1、求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的 11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法） 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号） 、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式） 、特征根法二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个
2、函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1适用于： -这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。1()naf2若 ，1nf2则 231() ()naff 两边分别相加得 11()nnkaf例 1 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n112na， na解：由 得 则12na1n23212()()()()211()()aaannn 所以数列 的通项公式为 。a2na例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n113na， na解法一：由 得 则12na12nn123211211()()()()333()(33nnnnaaan 所以 1.na解法二： 两边除以 ，得 ，132
3、nn13n1123nna则 ，故11nna1122321122()()()()3332() 1)333nnnnnnnaaaa因此 ，1()2(1)2nn na则 3.nnn评注：已知 , ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函a1)(1fn数、分式函数，求通项 .若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和 ;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 3.已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.na0)(21nnaSn解
4、:由已知 得 ,)(21nnS )(11nnS化简有 ,由类型(1)有 ,n1Sn3212又 得 ,所以 ,又 , ,1aS)(2Sn0na2)1(ns则 2)1()(n此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法 1.适用于： -这是广义的等比数列1()nnaf累乘法是最基本的二个方法之二。2若 ，则1()nfa 31212()()()naafff ， ， ，两边分别相乘得， 11()nnkfa例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n112()53nna， na解：因为 ，所以 ，则 ，故112()53nnaa， 0n12()5n132122211(1)1(1)2(55()5()333!
5、nnnnn 所以数列 的通项公式为na(1)235!.nna例 5.设 是首项为 1 的正项数列，且 （ =1，2， 3，） ，0121nnaa则它的通项公式是 =_.na解：已知等式可化为： 0)1(1nnaa( ) (n+1) , 即0na*N01n1n时，2n1= = .1221aann 12nn评注：本题是关于 和 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得n1到 与 的更为明显的关系式，从而求出 .na1 na练习.已知 ,求数列an的通项公式.1,1nan答案： -1.n)(!1评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 转化为,11nan若令 ,则问题进一步转化为 形
6、式，进而应用累乘法),1(1nnanab nb1求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于 1()nqf基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如 ,其中 )型0(,1cdana1（1）若 c=1 时，数列 为等差数列;n（2）若 d=0 时，数列 为等比数列;na（3）若 时，数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列01且dcn来求.待定系数法：设 ,)(1nnac得 ,与题设 比较系数得)(1can ,1dn,所以 所以有：d)()0(,c )1(1cdacann因此数列 构成以 为首项，以 c 为公比的等比数列，1ca
7、n 1cda所以 即： .11)(nnd 1)1(cddann规律：将递推关系 化为 ,构造成公比为 c 的等比数dcan1)1(1cdacdnn列 从而求得通项公式cdan )(11nn逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系 中把 n 换成 n-1 有dcan1,两式相减有 从而化为公比为 c 的等比数列 ,进dcan1 )(1nnaca 1na而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复)121n杂.例 6 已知数列 中， ，求数列 的通项公式。na11,2()nana解法一： 12(),n1nna又 是首项为 2，公比为 2 的等比数列12,na，即na1
8、n解法二： 12(),n1na两式相减得 ，故数列 是首项为 2，公比为 2 的等112()(2nna1na比数列，再用累加法的练习已知数列 中， 求通项 。na,2,11nnana答案：)2(1n2形如： (其中 q 是常数，且 n 0,1) nnap1 若 p=1 时，即： ，累加即可.nnqa1若 时，即： ，pnnp1求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 .目的是把所求数列构造成等差数列1np即： ,令 ，则 ,然后类型 1，累加求通项.nnqpap)(11nabnnqpb)(1ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。1n即： ,qapqnn1令 ,则可化为 .然后
