1、专题一.线段和（差）的最值问题【知识依据】1线段公理两点之间，线段最短；2对称的性质关于一条直线对称的两个图形全等；对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3三角形两边之和大于第三边；4三角形两边之差小于第三边；5、垂直线段最短。一、已知两个定点：1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小；（1）点 A、B 在直线 m 两侧：（2）点 A、B 在直线同侧：A、A 是关于直线 m 的对称点。2、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。（1）两个点都在直线外侧：P mAB mBmB P mABAn mAB QP n mABP（2）一个点在内侧，一个点在外
2、侧：（3）两个点都在内侧：（4） 、台球两次碰壁模型变式一：已知点 A、B 位于直线 m,n 的内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最短.变式二：已知点 A 位于直线 m,n 的内侧, 在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短.n mAB QP n mABBQP n mABB n mABmnAB EDmnABA BmnA PQ mnAA“A二、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动： 点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同
3、侧：（二）动点在圆上运动：点 B 在O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nA P m nABm nA P m nAABmOA P mOBABmOA P mOABA三、已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求P、Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解)（1）点 A、B 在直线 m 两侧：过 A 点作 ACm,且 AC 长等于 PQ 长，连接 BC,交直线 m 于 Q,Q 向左移动 PQ 长，即为
4、 P 点，此时 P、Q 即为所求的点。（2）点 A、B 在直线 m 同侧：四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA 与 PB 的差最大；（1）点 A、B 在直线 m 同侧：（2）点 A、B 在直线 m 异侧：过 B 作关于直线 m 的对称点 B,连接 AB交点直线 m 于 P,此时 PB=PB，PA-PB 最大值为 ABmBA mB mABBPPmBAPPmABBEQP mBQPmBQP mABCQPlBA专题精讲最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“
5、变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型典型例题剖析一归入“两点之间的连线中，线段最短” “饮马”几何模型： 条件：如下左图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PAPB 的值最小模型应用：1如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点则 PB+PE 的最小值是 2如图，O 的半径为 2，点 A、B、C 在O 上，OA OB，AOC=60，P 是 OB 上一动点，则 PA+PC 的最小值是 3如图，在锐角ABC 中，AB4
6、2，BAC 45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M 、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 4如图，在直角梯形 ABCD 中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点 P 是 AB 上一个动点，当PCPD 的和最小时，PB 的长为_5如图，等腰梯形 ABCD 中，ABADCD1，ABC60，P 是上底，下底中点 EF 直线上的一点，则 PA+PB的最小值为 6如图，MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在O 上， AMN30，B 为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PAPB 的最小值为 7已知 A(2 ，3) ，B(3，1)，P 点
7、在 x 轴上，若 PAPB 长度最小，则最小值为 若 PAPB 长度最大，则最大值为 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题第 5 题 第 6 题 第 7 题8已知：如图所示，抛物线 yx 2bx c 与 x 轴的两个交点分别为 A(1，0)，B(3 ，0)（1）求抛物线的解析式；（2）设点 P 在该抛物线上滑动，且满足条件 SPAB 1 的点 P 有几个？并求出所有点 P 的坐标；（3）设抛物线交 y 轴于点 C，问该抛物线对称轴上是否存在点 M，使得MAC 的周长最小？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由台球两次碰壁模型已知点 A 位于直线 m，n 的内侧，在直线 m、
8、n 分别上求点 P、Q 点，使 PA+PQ+QA 周长最短.变式：已知点 A、B 位于直线 m，n 的内侧，在直线 m、 n 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最短.模型应用：1如图，AOB=45，P 是AOB 内一点，PO=10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求PQR 周长的最小值2如图，已知平面直角坐标系，A，B 两点的坐标分别为 A(2，3），B(4 ，1）设 M，N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点 M(m，0），N(0，n),使四边形 ABMN 的周长最短？若存在，请求出 m_， n _（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由中考
9、赏析：1著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧，AB=50km、B 到直线X 的距离分别为 10km 和 40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P，向 A、B 两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线 X 垂直，垂足为 P） ，P 到 A、B 的距离之和 S1PAPB ，图（2）是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A，连接 BA交直线 X 于点 P） ，P 到 A、B 的距离之和 S2PAPB（1）求 S1、S 2，并比较它们的大小；（2）请你说明 S2PAPB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家
10、界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线 Y 的距离为30km，请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、Q，使 P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小并求出这个最小值2如图，抛物线 y x2 x3 和 y 轴的交点为 A，M 为 OA 的中点，若有一动点 P，自 M 点处出发，沿直线运动35 185到 x 轴上的某点（设为点 E） ，再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 F） ，最后又沿直线运动到点 A，求使点 P 运动的总路程最短的点 E，点 F 的坐标，并求出这个最短路程的长已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个动点， P
11、在 Q 的左侧，且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求P、Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小( 原理用平移知识解)（1）点 A、B 在直线 m 两侧： （2）点 A、B 在直线 m 同侧：模型应用：1. 如图，抛物线 y x 2 xError! No bookmark name given.2 的顶点为 A，与 y 轴交于点 B14(1)求点 A、点 B 的坐标；(2)若点 P 是 x 轴上任意一点，求证：PAPBAB ；(3)当 PAPB 最大时，求点 P 的坐标.2. 如图，已知直线 y x1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，2抛物线 y x 2bx c 与直线交于
12、A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为(1，0)1（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC|的值最大，求出点 M 的坐标yxCBAD OEy3. 如图，直线 y x2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，点 A 为 y 轴正半轴上的一点，A 经过点 B 和点 O，3直线 BC 交A 于点 D（1）求点 D 的坐标；（2）过 O，C，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使线段 PO 与 PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点 P 的坐标若不存在，请说明理由4. 已知：如图，把矩形 OCBA 放置于直角坐标
13、系中，OC3，BC2，取 AB 的中点 M，连接 MC，把MBC 沿 x 轴的负方向平移 OC 的长度后得到DAO（1）试直接写出点 D 的坐标；（2）已知点 B 与点 D 在经过原点的抛物线上，点 P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点 P 作 PQx 轴于点 Q，连接 OP若以 O、P、Q 为顶点的三角形与DAO 相似，试求出点 P 的坐标；（3）试问在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点 T，使得 的值最大？若存在，则求出点 T 点的坐标；若不存|TO TB|在，则说明理由1归入“三角形两边之差小于第三边”1.直线 2x-y-4=0 上有一点 P，它与两定点 A（4，-1 ） 、B （3，
14、4）的距离之差最大，则 P 点的坐标是 .2.已知 A、B 两个村庄的坐标分别为（2，2） ， （7，4） ，一辆汽车（看成点 P）在 x 轴上行驶试确定下列情况下汽车（点 P）的位置：（1）求直线 AB 的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到 A、B 两村距离之差最大？（2）汽车行驶到什么点时，到 A、B 两村距离相等？好题赏析：原型：已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPBPC 的最小值例题：如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM（1
15、）求证：AMBENB；（2）当 M 点在何处时，AMCM 的值最小；当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由；（3）当 AMBM CM 的最小值为 1 时，求正方形的边长3变式：如图四边形 ABCD 是菱形，且ABC60，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）若菱形 ABCD 的边长为 1，则 AMCM 的最小值 1；AMB ENB；S 四边形 AMBE=S 四边形 ADCM；连接 AN，则 ANBE；当 AMBMCM 的最小值为 2 时，菱形 ABCD 的边长为 23A B C D
