1、线性规划的应用教学设计第二册（上） “简单线性规划”第二课时蒋敏慧一、教材分析教材的地位与作用在组织社会化生产，经营管理等活动中，我们经常会碰到最优决策的问题，而线性规划是解决这类问题的重要方法之一。本节课的内容是在了解了线性规划的意义，线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解的概念，及学习了在线性约束条件之下求线性目标函数的最大值、最小值之后安排的，为下节课实施“线性规划实际应用”研究性课题活动奠定了良好的理论基础，因此，本节课的内容起着承上启下的作用，为学生提供“做数学”的学习环境和实践机会。 教学重点难点重点：引导学生体会线性规划的基本思想，学会利用线性规划的理论，借助几何图形的直观性
2、，解决涉及国民经济等多个领域的最优决策、最佳组合问题。难点：1）构建恰当的数学模型。2）帮助学生寻找最优解特别是整点最优解。关键：根据已知条件正确写出线性约束条件和线性目标函数。二、教学目标知识目标：向学生传授将实际问题“数学化”的思想方法，使学生能用线性规划的知识和方法灵活的解决实际生活中的有关问题。能力目标：通过将实际生活中的问题转化为数学问题，引导学生体验“实践理论实践”的一般认知规律；通过“问题解决”培养学生善于分析，乐于探索的钻研精神，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。情感目标：通过师生的合作与交流，发掘教师、学生的情感因素，体现学生的主体地位；通过实际问 题展示数学的魅力，让学
3、生体会到自己在学“有价值的数学” ，激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心。培养学生理论与实践相结合的科学态度和“学数学用数学”的实践能力与创新意识。三、教学方法与手段教学方法：适宜采用启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价等授课方式，充分发挥学生的主体地位，营造生动活泼的课堂教学氛围。教学手段：借助多媒体(几何画板、实物投影、幻灯片等)辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。四、教学程序教学程序 教学内容 设计说明1课题引入教学程序 教学内容 设计说明课前练习：已知求 z=80x+120y 的最大值？设计的目的：复习上节课学习的有关概念；巩固在线性约束条件下求目标函数的最大值、
4、最小值的一般方法。为后面教学展开奠定基础。复习引入引例：如果你是某家具厂的厂长，现有方木料 90m3，五合板 600m2，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌要方木料0.1m3、五合板 2m2，生产每个书橱要方木料0.2m3 、五合板 1m2，出售一张书桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元，如何安排生产能够获得最大利润? 方案一：只生产书桌，可生产书桌6002300 张，可获利润：8030024000 元；方案二：只生产书橱，可生产书橱900.2450 个，可获利润12045054000 元；方案三：设生产书桌 x 张，书橱 y 个，获得利润为 z 元Nyx， 6029
5、.1z=80x+120y当 x=100，y=400，利润为 56000 元给学生一种身临其境的感觉，激发学生的情感因素，调动学生探索 问题的积极性。根据学生的认知水平和以往教学的实践，学生可能给出以下三种方案。显然，方案三的利润最大。其实方案三这种以初中解应用题的思路为基本思路，上节课学习的线性 约束条件下求目标函数的最值的方法为基本方法解决实际问题的内容就是这节课我们要研究的线性规划的应用。从而很自然地引出本节课的课题，拉开了本节课教学的序幕。2.课题解决（学生归纳，教师总结）Nyx,6029.1教学程序 教学内容 设计说明线性规划的数学模型线性规划的应用关键在于将实际问题转化为数学问题即“