9、转化为类型 5 来解，nbbnn11iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项.)(11 nnnn paqa 注意：应用待定系数法时，要求 p q，否则待定系数法会失效。例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n11243nna， na解法一（待定系数法）：设 ，比较系数得 ，112(nnna)124,则数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，143na 11435所以 ，即152nn11nna解法二（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解法略1nq13n1243nna解法三（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解
10、法略1np12n nn)(13形如 (其中 k,b 是常数，且 )bknan1 0k方法 1：逐项相减法（阶差法）方法 2：待定系数法通过凑配可转化为 ; )1()(1ynxapyxna解题基本步骤：1、确定 =kn+b()fn2、设等比数列 ，公比为 p)(yxnabn3、列出关系式 ,即)1(1ynxn 1npb4、比较系数求 x,y5、解得数列 的通项公式)(yxan6、解得数列 的通项公式n例 8 在数列 中， 求通项 .（逐项相减法）na,23,1nanna解： ， ,231n时， ，2n)1(1an两式相减得 .令 ,则2311nn nnab1231nb利用类型 5 的方法知 即
11、5nb511n再由累加法可得 . 亦可联立 解出 .2321ann 2132nan例 9. 在数列 中， ,求通项 .（待定系数法）na36,11nan n解：原递推式可化为 yxyxnn )()(21比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为 1nb所以 是一个等比数列，首项 ,公比为 . 即：nb 2961nab11)2(9nnbnna)21(96故 .6)(nn4形如 (其中 a,b,c 是常数，且 )cnbapn21 0a基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例 10 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n21 1345n a ， n解：设 2
12、 21()()()n naxyzxyz 比较系数得 ， 3,0,18所以 2 21()()(3108)n nana由 ，得213081320n则 ，故数列 为以21()()2nan2318na为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2130813，则 。2nna43108na5.形如 时将 作为 求解21 nnapqan()f分析：原递推式可化为 的形式，比较系数可求得 ，数列211) nnpa 为等比数列。1na例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na211256,nnaana解：设 211(5)nnaa比较系数得 或 ，不妨取 ， （取-3 结果形式可能不同，但本质相同）322则
13、 ，则 是首项为 4，公比为 3 的等比数列211()nnaa1na，所以143n 14352nn练习.数列 中，若 ,且满足 ,求 .na,821a03412nnaan答案： .n3四、迭代法 (其中 p,r 为常数) 型rnnpa1例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n3(1)25nna， na解：因为 ，所以3(1)2nna1212(2)132()3()(1)112(3)(1)33(1()32() nn nnnn nnaa 2(1)()1! nna又 ，所以数列 的通项公式为 。15na(1)23!5nna注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、对数变换法
14、 适用于 (其中 p,r 为常数) 型 p0， rnnpa1 0na例 14. 设正项数列 满足 ， （n2）.求数列 的通项公式.11解：两边取对数得： ， ，设 ，则122loglnnaa )1(logl22nnaa 1log2nab是以 2 为公比的等比数列， ，12nbb1b， ，12lognan 12logna 12na练习 数列 中， ， （n2） ，求数列 的通项公式. n11n na答案：nna2例 15 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na5123nna17na解：因为 ，所以 。511237nn， 10nn，两边取常用对数得 1lgllg32nna设 （同类型四）
15、1lg()5(l)n naxyxy比较系数得， lg3g2,4164由 ，得 ，1lll3lg2g71064alg3lg204164na所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的等比数列，lg3lg24164nl3l则 ，因此1l l3g2g(7)564na 111 1664444511456l3gl2lll(7)ll(3)g(32)g2l7nnn nn则 。114556432nna六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 16 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112,nnana解：求倒数得 为等差数列，首项 ，公差为 ，111,22nnnnaaa1a121(),n七、
