1、比和比例单元知识要点教学重点、难点：重点：理解比以及正比例和反比例的意义，会从新的角度理解数量之间的关系；难点：正确掌握正比例和反比例的意义，并能正确判断两种相关联的两成什么比例，同时能应用本单元所学的知识解决一些简单的实际问题。容易忽视的教学目标：17 页5、6（5）通过具体问题认识成正比例、反比例的量。能根据给出的有正比例关系的数据，再有坐标系的方格纸上画图，并根据其中的一个量的值估计另一个量的值。能找出生活中成正比例和反比例的量的实例，并进行交流。（6）使学生经历从实际问题中抽象出数量关系的过程，会解答有关正比例、反比例的实际问题。能用方格纸等形式按一定的比例将简单的图形放大或缩小，体会
2、图形的相似。一、比：讨论中，大家对果园里有 10 棵梨树，梨树是苹果数的 5 倍，求苹果树有多少棵？10 棵树与 5 倍之间到底存不存在这一种比的关系？当时，大家有两种观点，我们没有马上得出结论，回来后我又仔细的看了教参中对于比的描述，使我更加坚信，这样一种观点是正确的，即，比是两种量比较的一种方法，它反映的是两种量之间的一种关系。这两种量是数量，他们之间是并列的关系，即是两种数量在比较，而且是相除关系的一种比较，这两种数量可以是同类量，也可以是不同类量，同类量之间存在这一种倍比关系，不同类量之间相除可以得到第三种量，这第三种量是有意义的。后问市里专家，范老师说，这一种说法是对的，又做了一句补
3、充，即 10 棵树与 5 倍有比较的意义吗？没有，从这个意义上说，他也不是一种比。教学比的时候应注意让学生理解：1 比是一个有序概念，颠倒两个数的位置就得到另一个比。2 在学习过程中，复习与比有关的数量关系。路程与速度之间的比路程与时间的比总价与单价的比总价与数量的比3 会联想海星和章鱼的比是 4：3海星是 4 份、章鱼是 3 份，海星和章鱼合起来是 7 份海星和章鱼的比是 4：3 也可以说成海星是章鱼的几倍？海星与总数的比是：4：7 也可以说成海星占总数的几分之几？章鱼和海星的比是 3：4 也可以说成章鱼占海星的几分之几？章鱼与总数的比是 3：7 也可以说成章鱼占总数的几分之几？4我们学习的
4、比与足球比赛中的比是不一样的。不管哪一种书写形式，比的后项能为 0 吗？（学生讨论回答后，教师订正时指出：足球赛中记录的“2: 0”的意义只表示某一队与另一队比赛各得的进球分数，不表示两队所得分数的倍比关系，这与今天学习数学中的比的意义不同，它虽然借用了比的写法，但它不是一个比。）5渗透知识之间的联系，总结、提升认识（1）P36 页 1 题第（2）问：甲圆的半径是 5 厘米，乙圆的半径是 4 厘米。甲圆半径与乙圆半径的比是：（ 5：4 ）甲圆直径与乙圆直径的比是：（5：4 ）甲圆周长与乙圆周长的比是：（ 5：4 ）甲圆面积与乙圆面积的比是：（ 25：16 ）你发现了什么？为什么？换形式颠倒问法
5、？甲乙两个正方形的边长比是 2：3，甲乙两个正方形的周长比是（2：3 ） ，甲乙两个正方形的面积比是（4：9 ）（2）完成一项任务，甲需要 6 小时，乙需要 8 小时（1）写出甲、乙二人完成这项任务所需时间的比（2）写出甲、乙二人完成这项任务工作效率的比完成同一件工程，工作效率的比等于工作时间的反比选择题：（3）一个圆柱和一个圆锥，他们的底面积相等，它们高的比是3：1。它们体积的比是（ C ）A .3：1 B .1：3 C.9：1（4）符号化思想的渗透：因为 X=2Y，所以 X：Y=（ 2 ）：（ 1 ）（5）比与分数、除法之间的联系和区别小麦的出粉率是 85%，写出磨面粉的质量与所需小麦质量
