1、四川省资阳市高中 2014 届高三下学期 4 月高考模拟考试数学理试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题） 。第卷1至2页，第卷3至4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。第卷 （选择题 共 50 分）注意事项：必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A x| ，Bx| ，则集合 (1)02logxAB（A）x| 0x4 （B）x| 0x5（C ）
2、x| 1x 4 （D） x| 4x52在复平面内，复数 z 和 表示的点关于虚轴对称，则复数 z2i（A） （B） （C） （D）4i54i52i524i53下列说法正确的是（A） “ ”是“函数 是奇函数”的充要条件(0)f()fx（B）若 ， ，则 ，:pxR201:pxR210x（C ）若 为假命题，则 p，q 均为假命题q（D） “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”6sin6sin4在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图根据该图，下列结论中正确的是（A）人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于 20
3、%（B）人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于 20%（C ）人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于 20%（D）人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于 20%5 如图，已知 A，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点 A所在的河岸边另选定一点 C，测得m， ， ，则 A、B 两点的距0C45105离为（A） m53（B） m2（C ） m（D） m06用 0，1，2，3，4 这五个数字组成没有重复数字的五位数中，奇数的个数是（A）24 （B）36（C ）48 （D）727若 x，y 满足约束条件 目标函数 zax2 y 仅在点(1 ，0)处取得最小值，则实1,2,
4、xy数 a 的取值范围是（A） （B）(4,2) (4,1)（C ） （D）(,) (,)8已知实数 ，执行右图所示的程序框图，则输出 x 的值不小于 55 的概率为10x（A） 9（B） 2（C ） 4（D） 599设 P 是双曲线 上除顶点外的任意一点，21(0,)xyab、 分别是双曲线的左、右焦点， 的内切圆与边 相1F2 12PF12F切于点 M，则 12F（A） （B）a b（C ） （D）2b 210已知函数 ，若 ， 为某一个三角形的边长，则e()1xmf,abcR(),()fafc实数 m 的取值范围是（A） （B）1,2 0,1（C ） （D） 2第卷 （非选择题 共 10
5、0 分）注意事项：必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11 的展开式的中间一项是_61()x12在 RtABC 中， ， ， ，则2C6B1CA_|2|ACB13右图中的网格是边长为 1 的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为_14已知等边三角形的一个顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，则该三角形的面积是_ 2yx15设 表示不超过 的最大整数，如 ， 给出下列命题：x32.3对任意实数
6、 ，都有 ；1x对任意实数 ，y，都有 ；y ；lg12lg3l09若函数 ，当 时，令 的值域为 A，记集合 A 的元素个()fx *,)(nN()fx数为 ，则 的最小值为 na49n12其中所有真命题的序号是_三 、 解 答 题 ： 共 6 大 题 ， 共 75 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。16 （本小题满分 12 分）设平面向量 ， ，函数 2(cos,3in)xm(2,1)()fxmn（）当 时，求函数 的取值范围；,32x)fx（）当 ，且 时，求 的值1()5f6sin(2)317 （本小题满分 12 分）已知数列 的前
7、n 项和为 满足： nanS32na（）求证：数列 是等比数列；1na（）令 ，对任意 ，是否存在正整数3323log()log()log(1)n nc *Nm，使 都成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由12nm18 （本小题满分 12 分） 某学校为了选拔学生参加“XX 市中学生知识竞赛” ，先在本校进行选拔测试（满分 150 分） ，若该校有 100 名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图（）根据频率分布直方图，估算这 100 名学生参加选拔测试的平均成绩；（）若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛，知识竞赛分为初赛和复赛，初赛中每人最多
