1、.黄金分割专题练习一、选择题1已知 C 是线段 AB 的一个黄金分割点，则 ACAB 为（ ）A B C D 或2525321521532若 黄金数，则 的值是（ ）1yxyxA B C D 5212553把 2 米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ）A B C D 5134美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割。在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近 0.618，就越给别人一种美的感觉。如果某女士身高为1.60m，躯干与身高的
2、比为 0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（ ）A2.5cm B5.1cm C7.5cm D8.2cm5如图，在正五边形 ABCDE 中，对角线 AD、AC 与 EB 分别相交于点 M、N下列命题：四边形 EDCN 是菱形；四边形 MNCD 是等腰梯形；AEN 与EDM 全等；AEM 与CBN 相似；点 M 是线段 AD、BE、NE 的黄金分割点，其中假命题有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D4 个二、填空题1C 是 AB 的黄金分割点，则 。BCA2P 为线段 AB10cm 的黄金分割点，则 AP cm（保留两个有效数字）。3当人的肚脐到脚底的距离
3、与身高的比等于黄金分割比 0.618 时，身材是最完美的。一位身高为 165cm，肚脐到头顶高度为 65cm 的女性，应穿鞋跟为 cm 的高跟鞋才能使身材最完美（精确到 1cm）。4如图，节目主持人现站在舞台 AB 的一端 A 点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果，.若舞台 AB 长 20 米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处，她应走到距 A 点至少 米处，如果向B 点再走 米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到 0.1 米）5如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上的黄金分割点，且 BECE，AE 与 BD 相交于点 F那么 BF：FD的值为 。6如图
4、，在ABC 中，点 D 是 AB 的黄金分割点（ADBD），BCAD，如果ACD90， 那么 tanA 。三、 解答下列各题1在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近 0.618 越给人以美感。张女士的身高为 1.68 米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为 1.02 米，那么她应选择约多大的高跟鞋看起来更美。(精确到十分位)2一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看。如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？（精确到 1cm）参考数据：黄金分割比为 ， 2.236。215.3要设计一座
5、2m 高的维纳斯女神雕像（如图），使雕像的上部 AC（肚脐以上）与下部 BC（肚脐以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，即点 C（肚脐）就叫做线段 AB 的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比。试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比？（结果精确到 0.001）4如图，在ABC 中，ABAC，A36，12，请问点 D 是不是线段 AC 的黄金分割点。请说明理由。5如图，ABC 中，ABAC，BAC108，在 BC 边上取一点 D，使 BDBA，连接 AD。求证：（1）ADCBAC；（2）点 D 是 BC 的黄金分割点。6如图 1，点 将线段 分成两部分，如果 ，那么称点 为线段 的黄金分割点
6、。CABACBCAB.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 将一个面积为 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 ， ，如果 ，那么称直线 为该图lS 1S212Sl形的黄金分割线。（1）研究小组猜想：在 中，若点 为 边上的黄金分割点（如图 2），则直线 是 的黄ABC DABCDAB金分割线。你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点 任作一条直线交 于点 ，再过点 作直线 ，交EFEAC于点 ，连接 （如图 3），则直线 也是 的黄金分割线。请你说明理由
7、。FEEFABC（4）如图 4，点 E 是 的边 AB 的黄金分割点，过点 E 作 EFAD，交 DC 于点 F，显然直线 EF 是ABCDBD的黄金分割线。请你画一条 的黄金分割线，使它不经过 各边黄金分割点。D7（2013黄石）如图 1，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 ，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点 。ACB某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1、S 2，如果 ，那么称直线12Sl 为该图形的黄金分割线。（1）如图 2，在ABC 中，A36
