1、【解析】河北衡水中学 2015 届高三上学期第五次调研考试数学文试题【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本能力为载体， ，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、程序框图、导数、数列、三角函数的性质，统计概率等；考查学生解决实际问题的能力。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的【题文】1复数 等于A1+2i B12i C2+i D2 一 i【知识点】复数的基本概念与运算 L4【答案】D【解析】 =2-i3()412iii【思路点拨】两个复数相除，分子和
2、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位 i 的幂运算性质进行准确化简运算【题文】2设集合 A 一zIl60)的左、右焦点分别为 F1、F2，上顶点为 B，Q 点坐标为(3，0)，且=0(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过定点 P(0，2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点(M 在 P，N 之 间)，设直线 l 的斜率为 k(k0)，在x 轴上是否存在点 A(m，0)， 使得以 AM,AN 为邻边的平行四边形为菱形?若存在，求出实 数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由【知识点】椭圆及其几何性质 H5【答案】(1) (2)m2143xy36【解析】(1)由题意知 Q（3,0 ）,
3、 ,所以 c=1.1FB在 中， 为线段 中点，故 =2c-2,所以 a=2,b= ,1RtFB2 23所以椭圆方程为 143xy(2)设 y=kx+2(k0)M( ) N( ),取 MN 中点 E( )1,xy2,0,xy假设存在点 A（m,0）使得以 AM,AN 为邻边的平行四边形为菱形，则 AEMN由 得 k2143kxy2(43)164kxk012因为 ,所以 ，12602830263yk因为 ，所以 ，即 AEMN1AEk24mk1整理得 m= = 243k因为 k ， ， ，所以)m1k13(0,)24k36【思路点拨】根据椭圆中 a,b,c 的关系求出方程，根据直线与椭圆联立求出
4、 m 的范围。【题文】21(本小题满分 12 分)已知函数 ,(1)若存在 x0，使 f(x)0 成立，求实数 m 的取值范围，(2)设 1me，H(x)=f(x)一(m+1)x，证明：对任意的 x1， ，x21，m，恒有 H(x1)- H(x2)1【知识点】导数的应用 B12【答案】 （1） （-，-e（0，+）(2)略【解析】 （1）由题意 f(x)= x2+mlnx，得 f(x)=x+ 1当 m0 时， f(x)=x+ 0，因此 f（x）在（0 ，+）上单调递增，由对数函数的性质，知 f（x）的值域为 R，因此x0 ，使 f（x）0 成立；当 m=0 时，f (x)= 0，对x0，f（x
5、）0 恒成立；2当 m0 时，由 f(x)=x+ 得 x= ，mx (， +)- 0 +f（x） 极小值 此时 f(x)min=f( )=- +mln 2令 f(x)min 0 -e m 0l0所以对x0，f （x）0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（-e，0 故x0，使 f（x）0 成立，实数 m 的取值范围是（-，-e（0，+） （2）H (x)=f(x)-(m+1)x= x2+mlnx-(m+1)x，H (x)=x+ -(m+1)= (x1，m ， H(x)= 0，所以函数 H（x）在1，m上单调递减1()m于是 H(x1)-H(x2)H(1)-H(m)= m2-mlnm- 1H(x1
6、)-H(x2) 1 m2-mlnm- 1 m-lnm- 032记 h(m)= m-lnm- (1 me)，则 h(m)= - + 0，3所以函数 h(m)= m-lnm- 在（1 ，e 上是单调增函数，2所以 h(m)h(e)= -1- 0，故对x 1，x 21，m，恒有 H（x 1）-H （x 2）1【思路点拨】 （1）由题意 f(x)= x2+mlnx，得 f(x)=x+ 讨论 m 的范围判断函数的单调性与其最值，通过最小值与 0 的关系得到 m 的范围（2）H (x)=x+ -(m+1)= 0，)所以函数 H（x）在1，m上单调递减H (x1)-H(x2) 1 m2-mlnm- 1 m-
7、lnm- 0，所以设 h(m)= m-lnm- (1 me)判断其单调性求其最值即可证得1233请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。如果多做。则按所做的第一题计分【题文】22(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图所示，圆 0 的直径为 BD，过圆上一点 A 作圆 O 的切线 AE，过点 D 作DE AE 于点 E，延长 ED 与圆 0 交于点 C(1)证明：DA 平分 BDE；(2)若 AB=4，AE=2，求 CD 的长【知识点】几何证明选讲 N1【答案】 （1）略（2 ） 43【解析】 （1）证明：AE 是O 的切线，DAE= ABD，BD 是O 的直径，BAD=
8、90，ABD+ADB=90，又ADE+DAE=90，ADB= ADEDA 平分 BDE（2）由（1）可得：ADE BDA， ，AEBD ，化为 BD=2ADABD=30 DAE=30DE=AEtan30= 24ADB 23由切割线定理可得：AE 2=DECE，2 2= ( +CD)，解得 CD= 34【思路点拨】 （1）由于 AE 是O 的切线，可得DAE= ABD 由于 BD 是O 的直径，可得BAD=90，因此ABD+ADB=90 ，ADE+DAE=90，即可得出ADB=ADE （2）由（1）可得：ADE BDA，可得 ，BD=2AD因此ABD=30利用AEBDE=AEtan30切割线定理
9、可得：AE 2=DECE，即可解出【题文】23(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系直线 的参数方程为(t 为参数)，曲线 C1 的方程为 =12，定点 A(6，0)，点 P 是曲线 C1 上的动点，Q 为 AP 的中点(1)求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程；(2)直线 与直线 C2 交于 A，B 两点，若 ，求实数 a 的取值范围【知识点】参数与参数方程 N3【答案】(1) (2) 22(3)(1)4xy304a【解析】(1)由题意知，曲线 的直角坐标方程为C212xy设 P( )，Q(x，y) 由中点
10、坐标公式得 代入 中，得点 Q 的轨迹 的直角,xy 64y2C坐标方程 。22(3(1)4(2)直线 l 的普通方程 y=ax,由题意得： ，解得 。22231(3)a304a【思路点拨】根据参数方程转化成普通方程，再利用距离公式求出 a 的范围。【题文】24(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)= (1)当 a=0 时，解不等式 f(x)g(x)；(2)若存在 xR，使得 f(x)g(x)成立，求实数 a 的取值范围【知识点】不等式选讲 N4【答案】 （） （-，-1- ，+）(2) （- ，+）1312【解析】 （）当 a=0 时，由 f（x）g（x）得|2x+
11、1|x ，两边平方整理得 3x2+4x+10，解得 x-1 或 x-原不等式的解集为 （-，-1- ，+） 13（）由 f（x）g（x） 得 a|2x+1|-|x|，令 h（x）=|2x+1|-|x|，即 h（x）= ，1,23,01x故 h（x） min=h（- ）=- ，故可得到所求实数 a 的范围为（- ，+） 12 12【思路点拨】 （）当 a=0 时，由 f 不等式可得|2x+1|x ，两边平方整理得 3x2+4x+10，解此一元二次不等式求得原不等式的解集（）由 f（x）g（x） 得 a|2x+1|-|x|，令 h（x）=|2x+1|-|x|，则 h（x）= ，1,23,01x求得 h（x）的最小值，即可得到从而所求实数 a 的范围