8、有 5 次答题机会，累计答对 3题或答错 3 题即终止，答对 3 题者方可参加复赛假设参赛者甲答对每一个题的概率都是 ，2求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望19 （本小题满分 12 分） 如图，四边形 ABCD 是梯形，四边形 CDEF 是矩形，且平面ABCD平面CDEF，BAD CDA 90 ， ，M 是线段12ABDECAE 上的动点（）试确定点 M 的位置，使 AC平面 DMF，并说明理由；（）在（）的条件下，求平面 DMF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值20 （本小题满分 13 分） 如图，已知圆 E： ，点 ，P 是圆 E 上2(3)16xy(3,0)F任意一点线段 PF
9、 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q（）求动点 Q 的轨迹 的方程；（）已知 A，B ，C 是轨迹 的三个动点，A 与 B 关于原点对称，且 ，问ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此|时点 C 的坐标，若不存在，请说明理由21 （本小题满分 14 分） 已知函数 （ ）()e1xfaR（）求函数 的单调区间；()fx（）函数 在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若lnFx不存在，请说明理由；（）若 ，当 时，不等式 恒成立，求 a 的取()le1)xg(0,)()(fgxf值范围资阳市高中 2011 级高考模拟考试数学参考答案及评分意见（理工类）一、选择题：CADBD，
10、BACBD二、填空题：11. 20 ；12. 2；13. 16；14. ；15.123三 、 解 答 题 ： 共 6 大 题 ， 共 75 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。16解析：（） 1 分2()cos,in)(,cos3inxxf 3 分cos3in1x2i)16当 时， ，则 ， ，,3xsi()126x02si()6x所以 的取值范围是 6 分()fx0（）由 ，得 ， 7 分12sin()654sin()5因为 ，所以 ，得 ， 9 分333co6 12 分sin(2+)si()si()s()217解析：（）当 时， ，解得 ，
11、 1 分1n112Sa14a当 时，由 得 ， 2 分32Sa3nn两式相减，得 ，即 （ ） ， 3 分11n 12n则 ，故数列 是以 为首项，公比为 3 的等比数列 4 分13()nan13a（）由（）知 ，3na， 6 分3123 (1)log()log(1)log()22n nc n 所以 ， 7 分n则 ， 8 分12 11(1)()()23nccnn 由 对任意 都成立，得 ， 10 分3m *nN23m即 对任意 都成立，又 ，6()1n*m所以 m 的值为 1，2，3 12 分18解析：（）设平均成绩的估计值为 ，则：X(0.40.6.098.201.20.3140.)2X
12、4 分8.（）记甲在初赛中的答题个数为随机变量 ，这 的可能值为 3，4 ，5， ，3321()()P2123(4)()()()337PCC（或 ）224 285 7C1082P10 分则 的分布列为3 4 5p 10278所以 数学期望 12 分10834527E19解析：（）当 M 是线段 AE 的中点时，AC平面 DMF证明如下：连结 CE，交 DF 于 N，连结 MN，由于 M、N 分别是 AE、CE 的中点，所以 MNAC，由于 MN 平面 DMF，又 ACAC平面 DMF，所以 AC平面 DMF 4 分（）方法一、过点 D 作平面 DMF 与平面 ABCD 的交线 l，由于AC平面
13、 DMF，可知 ACl ，过点 M 作 MGAD 于 G，因为平面 ABCD平面 CDEF，DE CD，所以 DE平面 ABCD，则平面 ADE平面 ABCD，所以 MG平面 ABCD，过 G 作 GHl 于 H，连结 MH，则直线 l平面 MGH，所以 lMH，故MHG 是平面 MDF 与平面 ABCD 所成锐二面角的平面角 8 分设 ，则 ， ，2AB1D2sinsin15GDHGAC，则 ， 11 分1ME23()15所以 ，即所求二面角的余弦值为 12 分cosH23方法二、因为平面 ABCD平面 CDEF，DE CD，所以 DE平面 ABCD，可知 AD，CD ，DE两两垂直，分别以
