1、1数学竞赛讲义1 1一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，解题方法：1、直接求根法，再讨论根与根之间的公共关系。2、由题意用以下解题步骤：若两个一元二次方程只有一个公共根，则：（1）.设公共根为 ，则 同时满足这两个一元二次方程；（2）.用加减法消去 2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；（3）.把共公根代入原方程中的任何一个方程，然后通过恒等变形求出公共根或求出字母系数的值或字母系数之间的关系式例 1 已知一元二次方程 x2-4x+k=0 有两个不相等的实数根， 1.求 k 的取值范围2.如果 k 是符合条件的最大整数，且一元
2、二次方程 x2-4x+k=0 与 x2+mx-1=0 有一个相同的根，求此时 m 的值解： （1）b4ac164k0, k 2,（其中 b-10）,得：b 2(b-1) 即：b 2 矛盾 同理,方程：x 2 - abx + (a+b) = 0 有 1 根 x = b,也能推出同样的矛盾 所以两个方程没有公共根例 4、求 的值，使得一元二次方程 ， 有k 210xk2()0xk相同的根，并求两个方程的根解答：不妨设 a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有4数学竞赛讲义4 4a2+ka-1=0，a2+a+（k-2）=0-有 ka-1-a-（k-2）=0，即（k-1） （a-1）=0，所以 k=
3、1，或 a=1（1）当 k=1 时，两个方程都变为 x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根，没有相异的根；（2）当 a=1 时，代入或都有 k=0，此时两个方程变为 x2-1=0，x 2+x-2=0解这两个方程，x 2-1=0 的根为 x1=1，x 2=-1；x2+x-2=0 的根为 x1=1，x 2=-2x=1 为两个方程的相同的根5数学竞赛讲义5 5例 5 二次项系数不相等的两个二次方程和22(1)()()0axxa(其中 ， 为正整数)有一个公共根，求22bbab的值。a解答：由方程（a-1）x 2-（a 2+2）x+（a 2+2a）=0 得，（a-1）x-（a+2）（x-a）=0
4、x2=a；同理可由方程（b-1）x 2-（b 2+2）x+（b 2+2b）=0 解得x2=b；a，b 为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根所以 a-1 只能为 1 或 3，即 a=2，b=4，或a=4，b=26数学竞赛讲义6 6（若有 也是同样的结果）当 a=2，b=4，（把 a=4，b=2 代入计算的结果一样）例 6 已知关于 x 的两个一元二次方程：方程： 01)2()1(k方程： 032)1(2kxx（1）若方程有两个相等的实数根，求解方程；（2）若方程和中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简 7数学竞赛讲义7 72)4(1k（3）若方程和有一个公共根 ，求代数
5、式a的值aka53)24(22解答：8数学竞赛讲义8 8练习：1.已知关于 的一元二次方程 有两个实数根。x062kx（1）求 的取值范围；k（2）如果 取符合条件的最大整数，且一元二次方程与 有一个相同的根，求常数 的值。06x012mx m解（1） ，k9；（2） k 是符合条件的最大整数且 k9，k=9，当 k=9 时，方程 x2-6x+9=0 的根为 x1=x2=3；把 x=3 代入方程 x2+mx-1=0 得 9+3m-1=0，m=-8/32.已知一元二次方程 有两个实数根。042kx（1）求 的取值范围；k（2）如果 取符合条件的最大整数，且一元二次方程与 有一个相同的根，求此时
6、的值。04x012mx m解答：9数学竞赛讲义9 9(1)0解得 k4(2)k 是最大整数,说明 k=3x2-4x+k=0 的根是 1 和 3x2+mx-1=0 的根是 1 时,m=0x2+mx-1=0 的根是 3 时,m=-8/33.已知 是一元二次方程 有两个不相等的实21,x 032)1(kxk数根。（1）求 的取值范围；k（2）在（1）的条件下，当 取符合条件的最小整数时一元二次方k程 与 只有一个相同的根，求 的值。0x022mx m解答：（1）方程有两个不相等的实数根，=b 2-4ac=（2k） 2-4（k+1） （k-3）0解得 k-3/2方程是一元二次方程k+10，k-1实数
7、k 的取值范围为：k-3/2 且 k-1（2）由（1）可得：k 取最小整数时 k=0x 2-x+0=0，解得 x1=0，x 2=1把 x=0 代入 x2+mx-m2=0，m=010数学竞赛讲义10 10把 x=1 代入 x2+mx-m2=0 得，m2-m-1=0，解得m=4、已知方程 与方程 有公共根，求 的值072kx0)1(62kxk及两方程的所有公共根和所有的相异根。解答：设两个方程公共根为 x，依题意得X2kx70X26x(k+1)0-得， （-6+k）x+（6-k）=0，当-6+k=0，即 k=6 时，x 取任意值，两个方程得解都相同两个方程是同一个式子方程得解是 x1=7，x 2=
8、-1；11数学竞赛讲义11 11当 k6 时，解得 x=1把 x=1 代入 x2-kx-7=0 得，1-k-7=0，k=-6于是两方程为：x 2+6x-7=0，x 1=1，x 2=-7X2-6x+5=0，x 1=1，x 2=5故答案为：k=-6；其公共根为 1，相异根为：-7 和 55.关于 x 的方程 x2+bx+1=0 与 x2-x-b=0 有且只有一个公共根，求 b的值解：设方程的公共根为 x=t，则T2+bt+10 (1)T2tb0 (2)，由（2）得 b=t2-t （3）将（3）代入（1）得：t 3+1=0，解得，t=-1，当 t=-1 时，b=2变式：若两个方程 x2+ax+b=0
