1、3.2 第 5 课时 利用向量知识求距离一、选择题1正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，O 是 A1C1 的中点，则 O 到平面 ABC1D1 的距离为( )A. B. 32 24C. D.12 33答案 B解析 以 、 、 为正交基底建立空间直角坐标系，则DA DC DD1 A1(1,0,1)，C 1(0,1,1)， ，平面 ABC1D1 的法C1O 12C1A1 (12， 12，0)向量 (1,0,1) ，点 O 到平面 ABC1D1 的距离DA1 d .|DA1 C1O |DA1 |122 242已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，棱 A1A5，AB 12，那么直线
2、 B1C1 和平面 A1BCD1 的距离是( )A5 B.132C. D86013答案 C解析 解法一：B 1C1BC，且 B1C1平面 A1BCD1，BC平面 A1BCD1，B 1C1平面 A1BCD1.从而点 B1 到平面 A1BCD1 的距离即为所求过点 B1 作 B1EA 1B 于 E 点BC平面 A1ABB1，且 B1E平面 A1ABB1，BCB 1E.又 BCA 1BB，B 1E平面 A1BCD1，在 Rt A1B1B 中，B1E ，A1B1B1BA1B 51252 122 6013因此直线 B1C1 和平面 A1BCD1 的距离为 .6013解法二：以 D 为原点， 、 、 的方
3、向为 x、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，DA DC DD1 则 C(0,12,0)，D 1(0,0,5)，设 B(x,12,0)，B 1(x,12,5) ( x0)设平面 A1BCD1 的法向量 n( a，b，c )，由 n ，n 得BC CD1 n (a，b，c )(x, 0,0)ax0，BC a0，n ( a，b，c)(0，12,5)12b5c0，CD1 b c，512可取 n(0,5,12)， (0,0，5)，B1B B 1 到平面 A1BCD1 的距离 d .|B1B n|n| 60133将锐角为 60，边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的对角线折成 60的二面角，则 AC与
4、 BD 间的距离为( )A. a B. a 32 32C. a D. a34 34答案 C解析 折起后如图，取 BD 中点 M，则 AMBD ，CM BD，取 AC 中点 N，则 BNAC，DNAC故 AC平面 BDN，BD平面 AMC.连结 MN 则 MNAC 且 MN BD，MN 即为 AC 与 BD 间的距离，可求得 MN a.344正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，则平面 AB1D1 与平面 BDC1 的距离为( )A. B. 2 3C. D.23 33答案 D解析 以 A 为原点， AB、AD、AA 1 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则B(1,0
5、,0)，D(0,1,0)，C 1(1,1,1)，B 1(1,0,1)，D 1(0,1,1)设平面 AB1D1 的法向量为 n(x，y ，z )，则Error! ，Error!，令 z1，则 n(1,1 ，1)，显然 n 0，n 0，BD BC1 n 也是平面 BDC1 的法向量，平面 AB1D1 平面 BDC1，其距离为 d .|AB n|n| 335正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 a，点 M 在 AC1 上且 ，N 为 BB1 的中点，AMMC1 12则|MN |的长为 ( )A. a B. a216 66C. a D. a156 153答案 A解析 设 a， b， c，则|
6、a|b| |c| a，a bbcca 0，A1B1 A1D1 A1A 由条件知， MN AN AM ( )12AB AB1 13AC1 ( ) ( )12AB AB AA1 13AA1 A1B1 A1D1 (2ac) (c ab) a b c，12 13 23 13 16| |2 2 (2ab c)2MN (23a 13b 16c) 19 12 (4|a|2|b| 2 |c|24ab 2acbc)19 14 ，| | a.21a236 MN 2166二面角 l 等于 120，A、B 是棱 l 上两点，AC、BD 分别在半平面 、 内，ACl，BD l，且 ABACBD 1，则 CD 的长等于(
7、 )A. B. 2 3C2 D. 5答案 C解析 如图二面角 l 等于 120， 与 夹角为 60.CA BD 由题设知， ， ，| | | |1，| |2| |2| |2|CA AB AB BD AB AC BD CD CA AB BD CA |2| |22 2 2 32cos604，AB BD CA AB AB BD CA BD | |2.CD 7ABC 中，C90，点 P 在ABC 所在平面外，PC17，点 P 到 AC、BC 的距离 PEPF13，则点 P 到平面 ABC 的距离等于( )A7 B8C9 D10答案 A解析 解决本题的关键在于找点 P 在平面 ABC 内的射影易知点 P
8、 在平面 ABC 内的射影在C 的角平分线上8已知夹在两平行平面 、 内的两条斜线段 AB8 cm，CD12 cm，AB 和 CD 在 内的射影的比为 35，则 、 间的距离为( )A. cm B. cm5 17C. cm D. cm19 21答案 C解析 设 、 间距离为 d， AB、CD 在 内的射影长分别为 3x,5x，由Error!解得 d .19二、填空题9矩形 ABCD 中，BCA30，AC20，PA平面 ABCD，且 PA5，则 P 到 BC的距离为_答案 5 5解析 由已知得 AB20sin3010，又 PA5，PB 5 .52 102 510在正三棱柱 ABCA 1B1C1