14、 ， ， 的方向为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz设DACE，则 ，2AB(1,0)， ， ，(0,4)FM(0,42)F设平面 MDF 的法向量 ，1,xyzn则 所以1,Dn4,令 ，得平面 MDF 的一个法向量 ， 8 分y1(2,)n取平面 ABCD 的法向量 ， 9 分2(0,)n由 ， 11 分112cos,| 34n故平面 MDF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为 12 分2320解析：（）连结 QF，根据题意， |QP|QF|，则|QE|QF |QE|QP| 4，|23EF故动点 Q 的轨迹 是以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆 2 分设其方程为 ，
15、可知 ， ，则 ， 3 分21(0)xab2a23cab1b所以点 Q 的轨迹 的方程为为 4 分214xy（）存在最小值 5 分（）当 AB 为长轴（或短轴）时，可知点 C 就是椭圆的上、下顶点（或左、右顶点） ，则 6 分1|22ABCSOABab（）方法一、当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设斜率为 k，则直线 AB 的直线方程为 ，设点 ，ykx(,)Axy联立方程组 消去 y 得 ， ，21,4xyk2241k241k由 ，知ABC 是等腰三角形， O 为 AB 的中点，则|CABOC AB，可知直线 OC 的方程为 ，同理可得点 C 的坐标满yxk足 ， ，则 ，224Ckx
16、24Cyk22244(1)|1kA，2(1)|O8 分则 9 分22224(1)()4(1)|ABCOA kkkSOA 由于 ，22(1)5(14)kk所以 ，当且仅当 ，即 时取等号285()ABCOAS214k21k综合（） （） ，当 时，ABC 的面积取最小值 ， 11 分21k 85此时 ， ，即 ， ，2245Cxk245Cy2Cx2Cy所以点 C 的坐标为 ， ， ， 13 分(,)(,)(,)55(,)方法二、前同（） ，记 ，则 ，所以 ，21tk1t01t故 ，2 2244495(3) 9()4ABCSttt当 ，即 时， 有最大值 ，此时 取得最小值 12t21k15()
17、 ABCS85综合（） （） ，当 时，ABC 的面积取得最小值 11 分 285此时 ， ，即 ， ，2245Ckx245Cyk2Cx2Cy所以点 C 的坐标为 ， ， ， 13 分(,)(,)(,)55(,)方法三、设 ， ，根据 A，B 两点关于原点对称，0,)Axy1xy则 ，所以 ，0(,B20|B由 ，知ABC 是等腰三角形， O 为 AB 的中点，则|OC AB， ， ，0ABykx1OCykx由 ，01yx且点 C 在椭圆上，则 214y联立，解得 ， ，所以 ， 8 分2201x22014xy20|4xyOC所以 ， 9 分02()|ABCxSOB又 ，即 ，所以 ， 201
18、4xy2004xy208615ABCyS记 ， ， ，2065t,t22065t则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，88ABCtStt025y综合（） （） ，当 时， 有最小值 11 分025yABCS8所以点 C 的坐标为 ， ， ， 13 分(,)25(,)2(,)525(,)21解析：（）由 ，则 e1xfaexfa当 时，对 ，有 ，所以函数 在区间 上单调递增；0axR()0()(,)当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，()fln0fln此时函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ,综上所述，当 时，函数 的单调增区间为 ；()fx(,)当 时，函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 4 分
19、0a()fx(l,)a(,l)a（）函数 的定义域为 ，由 ，得lnF00Fx（ ） ， 5 分e1lnx0令 （ ） ，则 ， 6 分()hxx()hx2e1)(x由于 ， ，可知当 ， ；当 时， ，0e1x 0x()0hx故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故 7 分(), (,)1e又由（）知当 时，对 ，有 ，即 ，ax(ln)fxa1xx（随着 的增长， 的增长速度越越快，会超过并远远大于 的增长速度，0xe1y y而 的增长速度则会越越慢则当 且 无限接近于 0 时， 趋向于正无穷大.lny0()h）当 时，函数 有两个不同的零点；e1a()Fx当 时，函数 有且仅有一个零点；当 时，函数 没有零点 9 分（）由（）知当 时， ，故对 ，0x1xe0,()xg先分析法证明： ， 10 分()g要证 ， ，0x()gx只需证 ，1,e即证 ，0x构造函数 ，则 ，()H()x()0xHe故函数 在 单调递增，所以 ，则 成立,10xe12 分当 时，由（） ， 在 单调递增，则 在 上恒成立；1a()fx0,)()(fgxf(,)当 时，由（） ，函数 在 单调递增，在 单调递减，(ln,a0,lna故当 时， ，所以 ，则不满足题意0lnxgff所以满足题意的 的取值范围是 14 分a,1
