1、2.3.4 平面与平面垂直的性质考点一：二面垂直性质定理的应用1、 如图平面 平面 ，在 与 的交线 上取线段lAB 4cm，AC、BD 分别在平面 和平面 内，AC ，BD ，AC3cm，BD12cm，求线段 CD 的长ll分析 为求 CD 的长，由 BD ，易知BCD 为 Rt，lBD 长已知，只要知道 BC 长即可由 AC ，知ABC 为 Rt可l解解析 AC ，AC3，AB4，BC5.lBD ， ，BD， BD，又 BClBD BC，在 RtBDC 中，DC 13，CD 长为2BCD13cm.2、如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAAB
2、BC，E 是PC 的中点(1)证明： CDAE ；(2)证明： PD平面 ABE.解析 (1)证明：在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD， CD平面 ABCD，故 PACD.AC CD，PA ACA，CD平面 PAC.而 AE平面 PAC， CDAE.中华资源库(2)证明：由 PAABBC，ABC 60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC.由(1)知， AECD，且 PCCDC，AE 平面 PCD.而 PD平面 PCD， AEPD.PA底面 ABCD， ABPA，又 ABAD ，AB平面 PAD，AB PD.又AB AEA，PD平面 ABE.3、已知：， l求证： l解析
3、证法 1：在 内取一点 P，作 PA 垂直 与 的交线于A，作 PB 垂直 与 的交线于 B，则PA，PB ， ， PA ， PB ，PA 与 PBlll相交，又 PA，PB，l. 证法 2：在 内作直线 m 垂直于 与 的交线，在 内作直线n 垂直于 与 的交线，m，n，mn，又n，m，又 m， ，m ， 4、如下图，已知 V 是ABC 所在平面外一点，VB平面 ABC，平面 VAB平面 VAC，求证：ABC 是直角三角形分析 灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化证明 过 B 作 BDVA 于 D，平面 VAB平面 VAC，BD平面 VAC，ZBDAC，又VB平面 ABC，VB AC，AC
4、平面 VAB，ACBA，即ABC 是直角三角形考点二：线线、线面、面面垂直的综合应用1、 已知 RtABC 中，ABAC，AD 是斜边 BC 上的高，以AD 为折痕，将ABD 折起，使BDC 为直角(1)求证：平面 ABD平面 BDC. (2)求证： BAC 60.(3)求点 A 到平面 BDC 的距离(4)求点 D 到平面 ABC 的距离分析 抓住等腰 RtABC 中 ADBC，及折叠前后位于折线同侧的点、线位置关系、数量关系都不变则有 ADBD，ADCD，故(1)、 (2)、 (3)问容易求解对于第(4) 问，因为 BDC 也是等腰直角三角形取 BC 中点 E，易得 BC平面 ADE，平面
5、 ABC平面 ADE，交线为 AE，于是 D 点到平面 ABC 的距离就是 D 点到直线 AE 的距离，又ADE 为 Rt，故距离易求解析 (1)ADBD，ADDC，BD DC D ，AD平面 BDC又 AD平面 ABD.平面 ABD平面 BDC.(2)在原 RtABC 中，ABAC ，BC2，BDDC1.2又折叠后BDC90，BDC 为等腰 Rt，BC ，2ABBCAC，BAC60(3)在 ABC 中，易得 AD BC1，由(1)知 AD平面 BDC.12AD 的长就是点 A 到平面 BDC 的距离值为 1.(4)取 BC 的中点E， ABAC，BD DC，DEBC ，AE BC，BC 平面
6、ADE，平面 ABC平面 ADE.过 D 作 DMAE 于 M，则 DM平面 ABC，DM 的长即为D 到平面 ABC 的距离在 RtADE 中，AD 1，DE ，AE22 62斜边 AE 上高 DM ，ADDEAE 33D 点到平面 ABC 的距离为 .33考点三：二面角1、 如图，已知 SA平面ABC，ABBC，SAAB，SB BC，E 是 SC 的中点，DESC 交AC 于 D.求二面角 EBDC 的大小解析 Error!SC 平面 BEDError!BD平面 SAC EDC 为二面角 EBDC 的平面角设 SAa，则 SBBC a，2BC AB，SA 平面 ABC，BCSB.SC2a，
7、SCD30 ，EDC60 ，来源： 即二面角 EBDC 的大小是 60.考点四：距离问题1、直线 平面 ，在 上任取一点 A 作 AB，垂足为 B，则llAB 的长为直线 与平面 的距离长方体 ABCDA B C D 中，l 11棱 AA 5，AB12，则直线 B1C1 与平面 A BCD 的距离等于1 1_ 解析 如图，作 B EA B，A D 平面 ABB A ，B E平面11111ABB A ， A D B E，1又 A BA D A ，B E平面 A BCD ，B E 为直线 B C 到111111平面 A BCD 的距离，由 BB 5，A1B1 12，A B B90知B1E 2、如图
8、，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，且 PA平面1360ABCD，Q 为线段 AP 的中点，若 ABAP2，BC4，则点 P 到平面 BQD 的距离为_ 来源：解析 Q 为线段 PA 的中点，P 点到平面 QBD 的距离等于 A 点到平面 QBD 的距离在平面AC 内过 A 作 BD 的垂线 AE 交 BD 于 E，连 QE，PA平面 ABCD， BDPA，BD 平面 QAE.在平面 QAE 内过 A 作 AHQE 交 QE 于 H.BDAH，AH平面 BQD.A 点到面 BQD 的距离为 AH.在 RtABD 中，AD 4，AB 2，BD2 .AE .5455RtQAE 中，QE .AQ
9、2 AE2215AH .AQAEQE1455215 42121即点 P 到平面 BQD 的距离为 .42121来源： 考点五：探索问题1. 正三棱锥 ABCD 中，BAC 30，ABa，平行于AD、BC 的截面 EFGH 分别交 AB、BD、DC 、CA 于点E， F，G，H.(1)判定四边形 EFGH 的形状，并说明理由；(2)设 P 是棱 AD 上的点，当 AP 为何值时，平面 PBC平面EFGH？请给出说明解析 (1)同理 EFAD，HGEF，同理 EHFG，四边形 EFGH 是平行四边形，来源：ABCD 是正三棱锥，A 在底面上的正投影 O 是BCD 的中心，DOBC，又 AOBC，BC平面 AOD，ADBC，HGEH，四边形 EFGH 是矩形(2)作 CPAD 于 P 点，连结 BP，ADBC，AD面 BCP，HGAD，HG 面 BCP，又 HG面 EFGH，面 BCP面 EFGH，在 RtAPC 中，CAP30，AC a，AP a23
