1、3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 单调性1.了解函数的单调性与导数的关系.2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法，会求函数的单调区间.(重点、难点)基础初探教材整理 函数的单调性阅读教材 P86 思考以上部分，完成下列问题 .1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b) 内的函数 yf(x)f( x)的正负 f(x)的单调性f(x)0 增函数f(x)0，则函数 f(x)在定义域上单调递增.( )(2)f(x)在区间(a，b)上是增函数，则 f(x) 一定大于零.( )(3)若 f(x) (x0) ，则 f (x) 0，所以 f(x)是单调减函数.( )1x 1x2【解析】 (
2、1).反例：f(x ) ，f(x) 0，但 f(x)在其定义域上不1x 1x2是增函数.(2).反例： f(x)x 3 在(1,1)上是增函数，但 f(0)0.(3).f(x) 在(，0)，(0，)上是减函数，但在其定义域上不是减1x函数.【答案】 (1) (2) (3)2.函数 yx 2(x1)的单调增区间为_.【解析】 y 2x (x1)x 23x 22x，令 y0，得 3x22x0，x(3x2) 0，x 或 x0，23函数增区间为(，0和 .23， )【答案】 (，0 和 23， )质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑
3、问 3：_解惑：_小组合作型函数与其导函数图象之间的关系(1)如图 331，设 f(x)是函数 f(x)的导函数，将 yf (x)和yf ( x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是_(填序号).图 331(2)已知函数 yxf(x) 的图象如图 332(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数)，下面四个图象中，y f (x)的图象大致是_(填序号).图 332【精彩点拨】 (1)通过对各个选项中图象的变化判断是否符合题目的条件.(2)根据 yxf(x) 函数图象中所反映的 f(x )的符号，确定 yf(x)的单调区间，确定 y f(x)的图象.【自主解答】 (1)，均有可能；对于，若 C
4、1 为导函数，则yf (x)应为增函数，不符合；若 C2 为导函数，则 yf (x)应为减函数，也不符合.(2)由题图知，当 x1 时，xf(x)0，f(x )0，当 x1 时，函数 y f(x)单调递增；当1x0 时，xf(x)0，f( x)0，当1x 0 时，函数 yf(x)单调递减；当 0 x1 时，xf(x)0，f( x)0，当 0x1 时，函数 y f(x)单调递减；当 x1 时，xf(x)0，f (x )0，当 x1 时， yf(x)单调递增.综上可知，是 yf (x)的大致图象.【答案】 (1) (2) 1.利用原函数图象可以判断导函数的正负，原函数的单调增区间即为 f( x)0
5、 的区间，原函数的减区间就是导函数 f(x) 0 的区间.2.利用导函数的图象可以判断原函数的单调区间，导函数在 x 轴上方的区间就是原函数的增区间，导函数在 x 轴下方的区间就是原函数的减区间.再练一题1.f(x) 是 f(x)的导函数，若 f(x) 的图象如图 333 所示，则 f(x)的图象可能是_( 填序号).【导学号：24830079】图 333【解析】 由导函数的图象可知，当 x0 时，f(x)0，即函数 f(x)在此区间为增函数；当 0xx 1 时，f(x)0，即函数 f(x)在此区间为减函数；当 xx 1 时，f(x)0，即函数 f(x)在此区间为增函数.观察选项易知正确.【答
