1、典型例题一例 1 圆 上到直线 的距离为 1 的点有几个？9)3()(22yx 0143yx分析：借助图形直观求解或先求出直线 、 的方程，从代数计算中寻找解答l2解法一：圆 的圆心为 ，半径 )()(22yx ),(1O3r设圆心 到直线 的距离为 ，则 1O0143d32412如图，在圆心 同侧，与直线 平行且距离为 1 的直线 与圆有两个交1 1yx 1l点，这两个交点符合题意又 123dr与直线 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意04yx符合题意的点共有 3 个解法二：符合题意的点是平行于直线 ，且与之距离为 1 的直线和圆的0143yx交点设所求直线为 ，则 ，043my
2、x432d ，即 ，或 ，也即51m61，或 l： 2l：设圆 的圆心到直线 、 的距离为 、 ，则9)3()(21yxO： 1l21d2， 46321d 43622d 与 相切，与圆 有一个公共点； 与圆 相交，与圆 有两个公共点即符1l1l1O1合题意的点共 3 个说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心 到直线 的距离为 ，则 1O0143yxd324312圆 到 距离为 1 的点有两个1显然，上述误解中的 是圆心到直线 的距离， ，只能说明此直d043yxrd线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条
3、平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断典型例题三例 3 求过两点 、 且圆心在直线 上的圆的标准方程并判断点)4,1(A)2,3(B0y与圆的关系)4,2(P分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 与圆的P位置关系，只须看点 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆P外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为 22)()(rbyax圆心在 上，故 0y圆的方程为 22)(ry
4、x又该圆过 、 两点4,1A,3(B 22)3(6ra解之得： ， 10所以所求圆的方程为 2)(2yx解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过 、 两点，所以圆心 必在线段 的垂直平分线 上，又因)4,1(A),3(BCABl为 ，故 的斜率为 1，又 的中点为 ，故 的垂直平分线 的方32ABklAB)3,2(程为： 即 xy0y又知圆心在直线 上，故圆心坐标为0y)0,1(C半径 24)1(2ACr故所求圆的方程为 yx又点 到圆心 的距离为)4,2(P)0,(rCd2512点 在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的
5、距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？典型例题四例 4 圆 上到直线 的距离为 的点共有（ 03422yx01yx2） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个分析：把 化为 ，圆心为 ，半2yx822yx1，径为 ，圆心到直线的距离为 ，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 ，r 2所以选 C典型例题五例 5 过点 作直线 ，当斜率为何值时，直线 与圆43，Pl l有公共点，如图所示21yxC：分析：观察动画演示，分析思路解：设直线 的方程为l34xky即 0根据 有rdPEOyx2143k整理得 0432解得k典型例题六
6、例 6 已知圆 ，求过点 与圆 相切的切线42yxO： 42，PO解：点 不在圆 上，4，P切线 的直线方程可设为Txky根据 rd 214k解得 3所以 42xy即 013因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为 2x说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（也要注意漏解） 还可以运用 ，求出切点坐标 、 的值来解决，此时没有漏20ryx0xy解典型例题七例 7 自点 发出的光线 射到 轴上，被 轴反射，反射光线所在的直线与圆3，Alx相切0742yxC：（1）
7、求光线 和反射光线所在的直线方程l（2）光线自 到切点所经过的路程A分析、略解：观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出点的对称点 的坐标为 ，A3，其次设过 的圆 的切线方程为Cxky根据 ，即求出圆 的切线rd的斜率为或34k进一步求出反射光线所在的直线的方程为或04yx3最后根据入射光与反射光关于轴对称，求出入射光所在直线方程x为或034yx034yx光路的距离为 ，可由勾股定理求得 MA 7222CMA说明：本题亦可把圆对称到 轴下方，再求解典型例题八例 8 如图所示，已知圆 与 轴的正方向交于 点，点 在直线42yxO： AB上运动，过 做圆 的切线，切点为 ，求 垂心 的轨迹2
