1、2019 届广东省惠州市高三第三次调研考试数学（理）试题一、单选题1已知集合 ，集合 ，则集合 （ ）A BC D【答案】B【解析】化简集合 A，然后求并集即可.【详解】集合 A=x|x2+x20=x| 2x1，B=x|x0，集合 AB=x|x2故选：B【点睛】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意利用数轴求集合间的交并补2若复数 满足 ，则在复平面内， 所对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】先求出复数 Z,即得 z 所对应的点在第几象限.【详解】由题得 z= ,所以复数 z 对应的点为（-1,1） ，所以复数 z 对应的点在第二象限.
2、故答案为：B【点睛】本题主要考查复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.3若 、 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A 2 B6 C7 D8【答案】C【解析】分析：作出可行域，研究目标函数的几何意义可知，当 时目标函数取得最大值为 .详解：作出可行域，如下图中的阴影部分，易知目标函数 中的 值随直线 向上平移而增大，过点 时取得最大值为 ，故选 C.点睛：将目标函数 转化为直线的斜截式方程 ，当截距 取得最大值时，取得最大值；当截距 取得最小值时， 取得最小值.4两个正数 、 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且 ，则双曲线 的离心率 等于（ ）A B
3、 C D【答案】A【解析】要求双曲线的离心率，得求 ，由 和已知中的两个 与 的关系，即可求出。【详解】由题意可得： ，结合 ，解方程组可得： ，则双曲线中： .故选 A【点睛】本题考查了基本的等差中项、等比中项概念、双曲线的离心率及 的关系。5已知函数 与 互为反函数，函数 的图象与 的图象关于 轴对称，若 ，则实数 的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】根据反函数的定义，求出函数 ，又根据函数关于 轴对称得 ，即可求出答案.【详解】函数 与 互为反函数，函数 ，函数 的图象与 的图象关于 轴对称，函数，即故选 D.【点睛】本题考查反函数的求法，考查函数对称关系以及函数求值，是基础计算
4、题.6公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” ，利用“割圆术 ”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 ，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术” 思想设计的一个程序框图，则输出的 值为（ ） （参考数据：）A 48 B 36 C24 D12【答案】C【解析】由 开始，按照框图，依次求出 s，进行判断。【详解】，故选 C.【点睛】框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。7已知直线 过点 ，当直线 与圆 有两个交点时，其斜率 的取值范围为（ ）A BC D【答案】B【解析】将直
5、线 用点斜式表示出来，再由直线 与圆有两个交点，就是圆心到直线 的距离小于半径，从而限定斜率 k 的取值范围。【详解】直线 为 ，又直线 与圆 有两个交点，故 ， ，故选 B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系。判断位置关系有两种方法，一种是几何法，用圆心到直线的距离与半径比较，距离大于半径是相离，距离等于半径是相切，距离小于半径是相交，还有一种方法，就是将直线与圆的方程联立，代入消元，得到关于另一元的二次方程，利用 判断， 是相交， 是相切， 是相离， 。8一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）立方单位。A BC D【答案】D【解析】由三视图可知几何体是由一个四棱锥和半个圆柱组
6、合而成的，所以所求的体积为 ，故选 D.9已知 是抛物线 的焦点， ， 是该抛物线上两点， ，则 的中点到准线的距离为（ ）A B2 C3 D4【答案】C【解析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出 M、N 的中点横坐标,求出线段 MN 的中点到该抛物线准线的距离.【详解】由题意， 是抛物线 的焦点，所以 ，准线方程为 ，设 ，所以 ，解得 ，所以线段 的中点的横坐标为 ，所以线段 的中点到该抛物线的准线的距离为，故选 C【点睛】本题考查解决拋物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离.10在 中
