1、1.3.2 利用导数研究函数的极值(二)课时目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)1一般地，如果在区间 a， b上的函数 y f(x)的图象是一条_的曲线，那么 f(x)在 a， b上必有最大值和最小值此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是_；(2)函数图象在区间上的每一点必须连续不间断函数的最值是比较整个定义域的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得到的2一般地，求 f(x)在 a， b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求 f(x)在开区间( a， b)内所有使 f(x)0 的点；(2)计算函数 f(
2、x)在区间内使 f( x)0 的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值一、选择题1下列结论正确的是( )A若 f(x)在 a， b上有极大值，则极大值一定是 a， b上的最大值B若 f(x)在 a， b上有极小值，则极小值一定是 a， b上的最小值C若 f(x)在 a， b上有极大值，则极小值一定是 x a 和 x b 时取得D若 f(x)在 a， b上连续，则 f(x)在 a， b上存在最大值和最小值2函数 f(x) x24 x1 在1,5上的最大值和最小值是( )A f(1)， f(3) B f(3)， f(5)C f(1)， f(5) D f(5)， f(2)3
3、函数 y 在0,2上的最大值是( )xexA当 x1 时， y B当 x2 时， y1e 2e2C当 x0 时， y0 D当 x ， y12 12e4函数 y 在(0,1)上的最大值为( )x 1 xA. B1 C0 D不存在25已知函数 f(x) ax3 c，且 f(1)6，函数在1,2上的最大值为 20，则 c 的值为( )A1 B4 C1 D06已知函数 y x22 x3 在 a,2上的最大值为 ，则 a 等于( )154A B.32 12C D 或12 12 32题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7函数 f(x)ln x x 在(0，e上的最大值为_8函数 f(x) ex(
4、sin xcos x)在区间 上的值域为_12 0， 29若函数 f(x) x33 x a 在区间0,3上的最大值、最小值分别为 M、 N，则 M N 的值为_三、解答题10求下列各函数的最值(1)f(x)ln x x2， x1,2；14(2)f(x) x33 x26 x2， x1,111.已知 f(x) x3 x2 x3， x1,2， f(x) mm 恒成立，求实数 m 的取值范围13已知函数 f(x) ， g(x) aln x， aR.x(1)设函数 h(x) f(x) g(x)，当 h(x)存在最小值时，求其最小值 (a)的解析式；(2)对(1)中的 (a)和任意的 a0， b0，证明：
5、 ( ) ( )a b2 a b2 2aba b1函数的最值是对整个区间或是对所考察问题的整体而言2求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时 x 对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值3在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题答案知识梳理1连续不间断 (1)闭区间作业设计1D 函数 f(x)在 a， b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在 a， b上一定存在最大值和最小值2D f( x)2 x4，令 f( x)0，得 x2. f(1)2， f(2)3，
6、 f(5)6.最大值为 f(5)，最小值为 f(2)3A y ，令 y0 得 x1.ex xex ex 2 1 xex x0 时， y0， x1 时， y ， x2 时， y ，1e 2e2最大值为 (x1 时取得)1e4A y .由 y0，得 x .12x 121 x 12又 00， 0，即 f(x)在1,2上是增函数， f(x)max f(2)22 3 c20， c4.6C y2 x2，令 y0，得 x1.当 a1 时，最大值为 f(1)4，不合题意当10 得 01， f(x)在(0,11x 1 xx上是增函数，在(1，e上是减函数当 x1 时， f(x)有最大值 f(1)1.8. A解析
7、 x ， f( x)e xcos x0，0， 2 f(0) f(x) f .即 f(x)( 2) 12 2920解析 f( x)3 x23，令 f( x)0，得 x1，( x1 舍去) f(0) a， f(1)2 a， f(3)18 a. M18 a， N2 a. M N20.10解 (1)函数 f(x)ln x x2，14 f( x) x1x 12 x2 22x ， x 2 x 22x令 f( x)0，解得 x 或 x (舍去)2 2当 x 变化时， f( x)及 f(x)的变化情况如下表x 1 (1， )2 2 ( ，2)2 2f( x) 0 f(x)14 Z(ln 21)12 ln 21
8、当 x 时， f(x)取得最大值 (ln 21)，212又ln 21f(x)恒成立，知 mf(x)max，f( x)3 x22 x1，令 f( x)0，解得 x 或 x1.13因为 f( ) ，13 8627f(1)2， f(1)2， f(2)5.所以 f(x)的最大值为 5，故 m 的取值范围为(5，)12解 (1) f( x) xex x2ex x(x2)12 ex2由 x(x2)0，解得 x0 或 xm 恒成立， m0)，x h( x) .12x ax x 2a2x当 a0 时，令 h( x)0，解得 x4 a2，当 04a2时， h( x)0， h(x)在(4 a2，)上递增 x4 a
9、2是 h(x)在(0，)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 h(x)的最小值点最小值 (a) h(4a2)2 a aln 4a22 a(1ln 2 a)当 a0 时， h( x) 0， h(x)在(0，)上递增，无最小值x 2a2x故 h(x)的最小值 (a)的解析式为 (a)2 a(1ln 2 a)(a0)(2)证明 由(1)知 ( a)2ln 2 a，对任意的 a0， b0， ln 4 ab， a b2 2ln 2a 2ln 2b2 ( )2ln(2 )a b2 a b2ln( a b)2ln 4 ab， ( )2ln(2 )2ln2aba b 2aba b 4ab2abln 4 ab，故由得 ( ) ( )a b2 a b2 2aba b高%考试题库