9、中，所有棱长均为 1，则点 B1 到平面 ABC1 的距离为_答案217解析 解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A ，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，(32，12，0)则 ， (0,1,0)， (0,1 ，1)，C1A ( 32，12， 1) C1B1 C1B 设平面 ABC1 的法向量为 n (x，y,1)，则有Error! ，解得 n ，(33，1，1)则 d .|C1B1 n|n| |113 1 1 217h .21711在底面是直角梯形的四棱锥 PABCD 中，侧棱 PA底面ABCD，BCAD，ABC 90，PAABBC2，AD
10、 1，则 AD 到平面 PBC 的距离为_答案 2解析 由已知 AB，AD，AP 两两垂直以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)， (2,0，2)PB (0,2,0)，设平面 PBC 的法向量为 n( a，b，c)，则Error!，BC n(1,0,1)，又 AB(2,0,0)，d .|AB n|n| 2三、解答题12三棱柱 ABCA 1B1C1 是各条棱长均为 a 的正三棱柱，D 是侧棱 CC1 的中点(1)求证：平面 AB1D平面 ABB1A1；(2)求点 C 到平面 AB1D 的距离解析 (1)证明：取 AB1 中点
11、M，则 ，又 .DM DC CA AM DM DC1 C1B1 B1M 2 .DM CA C1B1 CA CB 2 ( ) 0,2 ( )( )| |2| |20，DM AA1 CA CB AA1 DM AB CA CB CB CA CB CA DM AA1，DMAB.DM平面 ABB1A1.DM 平面 AB1D，平面 AB1D平面 ABB1A1.(2)解：A 1BDM，A 1BAB 1.A 1B平面 AB1D. 是平面 AB1D 的一个法向量A1B 点 C 到平面 AB1D 的距离为d |AC A1B |A1B | |AC (o(A1A,sup6( ) o(AB,sup6( )|2a a.|
12、AC AB |2a12a22a 2413如图所示，AB 和 CD 是两条异面直线，BD 是它们的公垂线，AB CDa，点 M，N 分别是 BD，AC 的中点(1)求证：MNBD；(2)若 AB 与 CD 所成的角为 60，求 MN 的长解析 (1)证明：由点 M，N 分别是 BD、AC 的中点可知， 0，MB MD ( ) ( )MN 12MA MC 12MB BA MD DC ( )，12BA DC ( )MN BD 12BA DC BD ( )，12BA BD DC BD ， ， 0， 0.BA BD DC BD BA BD DC BD 0，MNBD .MN BD (2)证明： ( )，M
13、N 12BA DC | |2 ( )2MN 14BA DC ( 22 2)14BA BA DC DC a2 2a2cos60 a2 a2.14 14 14 34所以| | a.MN 3214如图所示，已知边长为 4 的正三角形 ABC 中，E、F 分别2为 BC 和 AC 的中点，PA平面 ABC，且 PA2，设平面 过 PF 且与AE 平行，求 AE 与平面 间的距离解析 设 、 、 的单位向量分别为 e1、e 2、e 3，选取e 1，e 2，e 3作为空间向量AP AE EC 的一组基底，易知e1e2e 2e3e 3e10，2e 1， 2 e2， 2 e3，AP AE 6 EC 2 PF
14、PA AF PA 12AC ( )2e 1 e2 e3，PA 12AE EC 6 2设 nxe 1ye 2e 3是平面 的一个法向量，则 n ，n ，AE PF Error!Error!Error!Error! ，n e1e 322直线 AE 与平面 间的距离为d .|AP n|n|2e1(f(r(2),2)e1 e3)| 22e1|2 |e3|2 23315如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ADAA 11，AB 2，点 E 在棱 AB 上移动(1)证明：D 1E A1D；(2)当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD1 的距离；(3)AE 等于何值时，二面角 D1EC
15、 D 的大小为 .4解析 以 D 为坐标原点，直线 DA，DC，DD 1 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设 AE x，则 A1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，E(1 ，x,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)(1)因为 (1,0,1)(1，x，1)0，所以 .DA1 D1E DA1 D1E (2)因为 E 为 AB 的中点，则 E(1,1,0)，从而 (1,1，1)， (1,2,0)，D1E AC (1,0,1)，设平面 ACD1 的法向量为 n( a，b，c)，则AD1 Error!，即 Error!，Error!，从而 n(2,1,2)，所以点 E 到平面 AD1C 的距离为h .|D1E n|n| 2 1 23 13(3)设平面 D1EC 的法向量 n (a，b，c) (1，x 2,0)， (0,2 ，1)， (0,0,1)CE D1C DD1 由Error! Error!，令 b1，c2，a2x ，n(2x,1,2)依题意 cos 4 |nDD1 |n|DD1 | 22 ，2(x 2)2 5 22x 12 (不合题意，舍去)，x 22 ，3 3AE2 时，二面角 D1EC D 的大小为 .34