6、构建数学模型” ，通过上例，让学生讨论归纳，如何建立线性规划的数学模型？1写出线性约束条件其中 aij( i=1，2，n，j=1，2，m)；b i( i=1，2，n)都是常量，xj(j=1， 2，m)是非负变量，2写出线性目标函数（其中 cj(j=1，2，m)都是常量） 。3转化为线性目标函数在线性约束条件下的最优解问题。（体验由实践到理论，从特殊到一般的认识事物的一般规律，有利于提高学生的思维品质）3.例题练习（学生活动为主，教师活动为辅）)(12222 1 ”或 “、”也 可 以 是、 “这 里 nmmnaxba mxcz21教学程序 教学内容 设计说明保健领域例 1在本学期的体检中，高二
7、有一部分同学被告知缺乏维生素，需要补充维生素，现在甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素 A、C、D、E 和新发现的维生素Z。每粒含量如下表如果此人每天摄入维生素 A 至多 19mg，维生素 C 至多 13mg，维生素 D 至多 24mg，维生素 E 至少 12mg，那么他每天应服用两种维生素胶囊各多少粒才能满足维生素的需求量，并能得到最大量的维生素 Z？分析：提炼题中已知条件， (单位:mg)建立数学模型，设甲 x 粒,乙 y 粒,维生素 Z 的量为 z,约束条件为Nyxyx,12349目标函数 z=5x+2y,画出可行域,求出最优解(5,4)维生素 A C D E Z甲种 1mg 1
8、mg 4mg 4mg 5mg乙种 3mg 2mg 1mg 3mg 2mg维生素 A C D E Z甲种 1 1 4 4 5乙种 3 2 1 3 2限量 19 13 24 12创设学生体检的情境，随着人 们生活水平的日益提高，健康意识的逐步增强，此题涉及到维生素的 补充问题，由学生的心理需要，激发 学习兴趣，调动学生的积极性。鉴于学生解应用题是一个薄弱环节，引导学生阅读题目，并将已知条件用表格的形式表示出来，使之条理化、清晰化、简单化，从而更容易建立数学模型，以突破本节课的难 点之一。通过提出以下几个问题：本题要解决的问题是什么？有哪些约束条件？如何建立目标函数？怎样寻求最佳结果？启发引导学生自
9、己建立数学模型，求出最佳结果，然后老师借助几何画板，清晰、直观的演示求得最优解的 过程。便于学生对照整理、完善自己的解答。小结以上用线性规划的方法解决了材料加工、保健领域的最优化问题，为了说明线性规划在其他各领域的广泛应用，设计以下三个练习。体现数学的实用价值；培养学生的实践操作能力与动手能力。激 发学生进一步探求知识的兴趣。教学程序 教学内容 设计说明环保领域环境保护组织提出：用含铅汽油对环境有污染，所以，提出把酒精掺入汽油中，以代替含铅汽油。如何掺入呢?练习 1：已知摩托车行驶 100 公里，需含铅0.01%的汽油 5 公斤，汽油、酒精的燃烧值分别为 和 ，kgJ/02.37kgJ/108
10、.7且汽油、酒精的价格分别为 2.6 元/公斤和 2元/公斤。如何搭配酒精和汽油既能减少污染，又比较经济？（油箱最大容量为 8 公斤）将学生分成三组，让每个组从三个练习中任选一个自己比较感兴趣的领域分组研究探索建立数学模型的方法，熟练掌握用线性规划解决 实际问题的一般过程。最后每组派一个学生展示本小组的解题过程。让学生自主选择，分组活动，希望倡导自主探索、动手实践、合作交流的学习数学的方式。运输领域练习 2：某运输公司有 7 辆载重 6 吨的 A 型卡车，4 辆载重 10 吨的 B 型卡车，有 9 名驾驶员，在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少运输沥青 360 吨的任务。已知每辆卡车每天往
11、返次数为 A 型 8 次，B 型 6 次，每次运输成本为 A 型 160 元， B 型为 252 元。每天应派出 A 型、B 型卡车各多少辆，能使公司的总成本最低？ 教育领域练习 3：某校欲用 800 元购买甲、乙两种教学用品，甲种用品每套 5 件，每件 20 元，乙种用品每套 4 件，每件 40 元。如果甲、乙两种教学用品都至少购买一套，问：甲、乙两种教学用品各买多少套时，所剩的钱最少？反馈评价：（巡视学生的操作过程）值得肯定的：1.学生对线性规划数学模型的正确理解；2.学生分工协作的能力；3.善于分析，乐于探索的钻研精神。值得注意的：1不漏列线性约束条件，正确写出线性目标函数；2准确画出可