7、，点 是 上一点，且 ， 为 上一点，向量，则 的最小值为（ ）A 16 B 8 C4 D2【答案】A【解析】由题意结合三点共线的性质首先得到 的关系，然后结合均值不等式的结论求解 的最小值即可.【详解】由题意可知： ，其中 B,P,D 三点共线，由三点共线的充分必要条件可得： ，则：，当且仅当 时等号成立，即 的最小值为 16.本题选择 A 选项.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11函数 在 内的值域为 ，则 的取值范围为（ ）A B C D【答案】A【解析】先将 转化为正弦型或余弦型函数，再由自变量的取值范围和
8、值域限定 的取值范围。【详解】函数当 时， ， ，则解得 ，故 的取值范围为 。故选【点睛】本题考查了由正弦型函数或余弦型函数的值域限定参数取值范围的问题，其中要结合图像限定 的范围。12已知偶函数 满足 且 ，当 时, ，关于 的不等式 在 上有且只有 200 个整数解，则实数 的取值范围为（ ）A BC D【答案】D【解析】判断 f（x）在（0，8）上的单调性，根据对称性得出不等式在一个周期（0，8）内有 4 个整数解，再根据对称性得出不等式在（0， 4）上有 2 个整数解，从而得出 a 的范围【详解】当 0x4 时，f（x）= ，令 f（x）=0 得 x= ，f（x）在（0， ）上单调递
9、增，在（ ，4）上单调递减，f（x）是偶函数，f（x+4）=f（4 x）=f（x4），f（x）的周期为 8，f（x）是偶函数，且不等式 f2（x）+af（x）0 在200， 200上有且只有 200 个整数解，不等式在（0，200）内有 100 个整数解，f（x）在（0，200）内有 25 个周期，f（x）在一个周期（0，8）内有 4 个整数解，（1）若 a0，由 f2（x）+af（x）0，可得 f（x）0 或 f（x） a，显然 f（x）0 在一个周期（0 ，8）内有 7 个整数解，不符合题意；（2）若 a0，由 f2（x）+af（x）0，可得 f（x）0 或 f（x） a，显然 f（x）0
10、 在区间（0，8）上无解，f（x） a 在（0，8）上有 4 个整数解，f（x）在（0，8）上关于直线 x=4 对称，f（x）在（0，4）上有 2 个整数解，f（1）=ln2，f（2）= =ln2，f（3）= ，f（x） a 在（0，4）上的整数解为 x=1，x=2 aln2，解得ln2a 故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是分析出函数 f(x)的周期性和对称性，f（x）在一个周期（0，8）内有 4 个整数解.其二是对 a 分类讨论，得到
11、a 的取值范围.二、填空题13已知 ，则 _。【答案】【解析】由已知求 ，再利用和角正切公式，求得 ，【详解】因为 所以 cos因此 .【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。14如图，在平面四边形 中， ， ， ， 是等边三角形，则的值为_。【答案】1【解析】将 用彼此平行或垂直，并且知道大小的向量来表示，即 = ，= + ，再求 。【详解】ABBC，AB= ，BC=1，AC=2， ，BCA= ；又ACD 是等边三角形，AD=AC=2，ADAB， = （ + ）= + = +12=1【点睛】本题考查了向量的数量积运算，本题的关键是两个向量如何表示，才能方便运算。15已知四棱
12、锥 的顶点都在半径为 1 的球面上，底面 是正方形，且底面经过球心 ， 是 的中点， 底面 ，则该四棱锥 的体积等于_立方单位。【答案】【解析】画出如下图形，连接 ，则 ， ，又 ， 答案：16已知数列 满足 ， ，且 ，记 为数列 的前 项和，则 _。【答案】304【解析】由 nan+1=（n+1）an+n（n+1） ，变形为 =1，利用等差数列的通项公式可得：，可得 an由 bn=ancos = ，对 n 分类讨论利用三角函数的周期性即可得出【详解】 ， ，数列 是公差与首项都为 1 的等差数列 ，可得 ， ，令 ， ，则 ， ，同理可得 ， ， ， ， ，则 故答案为：304【点睛】本题