6、案】 求函数的单调区间求下列各函数的单调区间：(1)f(x) 2x33x 2；(2) f(x) .ln xx【精彩点拨】 求定义域求导数 f(x) 解 f(x )0 的增区间解 f(x)0 的减区间【自主解答】 (1)函数 f(x)定义域为 R，且 f(x)6x 26x .令 f(x)0，即 6x26x0，解得 x1 或 x0；令 f(x)0，即 6x26x 0，解得 0x 1.所以 f(x)的单调递增区间是 (，0)和(1，)；单调递减区间是(0,1).(2)函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x) .1 ln xx2令 f( x)0，即 0，得 0xe；令 f(x)0，即 0，得1
7、ln xx2 1 ln xx2xe，所以 f(x)的单调递增区间是 (0，e)，单调递减区间是(e，).1.利用导数求函数 f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式 f(x )0 或f(x)0，不等式的解集就是函数的单调区间 .2.利用导数求单调区间时，要特别注意不能忽视函数的定义域，在解不等式 f( x)0或 f( x)0 时，要在定义域前提下求解 .如果函数的单调区间不止一个时，要用“和” “及”等连结，而不能写成两个区间并集形式.再练一题2.求下列各函数的单调区间：(1)f(x) x33x ；(2) f(x)3x 22ln x .【导学号：24830080】【解】 (1)函数 f(x)
8、的定义域为 R，且 f (x)3x 233(x 21).当 f ( x)0 时，x 1 或 x1，此时函数 f(x)递增；当 f ( x)0 时，1 x1，此时函数 f(x)递减.函数 f(x)的递增区间是(，1)，(1，)，递减区间是(1,1).(2)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x) 6x .2x 23x2 1x令 f( x)0，即 0，x0，x .23x2 1x 33函数 f(x)的递增区间是 .(33， )令 f( x)0，即 0，x0，23x2 1x0x .函数 f(x)的递减区间是 .33 (0，33)函数 f(x)的递增区间是 ，递减区间是 .(33， ) (0，33)根
9、据函数的单调性求字母参数的取值范围若函数 f(x)x 3x 2mx 1 是 R 上的单调函数，求实数 m的取值范围.【精彩点拨】 【自主解答】 f(x )3 x22xm，由于 f(x)是 R 上的单调函数，所以 f( x)0 或 f(x)0 恒成立.由于导函数的二次项系数 30，所以只能有 f(x )0 恒成立 .方法一：由上述讨论可知要是 f(x) 0 恒成立.只需使方程 3x22x m0 的判别式 412m 0，故 m .13经检验，当 m 时，只有个别点使 f(x) 0，符合题意.所以实数 m 的取13值范围是 m .13方法二：3x 2 2xm0 恒成立，即 m3x 22x 恒成立.设
10、 g(x)3x 22x3 2 ，易知函数 g(x)在 R 上的最大值为 ，所(x 13) 13 13以 m .13经检验，当 m 时，只有个别点使 f(x) 0，符合题意.所以实数 m 的取13值范围是 m .131.可导函数 f(x)在(a，b) 上单调递增(或单调递减)的充要条件是 f(x)0(或f(x)0) 在(a，b)上恒成立，且 f(x)在( a，b)的任何子集内都不恒等于 0.2.已知 f(x)在区间 D 上单调，求 f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法.通常将 f( x)0(或 f( x)0)的参数分离，转化为求函数的最值问题，从而求出参数的取值范围.特别地，若 f(x)
11、为二次函数，可以由相应方程的根的判别式求出参数的取值范围.再练一题3.若函数 h(x)2x 在(1，)上是增函数，则实数 k 的取值范围是kx k3_.【解析】 根据条件，得 h(x) 2 0 在(1，)上恒成立，kx2 2x2 kx2即 k2x 2 在(1，) 上恒成立，所以 k2，).【答案】 2，)探究共研型求含参数函数的单调区间探究 1 函数 f(x) x3x 2ax 的导数 f(x )是什么？ f(x)0 是否一定有13实数根？【提示】 f(x )x 22xa，f(x) 0 即 x22xa0 不一定有实数根，当 44a0，即 a1 时，f(x)0 有不等实数根；当 44a0，即 a1
