1、【高效整合篇】专题四 立体几何一考场传真1. 【2016 高考新课标 1 卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是（ ）283（A） （B） （C） （D）170282 【2016 高考新课标 2 理数】 是两个平面， 是两条直线，有下列四个命题：,mn（1）如果 ，那么 .（2）如果 ，那么 .（3）如果,/mn,/mn，那么 .（4）如果 ，那么 与 所成的角和 与 所成的角相等./,/,/其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）3 【2016 高考新课标 1 卷】平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点
2、A, /平面 CB1D1, 平面 ABCD=m,I平面 AB B1A1=n,则 m、n 所成角的正弦值为I(A) (B) (C) (D)2234 【2016 高考新课标 3 理数】在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球，若 ，1ABCVABC， ， ，则 的最大值是（ ）6A8C1AV（A）4 （B） （C）6 （D） 92 325 【2016 高考新课标 1 卷】如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD, ,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 90F 60（I）证明：平面 ABEF 平面 EFDC；（II）求二面角 E-BC
3、-A 的余弦值CADF6 【2016 高考新课标 2 理数】如图，菱形 的对角线 与 交于点 ， ，点ABCDBDO5,6ABC分别在 上， ， 交 于点 将 沿 折到 位置，,E,DC54EFHEFEF10O（）证明： 平面 ；HAB（）求二面角 的正弦值AB CDDEHOzxyF来源:学科网7 【2016 高考新课标 3 理数】如图，四棱锥 中， 地面 ， ，PABCA， ， 为线段 上一点， ， 为 的中点ABDC4PAMAD2MNP（I）证明 平面 ；MN（II）求直线 与平面 所成角的正弦值.二高考研究【考纲解读】（一）立体几何初步（1）空间几何体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结
4、构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求） 。 来源:学+科+网 Z+X+X+K了解球、棱柱、棱锥、台 的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式） 。（2）点、直线、平面之间的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理 1：如果一条
5、直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。定理：空间 中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。如果一条直线与一个平面内的两条
6、相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。理解以下性质定理，并能够证明：如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行。如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。（二）空间向量与立体几何（1）空间向量及其运算了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。掌握空间向量的线性运算
7、及其坐标表示。掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用理解直线的方向向量与平面的法向量。能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理） 。能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。（三）空间想象能力能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。空间想象能力是对空间形式的观察、分
8、析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力，识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志。2 命题规律(1) 空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点，文、理科均考，单独考查三视图的逐渐减少，主要考查由三视图求原几何体的面积、体积、文科求体积占多数，理科则求面积居多，主要以选择题、填空题的形式考查；该部分的命题通常围绕三个点展开第一点是围绕空间几何体的三视图，设计由空间几何体的三视图判断空间几何体的形状，由其中的一个或者两
9、个视图判断另外的视图等问题，其目的是考查对三视图的理解和空间想象能力；第二点是围绕空间几何体的表面积和体积展开，设计根据已知的空间几何体求空间几何体的表面积或体积的问题，其中空间几何体一般以三视图的形式给出，目的是考查空间想象能力和基本的运算求解能力；第三点是围绕多面体和球展开，设计求多面体的外接球的表面积、体积或者计算球的内接多面体的相关元素等问题，目的是考查空间想象能力、逻辑推理能力和基本的运算求解能力（2）高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形式：一是对命题真假的判断，通常以选择题、填空题的形式考查，难度不大；二是在解答题中考查平行、垂直关系的证明、常以柱体、锥体为载体，难度中档