9、 和 x2+bx+a=0 只有一个公共根，则（ ）Aa=b Ba+b=0 Ca+b=1 Da+b=-1.解：设公共根为 x0，则 x 02+ax0+b=0 x02+bx0+a=0 12数学竞赛讲义12 12-，得（a-b） （x 0-1）=0，当 a=b 时，方程可能有两个公共根，不合题意；当 x0=1 时，所以1+a+b=0，a+b=-1故选 D变式：已知实数 a,b 满足 a+b=1,且方程 x+ax+b=0 和x+bx+a=0 至少有一个公共根 ,求 a、b 的值解:第一种情况：有两个相同的根，则 a=b,即 a=b= 2第二种情况：有一个相同的根，则 x+ax+b=0 和 x+bx+a
10、=0，两式作差，得（a-b） （x-1）=0 可得 x=1 可得 a+b+1=0加上 a2+b2=1,可解得 a=-1,b=o 或 a=0，b=-16.若方程 和 只有一个公共根，求 的02bx02ax 201)(ba值。解答：设公共根为 t，则 t2+at+b=0，t 2+bt+a=0，（a-b）t=a-b，t 有唯一的值，a-b0，t=1，把 t=1 代入 x2+ax+b=0 得 a+b+1=0a+b=-1 故答案是（-1） 2012=113数学竞赛讲义13 137.当 是什么实数时，方程 与方程 有一p 032px0)1(42px个公共根。解答：X2-4x-p+1=0.(1) x2+px
11、-3=0.(2) (2)-(1):(x+1)p+4x-4=0 p=4(1-x)/(x+1) 代入（2）：x2+4x(1-x)/(1+x)-3=0 x3-3x2+x-3=0 (x2+1)(x-3)=0 x=3 p=4(1-3)/(1+3)=-28.设 、 、 为三个互不相等的实数，且 ，已知关于 的方程abc 1cx和方程 有一个公共根，方程 和方012x02cbx 02a程 有一个公共根，试求 的值。ba分析：设 x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，得 x1= ，同理，由x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0，得 x2= （c1） ，再根据韦达定理14数学竞赛讲义14 14即
12、可求解解答：解：设 x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，两式相减，得（a-b）x1+1-c=0，解得 x1= ，同理，由 x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0，得 x2= （c1） ，x2= ， 是第一个方程的根，x1 与 是方程 x12+ax1+1=0 的两根，x2 是方程 x2+ax+1=0 和 x2+x+a=0 的公共根，因此两式相减有（a-1） （x2-1）=0，当 a=1 时，这两个方程无实根，故 x2=1，从而 x1=1，于是 a=-2，b+c=-1，所以 a+b+c=-39.已知方程： ， （其中 ）有整数根，是否存在整02cbxa0c数 ，使得方程： 与方程
13、有相同的整p )()(23 xpb数根？如果存在，请求出 的值及相应的公共根，若不存在，请说p明理由。解答：15数学竞赛讲义15 15x3+（a+P）x2+（b+P）x+c=0则 x3+Px2+Px+ax2+bx+c=0 而 ax2+bx+c=0x3+Px2+Px=0 则方程必有一个根为 0，而 ax2+bx+c=0， （其中c0）无 0 根x2+Px+P=0 与 ax2+bx+c=0 有相同的整数根而方程 x2+Px+P=0 的根为从而 P=0 或 4，而 P=0 时方程 x3+（a+P）x2+（b+P）x+c=0 的根为0，而 ax2+bx+c=0， （其中 c0）无 0 根，不合题意P=
14、4，此时方程 x2+Px+P=0 的根为-2已知关于 x 的方程 x2+x-3m=0 与 x2-mx+3=0 只有一个相同的实数根，求 m 的值解：将方程 x2+x-3m=0 和 x2-mx+3=0 组成方程组得，x2+x3m0x2mx+3 0，解得 x=3，m=416数学竞赛讲义16 1610.是否存在某个实数 ，使得方程 和方程m022mx有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数及两02x方程的公共根；若不存在，请说明理由。解：假设存在实数 m，使这两个方程有且只有一个公共实数根 a，由方程根的定义，得（1）-（2）得：（m-2）a+(2-m)=0，解得：m=2，或 a=1，当 m=2
15、时，两个已知方程为同一方程，且没有实数根，所以，m=2 舍去，当 a=1 时，代入（1）得 m=-3,当 m=-3 时，求得第一个方程的根为第二个方程的根为所以，存在符合条件的 m,当 m=-3 时，两个方程有且只有一个公共根 x=1。11.如果方程 和方程 有一个公共根是 3，062bxa 0152bxa求 的值，并分别求出两个方程的另外一个根。b,17数学竞赛讲义17 17答案：把 x=3 分别代入两个方程，得9a-3b-6=09a+6b-15=0解得a=1b=1把 a=1，b=1 代入 ax2-bx-6=0 得 x2-x-6=0，（x-3） （x+2）=0，解得：x1=3，x2=-2方程 ax2-bx-6=0 的另一个根为-2把 a=1，b=1 代入 ax2+2bx-15=0 得x2+2x-15=0，即（x-3）（x+5）=0，解得 x1=3，x2=-5方程 ax2+bx-15=0 的另一个根为-512.已知两个方程 ， 有一个公共根为 1，求02bax02dcx证一元二次方程 也有一个根为 1.18数学竞赛讲义18 18证明：x=1 是方程 x2+ax+b=0 和 x2+cx+d=0 的公共根，a+b+1=0，c+d+1=0，a+c+b+d+2=0，b+d=-a-c-2