8、，ABAC，C 的平分线交 AB 于点 D，请问点 D 是否是 AB 边上的黄金分割点，并证明你的结论；（2）若ABC 在（1）的条件下，如图 3，请问直线 CD 是不是ABC 的黄金分割线，并证明你的结论；（3）如图 4，在直角梯形 ABCD 中，DC90，对角线 AC、BD 交于点 F，延长 AB、DC 交于点 E，连接EF交梯形上、下底于 G、H 两点，请问直线 GH 是不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线，并证明你的结论。.8已知线段 AB，求作线段 AB 的黄金分割点 C，使 ACBC。相似形专题练习答案一、选择题1D2D3A4C5B二、填空题1 或 ；21526.2 或 3.8。3
9、解：设她应选择高跟鞋的高度是 xcm，则 618.0165)(x解得：x5cm。故答案为：5。4 7.6，4.8。5 。216解：点 D 是 AB 的黄金分割点（ADBD）， ，AD 2ABBD，5ABBCAD，BC 2ABBD，. ，BCAD又BB，BCDBAC， 。215A在ACD 中，ACD90，tanA 。CD故答案为 215三、 解答下列各题1设张女士应该选择 xcm 高的高跟鞋，则，解得 4.8（cm）。618.0xx2解：设应穿 xcm 高的鞋子，根据题意，得 。解得 x10cm。2593解：设维纳斯女神雕像下部的设计高度为 xm，那么雕像上部的高度为（2x）m。依题意，得，2x
10、解得 ， （不合题意，舍去）。36.15151x经检验 是原方程的根。x答：维纳斯女神雕像下部的高度为 1.236m。故这个黄金分割比为： 。618.0254解：D 是 AC 的黄金分割点理由如下：在ABC 中，ABAC，A36，ABCACB （18036）72。2112，12 ABC36。在BDC 中，BDC1802C72，CBDC，BCBD。A1，ADBC。ABC 和BDC 中，2A，CC，.ABCBDC， ，CDBA又ABAC，ADBCBD， ，AD 2ACCD，即 D 是 AC 的黄金分割点。5证明：（1）ABAC，BAC108，BC36，BDBA，BAD72，CAD36，CADB，C
11、C，ADCBAC；（2）ADCBAC， ，ACBDAC 2BCCD，ACABBD，BD 2BCCD，点 D 是 BC 的黄金分割点。6（1）直线 是 的黄金分割线。理由如下：B设 的边 上的高为 。AC h， ， ，12DS 12DCSA 12BCShA所以， ， 。ACB BA又因为点 为边 的黄金分割点，所以有 因此 。DABADCBS 所以，直线 是 的黄金分割线。D（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时 ，即12ss，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。12s（3）因为 ，所以 和 的公共边 上的高也相等，DFCE D FCE所以有 。S 设直线 与 交于点
12、 所以 GDGEFCS 所以 ADCFCAD 四 边 形， 。GEFS 四 边 形 BDBEFC 四 边 形.又因为 ，所以 。ADCBS BEFCAEFBCAS四 边 形 因此，直线 也是 的黄金分割线。EF（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图 1，取 的中点 ，再过点 作一条直线分别交 ， 于 ， 点，则直GABDCMN线 就是 的黄金分割线MND画法二：如答图 2，在 上取一点 ，连接 ，再过点 作 交 于点 ，连接NEFE，则直线 就是 的黄金分割线。ABCF CBDEANMG（第 6 题答图 1）F CBDEANM（第 6 题答图 2）7解：（1）点 D 是 AB 边上的
13、黄金分割点理由如下：ABAC，A36，BACB72。CD 是角平分线，ACDBCD36，AACD，ADCD。CDB180BBCD72，CDBB，BCCD。BCAD。在BCD 与BCA 中，BB，BCDA36，BCDBCA， ，BCDA ，点 D 是 AB 边上的黄金分割点。（2）直线 CD 是ABC 的黄金分割线理由如下：设ABC 中，AB 边上的高为 h，则SABC ABh，S ACD ADh，S BCD BDh。12121S ACD ：S ABC AD：AB，S BCD ：S ACD BD：AD。由（1）知，点 D 是 AB 边上的黄金分割点， ，ADBS ACD ：S ABC S BCD
14、 ：S ACD ，.CD 是ABC 的黄金分割线。（3）直线不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线理由如下：BCAD，EBGEAH，EGCEHD， ， ，EHGABDC ，即 A同理，由BGFDHF，CGFAHF 得：，即 GC由、得： ，AHDAHHD，BGGC。梯形 ABGH 与梯形 GCDH 上下底分别相等，高也相等，S 梯形 ABGHS 梯形 GCDH S 梯形 ABCD。21GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线。8解：作法：（1）延长线段 AB 至 F，使 ABBF，分别以 A、F 为圆心，以大于等于线段 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 G，连接 BG，则 BGAB，在 BG 上取点 D，使 BD AB，21（2）连接 AD，在 AD 上截取 DEDB。（3）在 AB 上截取 ACAE。如图，点 C 就是线段 a 的黄金分割点。另一种作法：经过点 B 作 BDAB，使 BD AB；12连接 AD，在 AD 上截取 DEDB。在线段 AB 上截取 ACAE。如图，点 C 就是线段 AB 的黄金分割点。 AEBCD