10、偏难该部分的命题主要在三个点展开第一点是围绕空间点、直线、平面的位置关系展开，设计位置关系的判断、简单的角与距离计算等问题，目的是考查对该部分基础知识的掌握情况及空间想象能力，这类试题多为选择题或者填空题；第二点是围绕空间平行关系和垂直关系的证明，设计通过具体的空间几何体证明其中的平行关系、垂直关系的问题，目的是考查运用空间位置关系的相关定理、推理论证的能力及空间想象能力，这类试题多数是解答题组成部分；第三个点是围绕空间角与距离展开(特别是围绕空间角)，设计求解空间角的大小、根据空间角的大小求解其他几何元素等问题，目的是综合考查利用空间线面位置关系的知识综合解决问题的能力，这类试题多数是解答题
11、的重要组成部分（3）求解立体几何问题是高考的必考内容，每套试卷必有立体几何解答题，一般设 2 问，前一问较简单，最后一问难度较大，而选用向量法可以降低解题难度该部分的命题非常单纯，就是围绕用空间向量解决立体几何问题设计试题，考查空间向量在证明空间位置关系、求解空间角和距离问题中的应用，考查空间向量在解决探索性问题中的应用，其目的是考查对立体几何中的向量方法的掌握程度，考查运算求解能力试题大多是解答题，而且以使用空间向量求解空间角为主一基础知识整合1三视图：(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，正侧一样高，
12、俯侧一样宽，即“长对正，高平齐，宽相等” (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样(3)画三视图 时，可见的轮廓线用实线画出，被遮挡的轮廓线，用虚线画出.2直观图：空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为 45o（或 135o） ，z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行。平行于 x 轴和 z 轴的线段长度在直观图不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中减半。3.体积与表面积公式：柱体的体
13、积公式： V柱 Sh；锥体的体积公式： V锥 13Sh；台体的体积公式：V棱 台 1()3hS；球体的体积公式： 球 34r。球 的 表 面 积 公 式 ： 24R球 。棱柱、棱锥及棱台的各个面的面积之和，即为其表面积。4.空间直线、平面之间的位置关系的判定与性质：空间直线、平面之间的位置关系：（1）位置关系的分类相 交 直 线共 面 直 线 平 行 直 线异 面 直 线 ： 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 ， 没 有 公 共 点（2）直线和平面的位置关系位置关系 直线 a 在平面 内 直线 a 与平面 相交 直线 a 与平面 平行公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点
14、符号表示 aaA/a图形表示（3）两个平面的位置关系位置关系 图示 表示法 公共点个数两平面平行 /0斜交来源:Zxxk.Com来源:学科网a来源:学科网有无数个公共点在一条直线上两平面相交垂直a有无数个公共点在一条直线上空间直线、平面之间的位置关系的判定与性质：（1）异面直线的判定：1、定义法（不易操作）2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。3、客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：（2）直线与直线平行直线
15、和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （线面平行 线线平行） baa/,/ 若面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行 线线平行） baa/,/ 公理 4：平行于同一直线的两条直线互相平行 ca/,直线和平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。baba/,若（3）直线与直线垂直定义法：如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直。如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线。 （线面垂直 线线垂直）两条平行线，若
16、一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线。 lbla,/（4）直线与平面平行：判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （线线平行 线面平行） ， /,ba若面面平行的定义：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 （面面平行 线面平行）/,/a结论：平面外的两条平行直线，若其中一条平行于一个平面，则另一条必定也平行于这个平面。 /,ba（5）直线与平面垂直：定义法：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面 互相垂直.判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 （
17、线线垂直 线面垂直） lblaObaa,若面面垂直的 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直 线面垂直） ,，直线和平面垂直的性质：两条平行直线，若其中一条垂直于一个平面，则另一条必定也垂直于这个平面。 bab,/结论：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 a,/（6）平面与平面平行：定义法：两个平面没有公共点，称两个平面平行。判定法：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 （线面平行 面面平行），借助法：垂直于同一条直线的两个平面平行。 /, baOba/（7）平面与平面垂直：定义法
