1、课 题 22：汽车行驶的路程教学目标：1体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；2感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近） 。3了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）教学难点：过程的理解教学过程：一创设情景复习：1连续函数的概念；2求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？二新课讲授问题：汽车以速度 v组匀速直线运动时，经过时间 t所行驶的路程为 S
2、vt如果汽车作变速直线运动，在时刻 t的速度为2（单位：km/h） ，那么它在 0 1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S（单位：km）是多少？ 分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题把区间 0,1分成 n个小区间，在每个小区间上，由于 vt的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S（单位：km）的近似值，最后让 n趋紧于无穷大就得到 S（单位：km）的精确值 （思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程） 解：1分割
3、在时间区间 0,1上等间隔地插入 1n个点，将区间 0,1等分成 n个小区间：0,n， 2,， ,1n 记第 i个区间为 1,(,)ii ，其长度为1tn把汽车在时间段 10,， 2,， ,1n上行驶的路程分别记作：1S， 2， nS显然， 1nii（2）近似代替当 n很大，即 t很小时，在区间 1,in上，可以认为函数2vt的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点 1in处的函数值21iivn，从物理意义上看，即使汽车在时间段 ,(,2)ii 上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 1in处的速度21iivn作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速” ，于是的用小
4、矩形的面积 iS近似的代替 iS，即在局部范围内“以直代取” ，则有211ii ivtnnAA21(1,2)iinnA（3）求和由，2111nnnii iiSvtn AA=220nnA= 22311n= 316= 1n从而得到 S的近似值 23nS（4）取极限当 n趋向于无穷大时，即 t趋向于 0 时，1123nS趋向于 S，从而有 1115limlilim233nnniSvnA 思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程 S与由直线 0,tv和曲线 2vt所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程 limnS在数据上等于由直线 0,1tv和曲线 2vt所
5、围成的曲边梯形的面积一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为 vt，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在 a tb 内所作的位移 S三典例分析例 1弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力 Fxk（ 为常数， x是伸长量） ，求弹簧从平衡位置拉长 b所作的功 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解解： 将物体用常力 F沿力的方向移动距离 x，则所作的功为WFx1分割在区间 0,b上等间隔地插入 1n个点，将区间 0,1等分成 n个小区间：0,n， 2,b，,nb 记第 i个区间为 1,(1,2)ibinn ，其长度为ibx把在分段 0,bn， 2,， 1,n上所作的功分别记作：1W， 2， n（2）近似代替有条件知： 1iibibFxknn (1,2)in（3）求和 11nnii ibWkn= 2 22101nkbkbn n从而得到 的近似值 2nW（4）取极限 2211limlilimnnnkbkb所以得到弹簧从平衡位置拉长 所作的功为：2四课堂练习1课本 练习五回顾总结求汽车行驶的路程有关问题的过程六布置作业教后反思：