16、换元法 适用于含根式的递推关系例 17 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na解：令 ，则124nnb2)nb代入 得1(6nnnaa2211()4()4nnnbb即 2213n因为 ， 40nnba则 ，即 ，123n132nnb可化为 ，1()nnb所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，因3n112432413a21此 ，则 ，即 ，得2()nnb()nb()3na。343nna八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前 n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例 18 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1228()8
17、139nnaa， na解：由 及 ，得1228()3n1921223422(1)824583()(3)9148018aa由此可猜测 ，下面用数学归纳法证明这个结论。2()1n（1）当 时， ，所以等式成立。21()89a（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，nk2(1)ka1nk12222228(1)3(8(1) )( (133) ( 1)kakkkk由此可知，当 时等式也成立。n根据（1） ， （2）可知，等式对任何 都成立。*nN九、阶差法（逐项相减法）1、递推公式中既有 ，又有nSna分析：把已知关系通过 转化为数列 或 的递推关系，然后采用相应1,2nnSanaS的方法求解。例 1
18、9 已知数列 的各项均为正数，且前 n 项和 满足 ，且 成n nS1()26na249,a等比数列，求数列 的通项公式。a解：对任意 有 nN1()26nnSa当 n=1 时， ，解得 或11a112a当 n2 时， 111()26nnnS-整理得： 1130nnaa 各项均为正数，n 1n当 时， ，此时 成立1a32n249a当 时， ，此时 不成立，故 舍去121n24912a所以 3na练习。已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.n0na2)1(nnaSna答案： nnS1 212nn 1n2、对无穷递推数列例 20 已知数列 满足 ，求 的通项公na11231()(2)n na
19、aa， na式。解：因为 1231()()n n所以 1231n naaa 用式式得 1.nn则 故1()2)nna1(2)na所以 13222 !()43.n naa 由 ， ，则 ，又知 ，1231()()n na 212a取 得 11a则 ，代入 得 。2 !452na所以， 的通项公式为n!.n十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法不动点的定义：函数 的定义域为 ，若存在 ，使 成立，则称()fxD0()fxD0()fx为 的不动点或称 为函数 的不动点。0x()f0,()f分析：由 求出不动点 ，在递推公式两边同时减去 ，在变形求解。fx0x0x类型一：形如 1 n
20、aqd例 21 已知数列 中， ，求数列 的通项公式。11,2()nana解：递推关系是对应得递归函数为 ，由 得，不动点为-1()fxfx ，12()nna类型二：形如 1nnabcd分析：递归函数为 ()xf（1）若有两个相异的不动点 p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点 p,q，再将两式相除得，其中 ，1nnapkqapckq11()()nnaqpkapq（2）若有两个相同的不动点 p，则将递归关系式两边减去不动点 p，然后用 1 除，得，其中 。1nnkap2cad例 22. 设数列 满足 ,求数列 的通项公式.na7245,11nnana分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.
21、解：对等式两端同时加参数 t,得：,7254)(72)5(72451 nnnn attatat令 , 解之得 t=1,-2 代入 得5t )(1nntt, ,72131nna729nna相除得 ,即 是首项为 ，1nn 1n 412a公比为 的等比数列 , = , 解得 .32na13413nn方法 2： ,，711nna两边取倒数得 ，132)1(392)1(31 nnnn aaa令 b ，则 b , 转化为累加法来求 . nann例 23 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n1124nna， na解：令 ，得 ，则 是函数 的两个不214x20x123x， 214()xf动点。因为。所
22、以数列 是1224142(1)3261339733nn nnnnnaaa23na以 为首项，以 为公比的等比数列，故 ，则124a91 12()9nna。132()9nna十一。特征方程法 形如 是常数）的数列21(,nnapqa形如 是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项12,am，其特征方程为 nx若有二异根 ，则可令 是待定常数）,1212(,nacc若有二重根 ，则可令 是待定常数）()nn再利用 可求得 ，进而求得12,am12,cna例 24 已知数列 满足 ，求数列 的通项n *132()naNnan解：其特征方程为 ，解得 ，令 ，2x12,x12nc由 ，得 ， 122
23、43ac12c1nna例 25、数列 满足 ，且 求数列 的通项。na15221549nana解： 2114924nnn naa 令 ，解得 ，将它们代回得，2954125,， ，2194nna2149nna，得 ,21251nnaa则 ，数列 成等比数列，首项为 1，公比 q=21252544lglg1nnaa254lg1na所以 ，则 ，1254lgnna12540nna12504nna十二、基本数列1形如 型 等差数列的广义形式，见累加法。)(1nfan2.形如 型 等比数列的广义形式，见累乘法。fn3.形如 型)(1fa（1）若 （d 为常数） ，则数列 为“等和数列 ”，它是一个周期数列，周期为 2，n na其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为 型，通过累加来求出)(1nfan通项;或用逐差法(两式相减)得 ，分奇偶项来分求通项.)()1fan