18、：若两个平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面垂直。判定法：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （线面垂直 面面垂直）a,5.空间的角与距离（1）异面直线的夹角：定义：对于异面直线 a 和 b，在空间任取一点 P，过 P 分别作 a 和 b 的平行线 和1a，我们把 和 所成的锐角或者叫做异面直线 a 和 b 所成的角。范围：(0，90】b1ab（2）斜线与平面所成的角：定义：把直线 l 与其在平面 上的射影所成的锐角叫做直线 l 和平面 所成的角。直线和平面所成的角的范围【0，90】（3）二面角：定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。范围为【
19、0，180】（4）点到直线距离和点到平面的距离点到直线的距离：直接作直线的垂线。求点 P 到平面 内的直线 a 的距离： daRQP第一步：过 P 作 交平面 于点 Q， 第二步：在 内过 Q 作作 Ra ，垂足为 R；第三步：连结 、 ，则 即为点 P 到直线 a的距离。点到平面的距离：直接作平面的垂线； 要作垂线，先作垂面； 体积法（等积法） 。6空间向量与立体几何（1）空间向量与平行关系直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量，一条直线的方向向量有无数个平面的法向量：直线 l，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 的法向量空间中平行关系的向量表示线线平行：
20、设直线 l，m 的方向向量分别为 a(a 1，b 1，c 1)，b(a 2，b 2，c 2)，且 a2b2c20，则 lm ./ab1122abc2(0)线面平行：设直线 l 的方向向量为 a(a 1，b 1，c 1)，平面 的法向量为 u(a 2，b 2，c 2)，则l .(3)面面平行u0122 设平面 ， 的法向量分别为 u( a1， b1， c1)，v( a2， b2， c2)，则 /vu1122abc2()a空间向量与垂直关系空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直 线面垂直 面面垂直设直线 l 的方向向量为a(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b(b 1，b 2，
21、b 3)，则lm _a设直线 l 的方向向量是a(a 1，b 1，c 1)，平面 的法向量 u(a 2，b 2，c 2)，则l /若平面 的法向量u(a 1， b1，c 1)，平面 的法向量为 v(a 2，b 2，c 2)，则 空间中垂直关系的证明方法线线垂直 线面垂直 面面垂直证明两直线的方向向量的数量积为 0证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量证明两个平面的法向量垂直证明两直线所成角为直角. 证明直线与平面内的相交直线垂直.证明二面角的平面角为直角._.空间向量与空间角空间中的角角的分类 向量求法 范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为 ，它们的方向向量为a，b，则 cos co
22、s,ab(0，2直线与平面所成的角设直线 l 与平面 所成的角为 ，l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，则 sin cos,n0，2二面角设二面角 l的平面角为 ，平面 、 的法向量为 n1，n 2，则|cos | 1212cos,n0，二高频考点突破1 月 20 日 星期五考点 1 ： 空间几何体的三视图、表面积、体积【例 1】 【2017 届河南新乡一中高三周考 12.18】我国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器-商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸） ，若 取 3，其体积为 12.6（立方寸） ，则图中的 x为_【例 2】 【2017 届广东省高
23、三上学期阶段性测评一】一块边长为 6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，则该容器的体积为（ ）A 3126cm B 346cm C 327cm D 392cm【规律方法】1、画三视图的基本原则是：长对正，宽相等，高平齐.在做题时也要根据这个原则来画直观图.要根据这个原则来验证所画直观图是否正确.2、三视图问题关键是搞清楚三视图中的每条轮廓线代表的意义，三视图中给出的尺寸在几何体中对应哪些线段的尺寸，三视图中的角度在几何体对应的角度是多少.尤其要注意图中的直角，这是一个很重
24、要的信息.必须结合三视图弄清几何体的直观图的构成，根据三视图的信息确定直观图中相关的量，然后才能进行相关计算.3、求几何体体积问题，可以多角度、多方位地考虑问题在求三棱锥体积的过程中，等体积转化法是常用的方法，转换底面的原则是使其高易求，常把底面放在已知几何体的某一面上4、求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体变为规则几何体，易于求解【举一反三】 【2017 届广西柳州市高三 10 月模拟】如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 1O、2O，这两个球相外切，且球 1O与正方体共顶点 A的三个面相切，球 2O与正方体共顶点 1B的三个面相切，则两球在正方体的面 AC上的正投影是（ ）
