1、课 题 17： 函数的单调性教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点：利用导数判断函数单调性教学难点：利用导数判断函数单调性授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x1，x 2I，且当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么函数 f(x)就是区间 I上的增函数. 对于任意的两个数 x1，x 2I，且当 x1x 2 时，都有 f(x1)f( x2)，那么函数 f(x)就是区间 I 上的减函数.在函数 y=f(x)比较复杂的情况下，比较
2、f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 教学过程：一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0C； 1)(nx； xcos)(si； xsin)(x1)(ln； eaalglo； xe ； ax2.法则 1 ()()fgxfgx法则 2 ()()fxfgx, 321fx = x2-4x +3xOyB A()()cfxf法则 3 2()()()0()fxfgxfxgg二、讲解新课：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线 y=f(x)的切线的斜率就是函数 y=f(x)的导数.从函数 342xy的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的
3、斜率为正，函数 y=f(x)的值随着 x的增大而增大，即 /y0 时，函数 y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2 ）内，切线的斜率为负，函数 y=f(x)的值随着 x的增大而减小，即 /0 时，函数 y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 /y0，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 0，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的减函数 2.用导数求函数单调区间的步骤：求函数 f(x)的导数 f(x).令 f(x )0 解不等式，得 x 的范围就是递增区间.令 f(x )0 解不
4、等式，得 x 的范围，就是递减区间.三、讲解范例：例 1 确定函数 f(x)=x22 x+4 在哪个区间内是增函数， 哪个区间内是减函数.解：f(x )=(x22x+4)=2x2. y=f(x)=x24x +3 切线的斜率 f(x)(2，+) 增函数 正 0( ，2) 减函数 负 0令 2x2 0，解得 x1.当 x(1，+)时， f( x)0，f(x)是增函数 .令 2x2 0，解得 x1.当 x(，1)时，f(x)0 ，f (x)是减函数 . 例 2 确定函数 f(x)=2x36 x2+7 在哪个区间内是增函数， 哪个区间内是减函数.解：f(x )=(2x36x 2+7)=6x 212 x
5、令 6x212 x0，解得 x2 或 x0当 x(，0)时，f(x)0 ，f (x)是增函数 .当 x(2，+)时，f ( x)0，f(x)是增函数 .令 6x212 x0，解得 0x 2.当 x(0，2) 时，f (x) 0，f(x)是减函数. 例 3 证明函数 f(x)= 1在(0，+ ) 上是减函数.证法一：(用以前学的方法证) 任取两个数 x1，x 2(0，+) 设x1x 2.f(x1)f(x 2)= 2121xx 10，x 20，x 1x20x 1x 2，x 2x 10， 210f( x1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x 2) f( x)= 在(0，+)上是减函数.21fx =
6、 2x3-6x2 +7xOy证法二：(用导数方法证) /fx=( 1)=(1)x 2 = 21x，x0 ，x 20， 20. /()f，f( x)= 21在(0，+)上是减函数.点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例 4 确定函数 ()sin(0,2)fx的单调减区间例已知函数 y=x+ 1，试讨论出此函数的单调区间.解：y=( x+ )=11x 2= 2)1(1x令 2)(0. 解得 x1 或 x1.y =x+ 1的单调增区间是( ，1) 和(1，+).令 2)0，解得 1x0 或 0x1.y =x+
7、1的单调减区间是( 1，0)和(0，1)四、课堂练习：1确定下列函数的单调区间-22-11fx = x+1xxOy(1)y=x39x 2+24x (2)y=xx 3(1)解：y=(x 39x 2+24x)=3x 218 x+24=3(x2)(x4)令 3(x2)(x4)0， 解得 x4 或 x2.y =x39x 2+24x 的单调增区间是(4，+ ) 和(，2)令 3(x2)(x4)0，解得 2x4.y=x 39 x2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y=(x x 3)=13x 2=3(x 2 31)=3(x+ )(x 3)令3(x+ )(x )0，解得 x .y =xx 3 的单调
8、增区间是( 3， ).令3(x+ )(x )0，解得 x 或 x 3.y =xx 3 的单调减区间是(， )和( ，+ )2.讨论二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的单调区间 .解：y=( ax2+bx+c)=2 ax+b, 令 2ax+b0，解得 x ab2y =ax2+bx+c(a0)的单调增区间是( a，+)令 2ax+b0，解得 x ab2.y =ax2+bx+c(a0)的单调减区间是(， ab2)3.求下列函数的单调区间(1)y= x2 (2)y= 92x (3)y= x+x(1)解：y=( x2)= 22x当 x0 时， 20 ，y0.y = 的单调减区间是(，0)与(0，+)(2)解：y=( 92x) 22)9(x22)9()(xx当 x3 时， 2)(0 ，y0.y = 92的单调减区间是(，3)，( 3，3)与(3，+).(3)解：y=( x+x) 121x.当 x0 时 2+10，y 0. y= +x 的单调增区间是(0，+ ) 五、小结 ： f(x)在某区间内可导，可以根据 /()fx0 或 /()fx0 求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当 /=0 在某个区间上，那么 f(x)在这个区间上是常数函数 六、课后作业： 教后反思：
