1、绝密启用前 试卷类型：A广东省湛江市 2014 届高三高考模拟测试（一）数学理试题本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
2、区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考试结束后，将试题与答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 的共轭复数是iA B C D i102设函数 的定义域为 A，值域为 B，则 =()lg1)fxAA B C D0,(,)(0,)(,1)3若等差数列 和等比数列 满足 则nanb12ab5aA5 B16 C80 D1604 “ ”是“ ” 的|1|2x(3)0xA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分
3、也不必要条件 5如下图所示的几何体，其俯视图正确的是6若关于 、 的不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范xy502xya a围是A B C D 或5a757a577若函数 的导函数在区间 上有零点，则 在下列区间单调()()bfxR(1,)()fx递增的是A B C D(2,0)(0,)(,)8定义平面向量的正弦积为 ， （其中 为 、 的夹角） ，已知ABC|sin2abab中， ABC，则此三角形一定是A等腰三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形二、填空题：本大题共 7 小题考生作答 6 小题每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（913 题）9 展开式
4、的常数项的值为 _。61()x10点 到双曲线 的渐近线的距离为_。A0,214xy11执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 5，则判断框内 的m的取值范围是_。12若长方体的顶点都在半径为 3 的球面上，则该长方体表面积的最大值为 否是开 始k=1S=0S=S+2kk=k+1 结 束输出kSm？13若函数 ， 分别是 R 上的奇函数、偶函数，且满足 ，则比()fxg ()fxxge较 、 、 的大小结果是 （从小到大排列） 20(3)f（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14 （坐标系与参数方程选做题）已知曲线 的参数方程是 （ 为参数） ，以坐标原点O为极点，C2cosin
5、xy轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，则在曲线x lcos2上到直线 的距离为 的点有_个。l215 （几何证明选讲选做题）如图，O 的直径 AB=4，C 为圆周上一点，AC=3，CD 是 O 的切线，BD CD 于 D,则 CD= 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分 12 分）已知函数 ()sin(),(0,(,)2fxAxA的部分图象如图所示，其中点 P 是图象的一个最高点。(1) 求函数 的解析式；()f(2) 已知 且 ，求 ,25sin13()2f17 （本小题满分 12 分）在某次数学考试中，抽
6、查了 1000 名学生的成绩，得到频率分布直方图如图所示，规定 85 分及其以上为优秀。（1）下表是这次抽查成绩的频数分布表，试求正整数 、 的值；ab区间 75，80）80，85）85，90）90，95）95，100人数 50 a 350 300 b(2) 现在要用分层抽样的方法从这 1000 人中抽取 40 人的成绩进行分析，求抽取成绩为优秀的学生人数；(3)在根据(2)抽取的 40 名学生中，要随机选取 2 名学生参加座谈会，记其中成绩为优秀的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望（即均值） 。18 （本小题满分 14 分）如图，三棱柱 中，ABC 是正三角形，1ABC1A，平面 平面
7、， 。2ABC160(1) 证明： ；1(2) 证明：求二面角 的余弦值；1(3) 设点 是平面 内的动点，求 的最小值NAC1BN19 （本小题满分 14 分）已知正数数列 中， ，前 项和为 ，对任意 ， 、 、na1nnS*NlgnS成等差数列。1lgn(1) 求 和 ；aS(2) 设 ，数列 的前 项和为 ，当 时，证明： 。nb！ nbnT22nST20 （本小题满分 14 分）已知顶点为原点 O 的抛物线 的焦点 与椭圆 的右1CF2:1(0)xyCab焦点重合与 在第一和第四象限的交点分别为 A、 B1C2(1) 若AOB 是边长为 的正三角形，求抛物线 的方程；231C(2)若
8、 ，求椭圆 的离心率 ；AFO2Ce(3) 点 为椭圆 上的任一点，若直线 、 分别与 轴交于点 和PAPBx(,0)Mm，证探究：(,0)Nn当 为常数时， 是否为定值？请证明你的结论amn21 （本小题满分 14 分）已知 21()ln),(,)fxgxabxR(1) 若 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；2bhf且 a(2) 若 ,求证：当 时， 恒成立；01a(1,)x()0fxg(3) 设 ，证明： 。xylnlln2yy湛江市 2014 年普通高考测试题（一）数学(理科)参考答案及评分意见一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1.A 2.D 3.C 4.