8、yBCABHG O BNMyAx图 3CA分析：按常规求轨迹的方法，设 ，找 的关系非常难由于 点随 ，),(yxH, HB点运动而运动，可考虑 ， ， 三点坐标之间的关系CBC解：设 ， ，连结 ， ，),(yxH),( A则 ， ， 是切线 ，ABO所以 ， ， ，O/所以四边形 是菱形所以 ，得2C.,2xy又 满足 ，),(yx4所以 即是所求轨迹方程)0(2x说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识采取代入法求轨迹方程做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法典型例题九例 9 求半径为 4，与圆 相切，且和直线
9、 相切的圆的方0422yx0y程分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：则题意，设所求圆的方程为圆 22)()(rbyaxC：圆 与直线 相切，且半径为 4，则圆心 的坐标为 或 C0y )4,(1aC)4,(2又已知圆 的圆心 的坐标为 ，半径为 30242yxA2若两圆相切，则 或 73A3C(1)当 时， ，或 (无解)，故可得),(1aC22)1()(2214()(a02所求圆方程为 ，22)4()0(yx或 24)1(yx(2)当 时， ，或 (无解)，故)4,(2aC227)14()(2214()(a6所求圆的方程为 ，22)()6(yx或 224)(yx说明：对本题，易发生
10、以下误解：由题意，所求圆与直线 相切且半径为 4，则圆心坐标为 ，且方程形如0)4,(aC又圆 ，即 ，其224)()(yax 022yx 2231yx圆心为 ，半径为 3若两圆相切，则 故 ，解1,A3CA7)()(之得 所以欲求圆的方程为 ，或02 224)1(yx24)()(yx上述误解只考虑了圆心在直线 上方的情形，而疏漏了圆心在直线 下方的情00y形另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的典型例题十例 10 已知圆 与直线 相交于 、 两点，062myx032yxPQ为原点，且 ，求实数 的值OOQP分析：设 、 两点的坐标为 、 ，则由 ，可得),(1yx),(21OQPk，
11、再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜021yx率为 ，由直线 与圆的方程构造以 为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出lx的值，从而使问题得以解决OQPk解法一：设点 、 的坐标为 、 一方面，由 ，得),(1y),(2OQP，即 ，也即： 1OQPk2xy021yx另一方面， 、 是方程组 的实数解，即 、),(1),(2632myx1x是方程 2x02741052mx的两个根 ， 21521又 、 在直线 上，PQ03yx )(941)(2)( 211121 xy 将代入，得 5m将、代入，解得 ，代入方程，检验 成立，30 3解法二：由直线方程可得 ，代入圆的
12、方程 ，有yx2062myx，0)(9)6(2122 myxyx整理，得 7434)( yxy由于 ，故可得0012)()274( xym ， 是上述方程两根故 得OPkQ1OQPk，解得 12743经检验可知 为所求说明：求解本题时，应避免去求 、 两点的坐标的具体数值除此之外，还应对求出的 值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点 、 存在m PQ解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人xy以一种淋漓酣畅，一气呵成之感典型例题十一例 11 求经过点 ，且与直线 和 都
13、相切的圆的方程)5,0(A02yxyx分析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 ，故只需确定A圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解：圆和直线 与 相切，2yxyx圆心 在这两条直线的交角平分线上，C又圆心到两直线 和 的距离相等02yxyx 5yx两直线交角的平分线方程是 或 03yxyx又圆过点 ，),0(A圆心 只能在直线 上Cyx设圆心 )3,(t 到直线 的距离等于 ，02yxAC 2)53(5tt化简整理得 062t解得： 或1t圆心是 ，半径为 或圆心是 ，半径为 )3,(5)15,(5所求圆的方程为 或 )3()22yx 12)(2yx
14、说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法典型例题十二例 12 设圆满足：(1)截 轴所得弦长为 2；(2)被 轴分成两段弧，其弧长的比为 ，yx1:3在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 的距离最小的圆的方程0yl：分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程解法一：设圆心为 ，半径为 ),(baPr则 到 轴、 轴的距离分别为 和 xya由题设知：圆截 轴所得劣弧所对的圆心角为 ，故圆截 轴所得弦长为 90xr2 2br又圆截 轴所得弦长为 2y 12a又 到直线 的距离为),(bP0yx52d 22ba4)(2221ab当且仅当 时取“=”号，此时 5mind这时有 12ab 或又 22br故所求圆的方程为 或2)1()(2yx 2)1()(2yx解法二：同解法一，得52bad d 2254ba将 代入上式得：1022db上述方程有实根，故
