1、第二章 2.3 2.3.2 第 1 课时一、选择题1设双曲线 1( a0)的渐近线方程为 3x2y0，则 a 的值为 导学号 64150410 ( )x2a2 y29A4 B3C2 D1答案 C解析 本小题考查内容为双曲线的渐近线双曲线的渐近线方程为 y x，比较 y x，a2.3a 322(2015安徽理，4)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y2x 的是导学号 64150934 ( )Ax 2 1 B. y 21y24 x24C. x 21 Dy 2 1y24 x24答案 C解析 由题意，选项 A，B 的焦点在 x 轴，故排除 A，B；C 项的渐近线方程为x 20，即 y2 x
2、，故选 C.y243已知双曲线 C： 1(a0，b0) 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为x2a2 y2b2 52导学号 64150411 ( )Ay x By x14 13Cy x Dyx12答案 C解析 e ， ，ca 52 c2a2 54b 2 a2a 2 ，54 a24 ，即渐近线方程为 y x.ba 12 124已知 02.又 c 1，k 1 k 2 2k 3故选 A.二、填空题7若双曲线的渐近线方程为 y3x ，它的一个焦点是( ，0)则双曲线的方程是10_ 导学号 64150415答案 x 2 1y29解析 设双曲线方程为 9x2y 2(0)，即 1.x29 y2a 2b 2c
3、 2， 10，解得 9.9双曲线方程为 x2 1.y298(2015全国卷文，15)已知双曲线过点 (4， )，且渐近线方程为 y x，则该双312曲线的标准方程为_ 导学号 64150416答案 y 21x24解析 根据双曲线渐近线方程为 y x，可设双曲线的方程 y 2m，把(4 ， )代12 x24 3入 y 2m 得 m1.所以双曲线的方程为 y 21.x24 x24三、解答题9已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆 x2y 210 相交于点 P(3，1)，若此圆过点 P 的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程 导学号 64150417解析 解法 1：切点为 P(3，1)的圆的切线方
4、程为 3xy 10.双曲线的一条渐近线与切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，两渐近线方程为 3xy0.设所求的双曲线方程为 9x2y 2 (0) ，点 P(3，1)在所求的双曲线上， 80.所求双曲线的方程为 1.x2809 y280解法 2：切点为 P(3，1) 的圆的切线方程为 3xy10.双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标对称，双曲线的渐近线方程为 3xy0.当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 1(a0，b0)，则其渐近线方程x2a2 y2b2为 y x，即 3，则双曲线方程可化为 1.ba ba x2a2 y29a2双曲线过 P(3，1) ， 1，a 2 ，b
5、 280.9a2 19a2 809所求双曲线的方程为 1.x2809 y280当焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 1(a0，b0)，则其渐近线方程为y2a2 x2b2y x，即 3，则双曲线方程可化为 1.ab ab y29b2 x2b2双曲线过点 P(3，1) ， 1，得 1，此方程无解19b2 9b2 809b2所求的双曲线方程为 1.x2809 y280一、选择题1已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线 l：y2x10，双曲线x2a2 y2b2的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为 导学号 64150418 ( )A. 1 B. 1x25 y220 x220 y25C.