9、B 5.C 6.B 7.D 8.A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 20 10. 11. 12. 72 13. 14. 3 25(1,20(0)2()gf15.374三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）16. （本小题满分 12 分）解：(1)由函数最大值为 2 ，得 A=2 。.1 分由图可得周期 ，.2 分4()16T由 ，得 。 .3 分22又 ，及 ，.4 分,1kZ(0,)2得 。 .5 分3。 .6 分()2sin()3fx（2） ，.82511sin13由 （ ， ） ， 且 i=， 得 cos-分，.10 分()sin(2)(sin
10、si)33f .12 分5117. （本小题满分 12 分）解：（1）80 分至 85 分的人数为： （人） ；0.45120a95 分至 100 分的人数为： （人） ；2b（2 ）用分层抽样的方法从 1000 人中抽取 40 人，其中成绩为优秀的学生人数为：（人） ；40(3501)3（3）在抽取的 40 人中，85 分以下的共有 10 人，85 分及其以上的共有 30 人，从中抽取的 2 人中，成绩优秀的人数 X 的可能取值分别是：0 人、1 人、2 人，其分布列如下表：X 0 1 2P(X)35295X 的数学期望为： 203911.526XED18.（本小题满分 14 分）（1 ）证
11、明： ， 是正三角形，12ABAC ，C ,1又 ,60A 是正三角形，1C取 中点 ，连结 、 ，则D1B1,AA又 ，111,BDAB平 面 平 面 ,C平 面又 ,11A平 面 .B（2 ）证明： ，由（ 1）知 ，1/C1,ABCDA ，,AD ；11B就 是 二 面 角 的 平 面 角 1 1,CABCABAC平 面 平 面 平 面 平 面11ADD平 面 .平 面 ,BC平 面 ，1.AD在21113, 6Rt ADBAD 中 ， 12cos.B（3 ）解：延长 至 使 ，连结 、 、 ，BDEBAEC1B则 就是 的最小值，11N以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则点A的坐
12、标为 ， 的坐标是 ，E(3,0)1B(3,2)221(0)4B19. (本小题满分 14 分)解：（1）依题意： ， 即 ，1lg2lgnSna2nSa .2n .1naS当 时，221()a代入并整理得: 1n ， ， ， ， ，213a2435a46324na213na12na1n把以上 个式子相乘得： ， 又12()na1a 2()na当 时， 也满足上式，所以1EzD yx2(1)na 1()()nn 121()34nTn2()1n（2 ） !()!(1)!nSbn 1 1 2!2!34!()!()!nT n ， ，0()!12()!nT又 12(1)!22(1)!()!()n nT
13、S nn()!(!)0! 。2nST20.（本小题满分 14 分）解：（1）设椭圆的右焦点为 ，依题意得抛物线的方程为 (,0)Fc24ycx1 分 是边长为 的正三角形，AOB23点 A 的坐标是 ， (,)3 分代入抛物线的方程 解得 ，24ycx1故所求抛物线 的方程为 1C4 分（2 ） , 点 的横坐标是AFOAc代入椭圆方程解得 ，即点 的坐标是 2byaA2(,)bca5 分 点 在抛物线 上，A24cx ， 42,bcaa即6 分将 代入上式整理得： ，222()10ca即 ，解得 10e1e7 分 ，故所求椭圆 的离心率 。 01e2C21e8 分（3）证明：设 ，代入椭圆方
14、程得122(,)(,)(,)PxyABxy221,xab9 分而直线 的方程为 PA2112()()0xyxy10 分令 得 。 0y212my11 分在 中，以 代换 得 212xy2y212xyn12 分 2221211xxxmnyyy221122()()aabbay当 为常数时， 是定值。 14mn分21. （本小题满分 14 分）解：(1)当 时， 2b21lnhxax . 11()hxa分 有单调减区间， 有解，即()hx()0hx210ax ， 有解。 2021a分（）当 时符合题意；（）当 时， ，即 。0a40a1 的取值范围是 。 4 分(1,)（2 ）当 时，设 ，,b()ln()xfgxx 。 5 分()1x ，讨论 的正负得下表：()x6 分当 时 有最大值 0.0x()即 恒成立。()当 时， 恒成立。 8 分1,)x()0fxg（3） ，0ylnl()ln2xyxy10 分(l)(l)x2lnllnl2yxyx12 分l(1)l(1)y由（2）有ln()ln()0222yxxyxy 14 分ll()lx
