1、第 二 章 混 沌 与 分 形 的 基 本 理 论l2.1 混沌l2.2 分岔及产生混沌的途径l2.3 混沌研究的判据与准则l2.4 分形2.1 混沌2.1.1 混沌的特征l混沌运动限于有限区域且轨道永不重复、性态复杂 。具有通常确定性运动所没有的几何和统计特征 ：局部不稳定而整体稳定、无限自相似、连续功率谱、奇怪吸引子、分维数、正Lyapunov特征指数、正测度熵 等。l具有确定性运动的特征：无周期而有序、已发现的三条通向混沌的道路、Feigenbaum普适常数、有界性和对初值具有强的敏感性 。大量的研究表明，在非线性耗散系统中有混沌并伴有混沌吸引子，在非线性保守（或保面积）系统中也有混沌，
2、只是没有混沌吸引子（KAM定理）。可见耗散结构和混沌是非线性科学的两朵奇葩，是探索世界复杂性的两把金钥匙。 耗散结构 : 图2.1 热扩散实验包含两种介质（氢气和氦气）的容器。加热一端而冷却另一端。最后，两种介质分离，热的一端充满一种介质，冷的一端充满另一种介质。这是一种远离平衡态的有序结构。这种有序结构的出现和维持要从外部不断供应物质和能量，所以是一种耗费物质和能量的结构，因此称之为“耗散结构”。实际上，所有生物体都是一种高级的耗散结构。比如人每天要吃饭，时时要呼吸，就是一种开放系统和耗散结构。 生物进化史，就是生物从原始的比较均匀的无序结构发展为高级的不均匀的有序结构的历史。一个系统要形成
3、耗散结构需要满足四个条件：(1)系统必须是一个开放系统；(2)系统必须远离平衡态； (3)系统内部各要素之间存在着非线性的相互作用； (4)涨落导致有序。 从上述的四个条件看，耗散结构的形成是一个不可逆过程。在Prigogine看来，Newton和Einstein的最大失误就是把时间看作是可逆的。他的耗散结构理论使我们认识到，现实的世界中，时间是不可逆的，系统的演化过程和结果与时间相关。 基于上述分析，可见混沌的主要特征有： 1、敏感初始条件 2、伸长与折叠 3、具有丰富的层次和自相似的结构 4、非线性耗散系统中存在混沌吸引子 2.1.2 混沌的定义l1990年，美国著名科幻小说家Michae
4、l Crichton推出一力作侏罗纪公园。 小说中的混沌：存在着另一类物理学难以描述的行为。例如与湍流有关的问题 ，这种方程很难求解，直至混沌理论的出现。混沌系统的行为对初始条件的变化十分敏感 。 l如该系统是用以时间为自变量的微分方程来刻划，则我们研究的目的是试图预言微分方程的解在遥远的将来或推测在遥远的过去的最终状态。如该系统是以离散形式进行刻划，即x f xn n 1 ( )l其中f是集合M到M的映射，则我们希望了解，随着n变大，序列 的最终性态。因此我们称的集合为x的前向轨道，用表示 ，即如果f是同胚，我们还可以定义x的全轨道为点 的集合 ，x的后向轨道 定义为的集合。x f x f
5、x f xn, ( ), ( ), , ( ),2 x f x f x f xn, ( ), ( ), , ( ),2 O x( )O x x f x f x ( ) , ( ), ( ), 2 O x( )f xn( ) ( )n Z O x( )x f x f x f xn, ( ), ( ), , ( ), 1 2 l 定义2.1 如果对某个 有 ，但对于小于n的自然数k， ，则称 是f的一个n周期点。 当 是f 的一个n周期点时，有 。此时 只有n个不同的元素。x M0 f x xn ( )0 0f x xk ( )0 0x0 f x f xn k k ( ) ( )0 0O x x
6、x x x x x x x xn n ( ) , , , , , , , , , , , 0 0 1 2 1 0 1 2 1 0 x0x0l定义2.2 当 是f的一个n周期点时，称为f的n周期轨道。 , ( ), ( ), , ( )x f x f x f xn0 0 2 0 1 0 x0定义2.3 设(X, )是一紧致的度量空间，f : X X是连续映射，称f在X上是混沌的，如果：(1)f具有对初值敏感依赖性，(2)f在X上拓扑传递，(3)f的周期点在X中稠密。 l混沌一词最先由T. Y. Li和J. A. Yorke提出。1975年他们在美国数学月刊上发表了题为“周期3意味着混沌”的文章，
