1、课时训练 8 椭圆的简单几何性质一、综合题1.已知点(3,2)在椭圆=1 上,则( ).A.点(-3,-2)不在椭圆上B.点(3,-2)不在椭圆上C.点(-3,2)在椭圆上D.无法判断以上各点是否在椭圆上来源:gkstk.Com答案: C解析:由椭圆的对称性知(-3,2)必在椭圆上.2.椭圆=1 与椭圆=1 有( ).A.相同短轴 B.相同长轴C.相同离心率 D.以上都不对答案: D解析:由于椭圆=1 中,焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上,所以无法确定两个椭圆的长轴长、短轴长的关系,且离心率也不一定相同.3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6,则椭圆的方程为
2、( ).A.=1B.=1C.=1 和=1D.=1 和=1答案: D解析:依题意 2a+2b=18,2c=6,所以 a+b=9,c=3.而 c2=a2-b2,所以 a2-b2=9,于是 a-b=1,解得 a=5,b=4,故方程为=1 或=1.4.椭圆=1 的离心率为,则 k 的值为( ).A. B.-3C.或 -3 D.-3 或答案: C解析:若焦点在 x 轴上,则=1-,k=;若焦点在 y 轴上,则,k=-3.5.中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点(2,0)的椭圆的方程是( ).A.+y2=1B.+y2=1 或 x2+=1来源:学优 GKSTKC.x2+4y2=1D.x2+4y2=4
3、 或 4x2+y2=16答案: D解析:若焦点在 x 轴上,则 a=2.又 e=,c=.b 2=a2-c2=1,方程为+y 2=1,即 x2+4y2=4;若焦点在 y 轴上,则 b=2.又 e=,=1-,a 2=4b2=16,方程为=1,即 4x2+y2=16.6.若点 O 和点 F 分别为椭圆=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则的最大值为( ).A.2 B.3 C.6 D.8答案: C解析:由题意得 F(-1,0),设点 P(x0,y0),则=3(-2x 02),=x0(x0+1)+x0+x0+3(x0+2)2+2,当 x0=2 时,取得最大值为 6.7.已知椭圆 E 的短轴
4、长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心率等于 . 答案:解析:根据题意得 2b=6,a+c=9 或 a-c=9(舍去).所以 a=5,c=4,故 e=.8.若 AB 为过椭圆=1 的中心的线段,F 1为椭圆的焦点,则F 1AB 的面积的最大值为 .答案:12解析:如图, =2.又OF 1=c=3 为定值,点 A 与(0,4)重合时,OF 1边上的高最大.此时的最大值为 43=6.的最大值为 12.9.椭圆=1(ab0)的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1F 1F2,|PF1|=,|PF2|=.(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 l 过
5、圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.解:(1)点 P 在椭圆 C 上,2a=|PF 1|+|PF2|=6,即 a=3.在 RtPF 1F2中,|F1F2|=2,故椭圆的半焦距 c=,从而 b2=a2-b2=4,来源:GKSTK.Com即椭圆 C 的方程为=1.(2)已知圆的方程为(x+2) 2+(y-1)2=5,因此,圆心 M 的坐标为(-2,1).设 A,B 的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),由题意 x1x 2,且=1,=1,由-得=0,A,B 关于点 M 对称,x 1+x2=-4,y1+y2=2.
6、代入得,即直线的斜率为,故直线 l 的方程为 y-1=(x+2),即 8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意)10.如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1,F2,线段 OF1,OF2的中点分别为 B1,B2,且AB 1B2是面积为 4 的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过 B1作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2QB 2,求直线 l 的方程.解:(1)如题图所示,设所求椭圆的标准方程为=1(ab0),右焦点为 F2(c,0).因AB 1B2是直角三角形,又|AB 1|=|AB2|,故B 1AB2为直角,因
7、此|OA|=|OB 2|,得 b=,结合 c2=a2-b2得 4b2=a2-b2,故 a2=5b2,c2=4b2,所以离心率 e=.在 RtAB 1B2中,OAB 1B2,故=|B1B2|OA|=|OB2|OA|=b=b2.来源:gkstk.Com由题设条件=4 得 b2=4,从而 a2=5b2=20,因此所求椭圆的标准方程为=1.(2)由(1)知 B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为 x=my-2.代入椭圆方程得(m 2+5)y2-4my-16=0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1,y2是上面方程的两根,因此 y1+y2=,y1y2=-,又=(x 1-2,y1),=(x2-2,y2),所以=(x 1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-.由 PB2QB 2,得=0,即 16m2-64=0,解得 m=2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为 x+2y+2=0 和 x-2y+2=0.来源:gkstk.Com