6、 1 D. 13x225 3y2100 3x2100 3y225答案 A解析 由于一个焦点在直线 y2x 10 上，则一个焦点为(5,0)，又由渐近线平行于直线 y2x10.则 2，结合 a2b 2c 2，c5 得，baa 25，b 220，双曲线标准方程为 1，选 A.x25 y2202已知椭圆 1 和双曲线 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线x23m2 y25n2 x22m2 y23n2方程是 导学号 64150419( )Ax y By x152 152Cx y Dy x34 34答案 D解析 由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上，椭圆焦点( ，0)，3m2 5n2双曲线焦点( ，0
7、)2m2 3n23m 25n 22m 23n 2.m 28n 2.又双曲线渐近线为 y x，6|n|2|m|代入 m28n 2，|m| 2 |n|，得 y x.2343(2016全国卷理，11)已知 F1，F 2 是双曲线 E： 1 的左，右焦点，点 Mx2a2 y2b2在 E 上， MF1 与 x 轴垂直，sinMF 2F1 ，则 E 的离心率为 ( )13 导 学 号 64150420A B232C D23答案 A解析 设 F1(c,0) ，将 xc 代入双曲线方程，得 1，所以c2a2 y2b2 1 ，所以 y 因为 sinMF 2F1 ，所以y2b2 c2a2 b2a2 b2a 13t
8、an MF2F1 ，所以 e2 e10，所以|MF1|F1F2| b2a2c b22ac c2 a22ac c2a a2c e2 12e 24 22e 故选 A24如图，F 1、F 2 是椭圆 C1： y 21 与双曲线 C2 的公共焦点，A、B 分别是x24C1、C 2 在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是 导学号 64150421( )A. B.2 3C. D.32 62答案 D解析 不妨设双曲线方程为 1.x2a2 y2b2由题意知|BF 1| BF2|2a|BF 1|2|BF 2|22| BF1|BF2|4a 2，并由勾股定理得|BF 1|2| B
9、F2|24c 212，由知 124a 22|BF 1|BF2|，| BF1|BF2|62a 2.下面求|BF 1|BF2|的值在椭圆中| BF1|BF 2|4，故|BF 1|2|BF 2|22|BF 1|BF2|16，又由知|BF 1|2| BF2|24c 212，|BF 1|BF2| 2，因此有 c2 a21，c 23，a 22，C 2 的离心率 e .ca 62二、填空题5(2015北京理，10)已知双曲线 y 21( a0)的一条渐近线为 xy0，则x2a2 3a_. 导学号 64150422答案 33解析 双曲线 y 21(a0)的渐进线方程为x2a2y x， x y0y x，a0，则
10、 ，a .1a 3 3 1a 3 336已知点 F、A 分别为双曲线 C 1( a0，b0)的左焦点、右顶点，点x2a2 y2b2B(0，b)满足 0，则双曲线的离心率为_ 导学号 64150423FB AB 答案 1 52解析 由已知 F(c,0) ，A( a,0)， (c，b) ， (a，b)，FB AB 由 0 得acb 20，FB AB 即 c2aca 20，e 2e10，解得 e (另一根舍去)1 527设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线 1 的一个焦点，则 m_.y2m x29导学号 64150424答案 16解析 本题考查双曲线的标准方程以及 a、b、c 基本量的关系和运
11、算根据标准方程可知，a 2m， b29，而 c5，c 2a 2b 2，5 2m 9.m16.三、解答题8如图，已知 F1、F 2 为双曲线 1(a0，b0)的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直x2a2 y2b2线交双曲线于点 P，且PF 1F230. 求双曲线的渐近线方程 导学号 64150425解析 解法一：设 F2(c,0)(c0)，P(c，y 0)，代入方程得 y0 ，b2a|PF 2| .b2a在 Rt F1F2P 中， PF 1F230，|F 1F2| |PF2|，即 2c ，3 3b2a又c 2a 2b 2，b 22a 2， .ba 2故双曲线的渐近线方程为 y x.2解法二：在
12、 RtPF 1F2 中，PF 1F230，|PF 1| 2|PF2|，由双曲线的定义可知|PF 1| PF2|2a，|PF 2| 2a，| F1F2| |PF2|.32c2 a，c 23a 2a 2b 2.2a 2b 2.3 ，故所求双曲线的渐近线方程为 y x.ba 2 29已知双曲线 1(a0，b0)的右焦点为 F(c,0) 导学号 64150426x2a2 y2b2(1)若双曲线的一条渐近线方程为 yx 且 c2，求双曲线的方程；(2)以原点 O 为圆心， c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A，过 A 作圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率3解析 (1)双曲线的渐近线为 y
13、 x，ab，bac 2a 2b 22a 24，a 2b 22，双曲线方程为 1.x22 y22(2)设点 A 的坐标为(x 0，y 0)，直线 AO 的斜率满足 ( )1，y0x0 3x 0 y0， 3依题意，圆的方程为 x2y 2c 2，将代入圆的方程得 3y y c 2，即 y0 c，20 2012x 0 c，32点 A 的坐标为( c， )，代入双曲线方程得32 c2 1，即 b2c2 a2c2a 2b2， 34c2a214c2b2 34 14又a 2b 2c 2，将 b2c 2a 2 代入式，整理得 c42a 2c2a 40，343( )48( )240，ca ca(3e 2 2)(e22)0，e1，e ，双曲线的离心率为 .2 2