7、并给出了混沌的一种数学定义，现称为Li-Yorke定义或Li-Yorke定理 :l 考虑一个把区间a, b映为自身的、连续的、单参数映射 , ,亦可写成点映射形式： , 定义2.4 连续映射或点映射 , 称为是混沌的，如果：（1）存在一切周期的周期点； （2）存在不可数子集 , S不含周期 F a b R a b: , , ( , ) ( , )x F x x R ，x F xn n 1 ( , ) x a bn , ，F a b R a b: , , ( , ) ( , )x F x S a b , 点，使得 , , , , , , p为周期点 liminf ( , ) ( , )n n n
8、F x F y 0 x y S, x ylimsup ( , ) ( , )n n nF x F y 0 x y S, x y，limsup ( , ) ( , )n n nF x F p 0 x S此定义中前两个极限说明子集的点x S相当集中而又相当分散；第三个极限说明子集不会趋近于任意点。 l根据Li-Yorke定义，一个混沌系统应具有三种性质：（1）存在所有阶的周期轨道；（2）存在一个不可数集合，此集只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道；（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。l 可见周期轨道与
9、混沌运动有密切关系，表现在两个方面：第一，在参数空间中考察定常的运动状态，系统往往要在参量变化过程中先经历一系列周期制度，然后进入混沌状态。这构成所谓“通向混沌的道路”。 l第二，一个混沌吸引子里面包含着无穷多条不稳定的周期轨道；一条混沌轨道中有许许多多或长或短的片段，它们十分靠近这条或那条不稳定的周期轨道。 2.1.3 奇怪吸引子l还有另一大类的系统，它在运动时，其相空间容积收缩到维数低于原来相空间维数的吸引子上，即运动特征是相空间容积收缩，这类系统就是耗散系统。在耗散系统中存在一些平衡点（不动点）或子空间，随着时间的增加，轨道或运动都向它逼近，它就是吸引子。在相空间中，耗散系统可能有许多吸
10、引子，向其中某个吸引子趋向的点的集合称为该吸引子的吸引盆。在某吸引子的吸引盆中不会有其它吸引子，与吸引子相反的就是排斥子。通常耗散系统的简单吸引子有不动点、极限环和环面。简单吸引子又受系统参数的影响，随着系统的参数的变化，耗散运动也会出现混沌，这时的吸引子就变为奇怪吸引子。混沌运动表现为奇怪吸引子是耗散系统独具的性质 。l对耗散系统中四个常有的吸引子解释如下。(1)不动点吸引子或定常吸引子：是一个零维的吸引子，在相空间中是一个点，它表示系统在做平衡运动。(2)极限环：是一个一维的吸引子，在相空间中是环绕平衡点的一条闭合的曲线，它对应周期运动。 (3)准周期吸引子，表现为相空间上的二维环面，它类
11、似面包圈的表面，轨道在状态空间的环面上绕行，这种运动有两个频率，一是轨道沿较短方向绕环面运动所决定的频率，一是轨道绕整个环面运动所决定的频率，这两个频率不可公约，它是准周期运动。 (4)奇怪吸引子：也称“随机吸引子”、“混沌吸引子”。它是相空间中无穷多个点的集合，这些点对应于系统的混沌状态。 定义2.5 由于耗散系统的相空间容积是收缩的，所以n维耗散系统的稳态运动将位于一个小于n维的“曲面”（超曲面）上，粗略地说，这个曲面就是吸引子。定义2.6 它首先应是一个吸引子，即存在一个集合U，使 (1)U是A的一个邻域； (2)对每一初始点 ，当t 0时，应有 ；当 时， ，即A是吸引子；此外 0x
12、U( )x t A ( )x t Ut (3) 时，有对x0的敏感性(当初值误差为无穷小量时，它的像的误差随t按指数增长)，即A是奇怪吸引子； (4)对 ，应有 使 ，而奇怪吸引子不应分成两个。 l奇怪吸引子有以下几个重要特征：(1)对初始条件有非常敏感的依赖性。 (2)它的功率谱是一个宽谱。(3)系统中存在有马蹄。 (4)它具有非常奇特的拓扑结构和几何形式。 0x Uy A ( )x t ( ) 0d y x t 2.2 分岔及产生混沌的途径l2.2.1 分岔理论l混沌运动就是经过一系列解的突变才发生的。解发生突变的参数值称为分岔点。分岔理论的主要内容，就是研究非线性方程解的数目如何在参数变
13、化过程中发生突变。 l运动状态可以通过各种分岔现象发生质的变化。这种当控制参数变化到某个临界值时而使系统的动力学性态发生定性变化的现象称为分岔，它是非线性系统内部固有的一种特性。例如，考虑一个连续的动力学系统，即由常微分方程组 (2.2) 决定的动力学系统。方程组(2.2)有定态解 ,即满足方程组 的解。这个定态解的稳定性可通过线性化的小扰动分析方法来考察。令并假设初始时刻的zi很小，线性化的方程组为其中 dxdt F xi i i N12, , x0 F xi 0 0 i N12, , z x xi i i 0dzdt a zi ij j i N12, ,a Fxij j x x 0它具有