6、的比，沟通百分数与比的联系，培养学生思维的深刻性和灵活性。35：（ 28 ）=2016 = =（ 125 ）%=（ 1.25 ）（填小数）（6）能用方格纸等形式按一定的比例将简单的图形放大或缩小，体会图形的相似。P6413、14 题逐步引导学生归纳出“图形按一定的比放大或缩小后，只是大小发生了变化，形状没变。 ”（7）化简比与求比值之间的联系和区别从意义上区分： 18：6 化成最简单的整数比，即 18：6=3：1或 18：6=3/1 ，求 18：6 的比值，即 18：6=186=3从计算方法上区别：化简比最常用的方法是比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0 除外）；求比值最常用的方法是前项
7、除以后项。从计算结果上区别：化简比的结果是一个最简单的整数“比”；可以写成整数比也可以写成分数比；求比值的结果是一个数。从读法上区分：连比：把几个比化为连比的方法的方法：（1）第一个比的后项正好等于第二个比的前项，可直接写出连比若甲：乙=4：3 ，若乙：丙=3：5，则甲：乙：丙=4：3：5（2）第一个比的后项不等于第二个比的前项时，可先求出这两项数的最小公倍数，再应用比的基本性质求出连比。如，已知a：b=3：4，b：c=6 ：5，求 a：b ：c 4 和 6 的最小公倍数是 12，a：b ：c=9：12：10连比的“：”不能用“”代替，也就是说连比不等于连除。二、按比分配平均分实际上是一个 1
8、：1 的分配方法，为了分配的更合理，往往把一个数量按照一定的“比”进行分配。基本方法：方法 1 是把各部分的比看作各部分的份数，按总份数和总数量的关系进行思考，先求出每份数，再用每份数分别乘各部分的份数2是把部分的比转化为各部分分别占总数量的几分之几，然后按“求一个数的几分之几是多少”的问题，求出各部分的数量。我们提倡用第二种方法，既能说明学生的抽象思维能力强，有时又能使列式计算简捷。P38第一小队比第二小队多栽种多少棵？54（5/9-4/9）1、 水果店运来苹果和梨共重 270 千克，苹果和梨重量的比是 3：2 。运来苹果和梨各多少千克？2建筑工地上的混凝土是用沙子、水泥和石子配制而成的。沙
9、子、水泥、石子重量的比是 3：2：5 。要配制 10 吨这样的混凝土，需要沙子、水泥、石子各多少吨？3六年级某班有一块长方形的墙报，长 4 米、宽 3 米，现在选登学生作文和美术作业，他们所占墙报面积的比是1：2，两种作业各占多少平方米？一个长方形，周长 10 米，长与宽的比是 3：2。求长、宽各是多少米？4.P40 4、5、65.人的血液与体重的比是 1：13 。 （ ）体重，（ ）千克，他的血液有多少千克？6.甲、乙两个数的平均数是 80，这两个数的比是 7：9，这两个数分别是多少？解决按比分配的问题是比与数量之间的一种对应关系。比例尺是比的前项或后项是 1 的比P48 的试一试是新增加的
10、内容，例题 2 和 P49 的 5 题比例尺解法的两种形式例题 2 是单位相同的数量的比，21/x=1/7000000P49 的 5 题是相对应的关系的一种比 3.6/x=1/50正比例意义一、 充分利用表格和图象教学时，可以先出示坐标系说明如何描点连线画出正比例关系图像。再通过图下面的两个问题体会正比例图像的特点。（1）用图像表示正比例关系。可以先出示例 1 的数据表和坐标系，说明正比例关系可以通过一个图像来表示。然后介绍坐标系横轴上和竖轴上的数据表示的含义，并结合例 1数据表中的一对数据说明，表中的每一组数据都可以用一个点来表示。如，数量 2 支，总价 10 元这对数据，就可以用（2,10
