )A.0 B.1 C.2014 D.2013【解析】选 B.f(x)=2014x 2013，f =2014 =1.二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5.(2014潍坊高二检测)点 P 是 f(x)=x2上任意一点，则点 P 到直线 y=x-1 的最短距离是_.【解析】根据题意，设平行于直线 y=x-1 的直线与曲线 f(x)=x2相切于点(x0，y 0)，该切点即为与 y=x-1 距离最近的点.由题意知，曲线在(x 0，y 0)处的切线斜率为 1，即 f(x 0)=1，因为 f(x)=2x，所以 f(x 0)=2x0=1，所以 x
10、0= ，代入曲线方程得 y0= ，所以最短距离为 d= = .答案：【拓展延伸】利用求导公式解决综合问题的方法利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何最值问题.解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标，解题时还要注意数形结合思想的应用.6.曲线 y=sin 在点 A 处的切线方程是_.【解题指南】首先利用三角函数的诱导公式对函数进行化简，再判断点 A 是否为函数图象上的点，利用导数求切线的斜率，最后写出切线方程.【解析】y=sin =cosx，点 A 是曲线 y=sin 上的点，y =-sin = ，所求的切线方程为 y- = ，x3|即 x
11、-2y+ +1=0.答案： x-2y+ +1=0三、解答题(每小题 12 分，共 24 分)7.(2013淮南高二检测)已知 P(-1，1)，Q(2，4)是曲线 y=x2上的两点，(1)求过点 P，Q 的曲线 y=x2的切线方程.(2)求与直线 PQ 平行的曲线 y=x2的切线方程.【解析】(1)因为 y=2x，P(-1，1)，Q(2，4)都是曲线 y=x2上的点.过 P 点的切线的斜率 k1=y| x=-1=-2，过 Q 点的切线的斜率 k2=y| x=2=4，过 P 点的切线方程：y-1=-2(x+1)，即：2x+y+1=0.过 Q 点的切线方程：y-4=4(x-2)，即：4x-y-4=0
12、.(2)因为 y=2x，直线 PQ 的斜率 k= =1，切线的斜率 k=y =2x0=1，所以 x0= ，所以切点 M ，与 PQ 平行的切线方程：y- =x- ，即：4x-4y-1=0.【变式训练】求过点 的抛物线 y= x2的切线方程.【解析】设切点(x 0，y 0)，所以 y0= ， 又切线斜率 k=y= x0，所以切线方程：y-y 0= x0(x-x0)，切线过(4， )，所以 -y0= x0(4-x0)，所以 y0= -2x0+ ， 解得：x 0=1 或 x0=7，所以切点为 或 ，所以切线方程：y- = (x-1)或 y- = (x-7)，即：2x-4y-1=0 或 14x-4y-49=0.8.求证：曲线 y= (a 为非零常数)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为定值.【解题指南】设出切点坐标，求出切点处的导数即得切线斜率，写出切线方程，令 x=0，y=0 得与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式求得面积，即可使问题得证.【证明】设曲线上任意一切点为 P ，因为 y=- ，所以 k=- ，过 P 点的切线方程为：y- =- (x-x0)，切线与两坐标轴的交点为：(2x0，0)， ，显然三角形的面积为：|2x0| =2a2，为常数.故命题得证.关闭 Word 文档返回原板块