13、考查了等差数列的通项公式、递推关系、三角函数的周期性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题17在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ， 为其面积，若 （1 ）求角 的大小；（2 ）设 的角平分线 交 于 ， ， ，求 的值。【答案】 （1） ；（2）【解析】 （1）由余弦定理可得 ，代入题中条件即可得解；（2）在 中,由正弦定理得 ，从而得 ，可得 ，再由 代入即可得解.【详解】（1）由 得 得 （2）在 中,由正弦定理得所以所以 所以 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18已知公差
14、为正数的等差数列 的前 项和为 ，且 ， ,数列 的前 项和 。（1 ）求数列 与 的通项公式；（2 ）求数列 的前 项和 【答案】 （1） ， .（2）【解析】等差数列 ，求出首项和公差，再求通项公式。 利用前 项和减去前项和求通项公式。 的前 项和 常用错位相减的方法求得。【详解】（1）由题意知 ， ， 又公差为正数，故 ， , ， ，由 得当 ，当 时， 综上得 （2）由（1）知 解法 1（错位相减法）得解法 2（待定系数法）设由 ，得 解得所以解法 3（分合法）化简得【点睛】在（2）问题中，看到通项公式为等差型乘以等比型的数列，最常用错位相减的方法求前 n 项和，这是求和的基本方法之一
15、。19在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 为直角梯形， ， ， ， ， 为 的中点， 为 的中点。（1 ）求证： 平面 ；（2 ）求二面角 的余弦值。【答案】(1)见证明；(2)【解析】 （1）利用面外线与面内线平行证明面外线平行于平面。（2）建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量的夹角余弦值，来求二面角的平面角的余弦值，或用几何法找到二面角的平面角来求余弦值。【详解】（1）连接 交 于 ，并连接 ， ， ， 为 中点， ，且 ，四边形 为平行四边形， 为 中点，又 为 中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 .（2）解法 1（向量法）连接 ，由 E 为 AD 的中点及 ，得 则 ，侧面 底面
16、 ，且交于 ， 面 ，如图所示，以 E 为原点，EA、EB、EP 分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ，C . 为 的中点，F ， 设平面 EBF 法向量为 ，则 ,取 ,平面 EBA 法向量可取： ,设二面角 F-BE-A 的大小为 ，显然 为钝角， , 二面角 F-BE-A 的余弦值为（2）解法 2（几何法 1）连接 ，由 E 为 AD 的中点及 ，得 ，取 中点 ，连 ， ， ，侧面 底面 ，且交于 ， ， 面 面 面 为 的中点， 为 的中点，MEA 为二面角 F-BE-A 的平面角在 中， ，在 中，由余弦定理得在 中，由余弦定理得 cosMEA ，所以二面角 F-
17、BE-A 的余弦值为 .（2）解法 3（几何法 2）连接 ，由 E 为 AD 的中点及 ，得 侧面 底面 ， 面 ， ，连 交 于点 ，则 为 中点，连 ， ， ， 为 的中点， ， 面 ， 又 ， FNQ 为二面角 F-BE-A 的平面角的补角在 中， ， 由勾股定理得cosFNQ ，所以二面角 F-BE-A 的余弦值为 .【点睛】本题考查了线面平行的判定和二面角余弦值的求法这两个基本题型。证明线面平行常用线线平行的方法，关键是能在平面内找到与面外线平行的直线。当看到中点时，多往中位线方面考虑，这是找平行线的常用技巧。求二面角的平面角的余弦值首选空间向量的方法，简单，除非二面角的平面角非常好
18、找，并且很好求。20已知椭圆 过点 ，且左焦点与抛物线 的焦点重合。（1 ）求椭圆的标准方程；（2 ）若直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，线段 的中点记为 ，且线段 的垂直平分线过定点 ，求 的取值范围。【答案】(1) (2) 【解析】 （1）由左焦点与抛物线的焦点重合，可以求得 c,再利用椭圆过点 求得、 ，从而求出椭圆方程。（2）由直线与椭圆交于不同的两点，可以由 得到 k 与 m 的不等关系，再由 AG 直线与 直线垂直，斜率乘积为-1，得到 k 与 m 的等量关系，将等量关系代入不等关系来限定 k 的取值范围。【详解】（1）解法 1 抛物线 的焦点为 F（-1,0） ，依题意知，椭圆的