11、）表示，照此方法师生共同描出其余的点。并把描好的点连起来，形成一条直线，告诉学生这就是数量与总价的正比例关系图像。（2）认识正比例关系图像。结合问题（1），使学生了解从这个图像可以直观看到数量与总价的变化情况，数量增加，总价也随着增大。通过问题（2），使学生知道：利用正比例关系图像，不用计算，可以由一个量的值，直接找到对应的另一个量的值。如，知道数量 5，可以从图像上找到数量是 7 的点，再找这个点对应的竖轴上的数 25。二、 复习学过的数量关系，进行比较和区分应用题中的数量关系、各种公式、各种运算必须是相关联的两种量必须是变化的两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定或积一定举例，隐含的数
12、量关系正方形的面积和边长正方形的周长和边长注意正、反比例应用题的教学，不要把反比例列成正比例的形式。如，六年级（1）班的同学上体育课，如果排成 2 行，每行有16 人。如果排成 4 行，每行有多少人？根据，每行人数行数=全班人数（一定）可列：4X=162复习教学建议1加强整理和复习的系统性。我们知道，数学知识的特点之一就是具有严密的逻辑系统性。虽说在前面的学习过程中，每个单元、每个学期，都有整理和复习，但毕竟具有一定的局限性。本单元是在平时的基础上，在更大范围内引导学生对学过的知识进行更全面的回顾、整理和比较、对照。这样，原来分散学习时互不联系或联系较少的知识，就有机会得以沟通，进而形成纵横联
13、系的知识体系。因此，加强整理和复习的系统性，使所学知识结构化，是本单元教学的首要任务。2启发、引导学生自己整理知识。如前所述，本单元教材所采取的精简篇幅，突出重点、要点的做法，为教师启发、引导学生自己整理知识创造了条件。复习时，应充分利用教材的留白，发挥学生参与知识整理的主动性和积极性。有时，学生的整理可能不够确切、不够全面，这都是真实的、自然的现象。教师在学生开动脑筋深有体会的基础上加以点拨，往往效果更好。不仅能加深学生印象，记得牢，还有助于培养和提高学生的学习能力。因为知识的整理和复习也是学习能力的重要组成部分之一。本单元复习的内容涉及面广，而且又是逐年学习的，如果在课堂上进行逐项回忆，常
14、常花费时间较多。因此，在课堂上复习各部分内容之前，可以布置学生先进行预习。课前预习可以让每一位学生都有较充足的思考时间，有利于提高学生复习的主动性，也有利于提高课堂复习的效率。3在系统整理复习的过程中注意查漏补缺。（弄清楚学生知识上的盲点，思维认识上的盲点）在本单元的教学过程中，教师应根据前一阶段课堂教学、批改作业和课后辅导中了解到的情况，搞清学生还有哪些概念比较模糊，哪些方法不够熟练，哪些疑难尚未解决，在系统复习的过程中予以弥补。通过知识的再认、再现和质疑问难，以及必要的练习，使模糊的概念清晰起来，使生疏的技能熟练起来。可以说，所学知识与技能的巩固，是灵活应用与提高能力的基础，也是系统整理和
15、复习的基本要求之一。4 加强练习的针对性、有效性。本单元教材所提供的练习，是根据一般情况配备的，教师要善于从本班学生的实际情况出发，有针对性地对练习加以适当的调整和增补。同时注意因材施教，对不同情况的学生提出不同的练习要求，使各种程度的学生都能通过练习确有所获，并都能在原有的基础上有所提高。5 注意引导学生积累数学学习的经验，总结解决问题的策略。本单元教材，基于复习整理解决问题的思路和方法，设计了一系列的例题，并配备了必要的练习。教学时，教师要善于就题论理、论思路，引导学生总结比较一般的解题策略，以促进学习的迁移和能力的提高。同时，教师还应该通过多种途径，如课内学生的发言、小组讨论、课后的作业批改、个别交谈等，了解学生的学习体会，发现他们的学习经验，在班上介绍或交流。经验表明，六年级的整理和复习阶段，是小学生形成、总结学习经验的有利时机，利用这个时机，帮助学生总结个人经验，分享他人经验，有利于学生的发展，也有利于提高本单元的教学成效。
