1、习题课空间向量在空间问题中的综合应用,1.利用空间向量求两点间距离设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中任意两点,则,2.利用空间向量解决探索性问题立体几何探索性问题是近几年高考和各地模拟考试中的热点题型.空间向量作为一种工具,在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性,运用空间向量法解题,可使几何问题代数化,大大简化思维程序,使解题思路直观明了.空间中的探索性问题一般有以下两种类型:,(1)“条件探索型”,就是指给出了问题的明确结论,但条件不足或未知,需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题,这类问题的常用解法是逆推法,利用结论探求条件.(2)“存在型”,是指结论不确
2、定的问题,即在数学命题中,结论常以“是否存在”的形式出现,其结果可能存在,需要找出来;可能不存在,则需要说明理由.解答这一类问题时,先假设结论存在,若推证无矛盾,则结论存在;若推证出矛盾,则结论不存在.,做一做1已知空间两点A,B的坐标分别为(1,-1,1),(2,2,-2),则A,B两点的距离为.,做一做2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面结论错误的是()A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.向量 的夹角为60,解析：以D为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(
3、0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).,答案：D,做一做3如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记 ,则当APC为钝角时,实数的取值范围是.,解析：由题意,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),探究一,探究二,规范解答,探究一利用空间向量求空间中两点间距离【例1】 如图,60的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在两个半平面内,且都垂直于AB.若|AB|=1,|AC|=2,|BD|=3,求CD的长
4、度.分析：本题中的图形不适合建立空间直角坐标系,因此可通过向量分解的方法,利用公式|a|= 求解.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,变式训练1(1)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是(),答案：C,探究一,探究二,规范解答,(2)已知AB,BC,CD为两两垂直的三条线段,且它们的长都为2,则AD的长为()A.4B.2C.3D.2,答案：D,探究一,探究二,规范解答,探究二利用空间向量解决空间中的探索性问题【例2】 在四棱锥P-ABCD中,ABCD是菱形,ABC=60,PA=AC=a,PB
5、=PD= a,点E在PD上,且PEED=21.在PC上是否存在一点F,使BF平面AEC?并证明你的结论.分析：首先假设存在,然后再根据BF平面AEC,结合线面平行的条件进行推理.解：PA=AC=a,ABC=60,AB=AD=a.又PB=PD= a,PAAB,PAAD,PA平面ABCD.如图,以A为坐标原点,AD、AP所在直线分别为y轴、z轴,过A点垂直于平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,变式训练2导学号03290077如图,在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,
6、ABAD,AF=AB=BC=FE= AD.(1)求异面直线BF与DE所成角的余弦值.(2)在线段CE上是否存在点M,使得直线AM与平面CDE所成角的正弦值为 ?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.,探究一,探究二,规范解答,解：建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB=1,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,3,0),F(0,0,1),E(0,1,1).,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,利用空间向量解决空间的综合问题典例导学号03290078如图,直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB= AB.(1)证明:BC
7、1平面A1CD.(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.【审题策略】第一问可借助线面平行的判定定理证明;第二问应建立直角坐标系,利用向量方法进行求解.,探究一,探究二,规范解答,【规范展示】(1)连接AC1,交A1C于点F,连接DF,则F为AC1的中点.又因为D是AB的中点,所以DFBC1.又因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,故BC1平面A1CD.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,【答题模板】第1步:证明线线平行第2步:证得线面平行第3步:建立空间直角坐标系第4步:设点,求出向量坐标第5步:用待定系数法求法向量坐标第6步:利用向量的夹角公式求两个法向量的夹角的余弦值,
8、进而求得正弦值.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,变式训练导学号03290079如图,在多面体ABCDEF中,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,ABCD,ADCD,AB=AD=1,CD=2,M,N分别为EC和BD的中点.(1)求证:BC平面BDE;(2)求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值.,探究一,探究二,规范解答,(1)证明：在梯形ABCD中,取CD中点H,连接BH,因为AD=AB,ABCD,ADCD,所以四边形ADHB为正方形.又BD2=AD2+AB2=2,BC2=HC2+HB2=2,所以CD2=BD2+BC2,所以BCBD.又平面ADEF平面ABCD,
9、平面ADEF平面ABCD=AD,DEAD,所以DE平面ABCD,所以BCDE,又BDDE=D,故BC平面BDE.,探究一,探究二,规范解答,(2) 解：由(1)知CD平面ABCD,ADCD,所以DE,DA,DC两两垂直.以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D-xyz,1 2 3 4,1.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,M是面ABC内一点,且M到其他三面的距离分别是2,3,6,则M到顶点P的距离是()A.7B.8C.9D.10解析：以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由已知M(2,3,6),所以|MP|= .答案：A,1 2 3 4,2.
10、在如图所示的几何体中,三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,则下列说法正确的是 ()A.OA,OB,OC的长度可以不相等B.直线OB平面ACDC.直线OD与BC所成的角是45D.直线AD与OB所成的角是45解析：三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,所以OA=OB=OC= ,排除A;,1 2 3 4,答案：D,1 2 3 4,3.如图所示,在直二面角-l-中,A,Bl,AC,ACl,BD,BDl,AC=6,AB=8,BD=24,则线段CD的长为.,答案：26,1 2 3 4,4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1.求证:(1)AD1平面BDC1;(2)A1C平面BDC1.证明：以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz.设正方体的棱长为1,则有D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),1 2 3 4,