14、形式的解。这里 是矩阵 的特征方 程 的特征值。它的实部也称为 Lyapunov特征指数。因为，这些特征值的实部决 定了随它的初值增加还是减小。如果所有这些特征 值的实部都是负的，则定态解是稳定的。通常把它 称为吸引子。如果这些特征值这至少有一个特征值的实部大于零。则此定态解是不稳定的。通常把 它称为排斥子。 Lyapunov特征指数是判断解的稳定性的一个特征量，也是定量表征运动轨道是否出现混沌的一个特征量。它依赖于系统的控制参数，系统是否发生分岔现象可通过对它的分析来判断。 z ei i t ija det aij ij 0最常见的分岔有：叉型分岔或对称鞍结点分岔、切分岔或鞍结点分岔、跨临界
15、分岔、滞后分岔、Hopf分岔、倍周期分岔、同宿和异宿分岔。 2.2.2 通向混沌的道路2.2.2.1 倍周期分岔通向混沌第一种是倍周期分岔途径，亦称Feigenbaum途径。这条途径是一种规则的运动状态（例如某种定态解或周期解）可以通过周期不断加倍的倍分岔方式逐步过渡到混沌运动状态。如Logistic映射是经过倍周期分岔达到混沌的，如下图： nnn xxx 11 4,0 X 01,Feigenbaum指出Logistic映射分岔点的参数值 (m = 1, 2, 3, )形成无穷序列，并有一个极限值 = 3.569945672。同时Feigenbaum还发现Logistic映射系统伴随倍周期分岔
16、的产生，还呈现别的复杂动力学行为。下面叙述Logistic映射的情形。 1、混沌和奇怪吸引子 当 = 时，周期无穷大的解有无穷多个，映射进入混沌，其总体上是稳定的，同时，它又是奇怪吸引子。 该映射之所以出现混沌，是由于它具有两个基本性质： （1）伸展和折叠（stretching and folding） （2）不可逆 2、逆瀑布（inverse cascade）（逆级联）当 = 4时，周期为任意整数的解都存在，且全都是m不稳定的，所以在0，1上有可列无限个不稳定周期点，除去这些点后的0，1中仍有不可列无限多个点，这个点集将组成一个奇怪吸引子。3、周期窗口（periodic windows） 当
17、 时，Logistic映射存在周期3解。1975年，Li和Yorke曾提出“周期3意味着混沌”的论断。 4、U序列 U序列（Universal Sequence）又称MSS序列或揉搓序列（kneading sequence）。它表示在单峰映射中，其周期窗口的位置排列具有一定的次序。 828.381 2.2.2.2 阵发性通向混沌l阵发性混沌是指系统从有序向混沌转化时，在非平衡非线性条件下，当某些参数的变化达到某一临界阈值时，系统的时间行为忽而周期（有序）、忽而混沌，在两者之间振荡。有关参数继续变化时，整个系统会由阵发性混沌发展成为混沌。l 阵发混沌最早见之于Lorenz模型，然而较详细的研究均
18、是在一些非线性映射上作的。阵发混沌与倍周期分岔所产生的混沌是孪生现象，凡是观察到倍周期分岔的系统，原则上均可发现阵发混沌现象。 2.2.2.3 Hopf分岔通向混沌l是一种规则的运动状态最多经过3次Hopf分岔就能转变成混沌运动状态。具体地说，其通往混沌的转变可以表示为不动点极限环二维环面混沌，每一次分岔可以看作一次Hopf分岔，分岔出一个新的不可公约的频率。 l尽管这条通向混沌的道路提出较早，但与倍周期分岔道路和阵发混沌道路相比，其规律性仍知道得较少，近年来已引起了人们的关注。例如关于突变点附近的临界行为的研究还不够充分，目前尚不清楚这里是否也存在着普适的临界指数。这些已引起了人们的关注。 2.3 混沌研究的判据与准则2.3.1 庞卡莱截面法 法国数学家庞卡莱为我们提供了一种有效的研究复杂的多变量连续动力学系统的轨道方法 ，即庞卡莱截面方法： 在多维相空间 中适当（要有利于观察系统的运动特征和变化，如截面不能与轨线相切，更不能包含轨线面。）选取一个截面，这个截面可以是平面，也可以是曲面。然后考虑连续的动力学轨道与此截面相交的一系列交点的变化规律。这样就可以抛开相空间的轨道，借助计算机画出庞卡莱截面上的截点，由它们可得到关于运动特征的信息。 x x x xn n1 1, , , ,