12、 时，f(x)0 有两个相等的实数根；当 44a0，即 a1 时，f(x)0 没有实数根.探究 2 根据探究 1 的讨论，求函数 f(x) x3x 2ax 的单调区间.13【提示】 由探究 1 知，当 44a0，即 a1 时，f( x)0 恒成立，函数 f(x) x3x 2ax 在定义域(，) 上单调递增，没有单调递减区间；13当 44a0，即 a1 时，令 f(x)0，解得 x1 或 x11 a，令 f( x)0，解得 1 x 1 ，所以函数 f(x)1 a 1 a 1 a x3x 2ax 的单调递增区间是(，1 )，(1 ，)，13 1 a 1 a单调递减区间是 .(1 1 a，1 1 a
13、)探究 3 设 f(x) x3 (a1)x 2ax ，f(x)0 一定有实数根吗？若有，13 12它们的大小确定吗？试求函数 f(x)的单调递减区间 .【提示】 f( x)x 2(a1)x a(x1)(x a)，所以 f(x)0 有实数根 a 和 1，但它们的大小不确定，所以求 f(x)的单调区间要据此分类讨论：当a1 时，由 f( x)0 解得 1xa，所以函数 f(x)的单调递减区间是(1，a)；当 a1 时，因为 f(x ) (x1) 20，所以函数 f(x)不存在单调递减区间；当a1 时，由 f( x)0 解得 ax1，所以函数 f(x)的单调递减区间是(a,1).探究 4 设函数 f
14、(x) ax3 ax22ax1(a0) ，则 f(x )13 32ax 23ax2aa(x1)( x2) ，不等式 f(x)0 的解一定是 1x2 吗？试求函数 f(x)的单调递减区间 .【提示】 不一定是，只有 a0 时，不等式 f(x )0 的解才是 1x2，当 a0 时，不等式 f(x) 0 的解是 x1 或 x2 ，所以当 a0 时，函数 f(x)的单调递减区间为(1,2) ，当 a0 时，函数 f(x)的单调递减区间为 (，1) ，(2， ).探究 5 通过以上讨论，在求含参数函数的单调区间时，一般要对参数进行讨论，那么要从哪几个方面考虑这类问题呢？【提示】 首先要确定 f(x) 0
15、 是否有根，若不确定，要分类讨论；在f(x)0 有根的情况下，如果根的大小不确定，则要按照其大小为分类标准进行讨论；如果 f(x )0 的最高次幂的系数的正负不确定，那么还要按照其正负进行讨论.已知 aR，求函数 f(x)x 2eax的单调区间 .【精彩点拨】 求导数 f(x) 后对实数 a 的符号进行讨论，并解不等式可得函数 f(x)的单调区间.【自主解答】 函数的定义域为 R.f(x) 2xe axax 2eax(2xax 2)eax.当 a0 时，若 x0，则 f(x )0，若 x0，则 f( x)0，当 a0 时，函数 f(x)在区间 (，0)内为减函数，在区间 (0，) 内为增函数；
16、当 a0 时，由 2xax 20，解得 x 或 x 0，由 2xax 20，解得2a x0，2a当 a0 时，函数 f(x)在区间 和(0 ，)内为增函数，在区间( ， 2a)内为减函数.( 2a，0)当 a0 时，由 2xax 20，解得 0x ，由 2xax 20，解得 x02a或 x ，2a当 a0 时，函数 f(x)在区间 (，0)和 内为减函数，在区间( a2， )内为增函数.(0， 2a)1.本题主要考查求函数单调性的一般方法以及函数求导公式和法则的综合应用.2.当解题过程中含有参数时，一般要对参数进行分类讨论，此时需注意应准确确定分类标准和分类讨论的准确性.再练一题4.求函数 f(x)e xax (aR)的单调区间.【解】 函数定义城为 R，且 f(x) e xa.当 a0 时，f(x )0 恒成立，所以 f(x)在(，)上单调递增，无减区间；当 a0 时，由 f(x )e xa0，得 xln a，由 f(x)0，得 xln a，所以 f(x)在(ln a，) 上单调递增，在(，ln a)上单调递减 .综上，当 a0 时，f(x )的单调递增区间是 (，)，无减区间；当 a0 时 f(x)的单调递增区间是 (ln a，)，单调递减区间是(，ln a).构建体系