12、行域和目标函数的 图像，正确求出最优解。让学生在练习中体验成功与进步的喜悦。教学程序 教学内容 设计说明制造领域例 2要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格每张钢板可同时截得三种不同规格的小钢板的块数如下表所示： 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且所用钢板张数最少？分析：分析条件设两种钢板分别需要 x,y 张，约束条件为目标函数为 z=x+y画出可行域，求出最优解A 规格 B 规格 C 规格第一种钢板 2 1 1第二种钢板 1 2 3A 规格 C 规格 D 规格第一种钢板 2 1 1第二种钢板 1 2 3需量
13、15 18 27让学生独立建立数学模型，求出最佳方案。再利用实物投影展示学生获得的结果，并分析解题思路。由学生的知识水平和一般的解题习惯，学生可能得出以下几种 结果A（3.6，7.8），B（4,8），C（3，8）D（3，9），E（4，9）然后由教师和学生一起对这些结果加以验证、甄别、评价和总结。分析题意，可以分析得出此题是关于求 “整点最优解”的问题 ，显然，A 答案不符合实际，利用几何画板演示正确答案，并指出答案 C、E 错误的原因。归纳学生求得整点最优解的方法有：枚举 法（适用于可行解有限情况）调整法（在可行域内调整）最后由老师指出还有一种常用的方法：网格法（画图相对精确），利用几何画板演
14、示说明。这个问题的解决，将突破另一 难点。也将对学生提出思维严密性、表达层次性的要求，培养学生对 待科学严谨的态度和良好的解题习惯。4归纳总结（师生共同归纳）总结（1）用线性规划解决实际生活中的最优决策、最佳组合问题的关键是什么？（2）建立数学模型的一般步骤是什么？（3）求整点最优解有哪些常见方法，应该注意什么？（4）线性规划的应用涉及到国民经济的多个领域，同学们作为有志青年，有责任好好学习，将来为社会服务。用以下几个问题作为提纲让学生自己归纳小结本节课的内容，培养学生归纳总结的能力。5实习作业Nyx,273185教学程序 教学内容 设计说明实习作业作业 1 在下列 5 题中任选两题课本 64
15、 页第 2 题（服务业）课本 65 页第 3 题（产品加工）课本 65 页第 4 题（旅游业）配制两种药剂，需甲、乙两种原料，已知配A 种药需甲料 3mg，乙料 5mg；配 B 种药需甲料 5mg，乙料 4mg，今有甲料 20mg，乙料25mg，若 A、B 两种药至少配一剂，问最多能各配几剂？（医疗领域）请根据你的生活及生活环境，自己举例说明线性规划可以解决实际生活中的许多问题。作业 2 将学生分成两组 ：一组利用网络统计应用线性规划的方法可以解决那些方面的问题（比如：生产计划、投资经营、工程设计等）一组到附近的工厂、商店、学校、企业等作调查研究，了解他们如何利用线性规划知识提高生产效率、降低
16、生产成本、获得最大利润等问题。把调查研究的成果写成调查报告的形式。“研究性问题”作业打破传统的作业形式，既有课本上的作业题，也有创造性的 实践操作题，为不同程度的学生提供广阔的空间，让学生自主选择，目的在于：为学生提供多层次、多种类的选择，发展学生的个性，培养学生的创新精神；利用网 络，培养学生收集、处理信息的能力；让学生走出校园到附近的企事业单位作调查研究，培养学生 “学数学用数学”的实践操作能力。五、教学评价实践性：通过设计大量的学生活动，给学生提供了一个很好的“做数学”的学习环境和实践机会，让学生深深体会到数学的实用价值；自主性：注意发展学生的个性，选择性的练习和选择性的作业，充分体现了学生的主体地位；联系性：在作业内容上有了较大的突破，让学生的注意力不仅仅只局限于课堂，鼓励学生开阔视野，充分利用网络，提倡学生走出校园，走向社会；直观性：充分利用了多媒体辅助教学手段，特别是几何画板的合理运用，使得教学的内容和过程更具有直观性。教学说明：在实际教学中，针对具体授课对象不同，可以在教学容量和教学难度作适当调整，真正做到有的放矢，因材施教。（本设计的说课获得广东省中学青年数学教师优秀课观摩及评比活动第一名）
