1、课时训练 11 离散型随机变量的均值一、选择题1.随机抛掷一枚骰子,则所得骰子点数 的数学期望是( )A.0.6 B.1C.3.5 D.2答案:C解析:由已知可得 的分布列为 P(=k)=(k=1,2,3,4,5,6),E()=1+2+3+4+5+6=21=3.5.2.已知离散型随机变量 的分布列如下: 0 1 2P 0.3 3k 4k随机变量 =2+1,则 的数学期望为 ( )A.1.1 B.3.2C.11k D.22k答案:B解析:由 0.3+3k+4k=1,得 k=0.1,E()=00.3+10.3+20.4=1.1,E()=2E()+1=21.1+1=3.2.3.某种种子每粒发芽的概率
2、都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( )A.100 B.200 C.300 D.400答案:B解析:1000 粒种子的发芽数记为随机变量 ,则 服从二项分布,记 B(1000,0.9).E()=10000.9=900,发芽种子数的数学期望为 900,补种数的数学期望为 2(1000-900)=200.4.设随机变量 X 的分布列如下表:X 0 1 2 3P 0.1 a b 0.1且 E()=1.6,则 a-b=( )A.-0.2 B.-0.4C.0.1 D.0.2答案:A解析:根据题意,有解得所以 a-b=
3、-0.2.5.设 10 件产品中含有 3 件次品,从中抽取 2 件进行检查,则查得次品数的数学期望为( )A. B. C. D.答案:B解析:用 表示抽取 2 件产品的次品件数 ,则 的分布列为 0 1 2PE()=0+1+2.6.(2013 安徽合肥模拟)已知随机变量 X 的分布列如下表所示 :X -1 0 1 2P则 E(X2)的值是( )A. B. C. D.答案:C解析:随机变量 X2的分布列如下:X2 0来源:gkstkgkstk1 4PE(X2) =0+1+4.二、填空题7.同时抛掷两颗骰子,至少有一个 3 点或 6 点出现时,就说这次试验成功,则在 9 次试验中,成功次数 的数学
4、期望是 . 答案:5解析:由已知同时抛掷两颗骰子一次 ,至少有一个 3 点或 6 点出现时的概率为 P=,9 次试验相当于独立重复试验 9 次,则成功次数 服从二项分布,且 B.E()=9=5.8.节日期间,某种鲜花的进价是每束 2.5 元,售价是每束 5 元,节后对没有卖出的鲜花以每束 1.6 元处理.根据前 5 年节日期间对这种鲜花需求量 (束)的统计( 如下表 ),若进这种鲜花 500 束在今年节日期间销售,则利润的均值是 元. 200 300 400 500P 0.20 0.35 0.30 0.15答案:706解析:节日期间这种鲜花需求量的均值为 E()=2000.20+3000.35
5、+4000.30+5000.15=340(束).设利润为 ,则 =5+1.6(500-)-5002.5=3.4-450,所以 E()=3.4E()-450=3.4340-450=706(元).三、解答题9.为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的.现有 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(2)记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求 的分布列及数学期望.解:设第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件
6、Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.由题意知 A1,A2,A3相互独立,B 1,B2,B3相互独立,C 1,C2,C3相互独立 ,Ai,Bj,Ck(i,j,k=1,2,3,且 i,j,k 互不相同) 相互独立,且 P(A1)=,P(B2)=,P(C3)=.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3!P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=6. 来源 :gkstkgkstk(2)设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ,则 所有可能的取值为 0,1,2,3,由已知,B,且 =3-.所以 P(=0)=P(=3)=,P(=1)=P(=2)=,P(=2)=P(=1)=,P(=
7、3)=P(=0)=.故 的分布列是 0 1 2 3P的数学期望 E()=0+1+2+3=2.10.(2013 湖北武汉模拟)随机抽取某厂的某种产品 200 件, 经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50件、三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 .(1)求 的分布列 .(2)求 1 件产品的平均利润(即 的数学期望).(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%.如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万
8、元,则三等品率最多是多少?解:(1) 的所有可能取值有 6,2,1,-2.P(=6)=0.63,P(=2)=0.25,来源:gkstk.ComP(=1)=0.1,P(=-2)=0.02.故 的分布列为 6 2 1 -2P 0.63 0.25 0.1 0.02(2)E()=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34(万元).(3)设技术革新后的三等品率为 x,则此时 1 件产品的平均利润为 E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+x+(-2)0.01=4.76-x(0x0.29),依题意,知 E()4.73,即 4.76-x4.73,解得 x0.03.所以三等品率最多
9、为 3%.11.(2013 课标全国高考,理 19)一批产品需要进行质量检验 ,检验方案是: 先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验 ,对这批产品作质量检验所需的费
10、用记为 X(单位 :元), 求 X 的分布列及数学期望.解:(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)(A2B2),且 A1B1与 A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)来源:gkstkgkstk=.(2)X 可能的取值为 400,500,800,并且P(X=400)=1-,P(X=500)=,P(X=800)=.所以 X 的分布列为X 400 500 800PE(X)=400+500+800=506.25.