19、左右焦点坐标分别为 ，又椭圆过点 ，由椭圆的定义知， ， ，又 ，椭圆的方程为 （1）解法 2 抛物线 的焦点为 F（-1,0） ，依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为 ，又椭圆过点 ， 解得 ，椭圆的方程为 （1）解法 3 抛物线 的焦点为 F（-1,0） ，依题意知，椭圆的左右焦点坐标分别为 ，又椭圆过点 ， ， 可解得 ，椭圆的方程为 （2）解法 1由 消去 整理得， 直线与椭圆交于不同的两点，整理得 设 ，线段 的中点 A ，则 ， ，点 A 的坐标为 ， 直线 AG 的斜率为 ，又直线 AG 和直线 MN 垂直， ， ，将上式代入式，可得 ，整理得 ，解得 实数 的取值范围为 （2）解
20、法 2设则 两式相减得 即 点 满足方程 . 又 直线 且过点点 也满足方程 联立解得 ，即 点 在椭圆内部 的取值范围为【点睛】求参数取值范围的问题，找到限定参数的不等关系式是解题的关键。本题由 得到k 与 m 的不等关系就是关键，进由 AG 直线与 直线垂直得到 k 与 m 的等量关系，代入来限定 k 的取值范围，本题也可以看到中点弦就用点差法解决。21设函数 （1 ）当曲线 在点 处的切线与直线 垂直时，求实数 的值；（2 ）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围。【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于 a 的方程，解出即可；（2）方程恰有两个不相等
21、的正实根，即方程 恰有两个不相等的正实根. 设函数 ，根据单调性即可进行求解.试题解析：由题意知，函数 的定义域为 ， ， ，解得.（2）若函数 有两个零点，则方程 恰有两个不相等的正实根，即方程 恰有两个不相等的正实根.设函数， .当 时， 恒成立，则函数 在 上是增函数，函数 最多一个零点，不合题意，舍去；当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，则函数 在 内单调递减，在 上单调递增.易知 时， 恒成立，要使函数 有 2 个正零点，则 的最小值 ，即 ，即， ， ，解得 ，即实数 的取值范围为 .22 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点
22、为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1 ）写出曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2 ）已知点 是曲线 上的动点，求点 到曲线 的最小距离【答案】 （1） （2）【解析】(1) 曲线 C1 的参数方程消去参数，能求出曲线 C1 的普通方程，曲线 C2 的极坐标方程利用 ，能求出曲线 C2 的直角坐标方程；(2) 设点 的坐标为，利用点到直线的距离表示点 到曲线 的最小距离，结合三角函数的图像与性质即可得到最小值.【详解】（1）消去参数 得到 ， 故曲线 的普通方程为 ，由 得到 ，即 ,故曲线 的普通方程为（2）解法 1设点 的坐标为 ， 点 到曲线 的距离
23、所以，当 时， 的值最小， 所以点 到曲线 的最小距离为 . （2）解法 2设平行直线 ： 的直线 方程为 当直线 与椭圆 相切于点 P 时，P 到直线 的距离取得最大或最小值。由 得 ，令其判别式 ，解得 ，经检验，当 时，点 P 到直线 的距离最小，最小值为所以点 到曲线 的最小距离为 .【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23 选修 4-5：不等式选讲 已知 .（1 ）求不等式 的解集；（2 ）若 时，不等式 恒成立，求 的取值范围 .【答案】 （1）
24、 ；（2）【解析】 （1）由题意得 |，可得 ，整理可得 ，利用一元二次不等式的解法可得结果不；（2） ，将 写出分段函数形式，利用单调性可得 时， 取得最大值 1，所以 的取值范围是 【详解】（1）由题意得|x 1|2 x1|, 所以|x1| 2|2x1| 2,整理可得 x22x 0，解得 0x 2，故原不等式的解集为x|0 x 2 （2）由已知可得，af(x )x 恒成立，设 g(x)f(x) x ，则 ,由 g(x)的单调性可知，x 时，g(x) 取得最大值 1，所以 a 的取值范围是1，）【点睛】绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用 “零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想；转化法 ，转化为一元二次不等式或对数、指数不等式.
