1、选修 2-2 3.1 第 1 课时 数系的扩充与复数的概念一、选择题1下列命题中：若 aR，则( a1)i 是纯虚数；若 a， bR 且 ab，则 ai 3bi 2；若( x21)( x23 x2)i 是纯虚数，则实数 x1；两个虚数不能比较大小其中，正确命题的序号是( )A B C D答案 D分析 由复数的有关概念逐个判定解析 对于复数 a bi(a， bR)，当 a0，且 b0 时为纯虚数在中，若a1，则( a1)i 不是纯虚数，故错误；在中，若 x1，也不是纯虚数，故错误；ai 3 ai， bi 2 b1，复数 ai 与实数 b1 不能比较大小，故错误；正确故应选 D.2(2010四川理
2、，1) i 是虚数单位，计算 i i2 i3( )A1 B1 C i D i答案 A解析 ii 2i 3i1i1.3下列命题中假命题是( )A. 不是分数i2B. i 不是无理数3Ci 2是实数D若 aR，则 ai 是虚数答案 D解析 当 a0 时， ai 是实数，所以 D 是假命题，故应选 D.4对于复数 a bi(a， bR)，下列结论正确的是( )A a0 a bi 为纯虚数B b0 a bi 为实数C a( b1)i32i a3， b3D1 的平方等于 i答案 B解析 a0 且 b0 时， a bi 为纯虚数，A 错误，B 正确 a( b1)i32i a 3， b3，C 错误(1) 2
3、1，D 错误故应选 B.5若 z 的实部为 lgx2，虚部为 lg2x， x 是正实数，那么( )A使 z 的实部、虚部都是正数的 x 的集合是(1，)B使 z 的虚部为负数的 x 的集合是(0,1)C使 z 的实部和虚部互为相反数的 x 的集合是1D使 z 的实部和虚部互为倒数的 x 的集合是 342答案 A解析 由Error!解得 x1，A 正确故应选 A.6复数 z a2 b2( a| a|)i(a， bR)为实数的充要条件是( )A| a| b| B a0 且 a b D a0答案 D解析 复数 z 为实数的充要条件是 a| a|0，而| a| a， a0，故应选 D.7若 sin2
4、1i( cos 1)是纯虚数，则 的值为( )2A2 k 4B2 k 4C2 k 4D. (以上 kZ)k2 4答案 B解析 由Error!得Error! (kZ) 2 k .选 B. 48若复数( a2 a2)(| a1|1)i( aR)不是纯虚数，则( )A a1 B a1 且 a2C a1 D a2答案 C解析 若复数( a2 a2)(| a1|1)i 不是纯虚数，则有 a2 a20 或|a1|10，解得 a1.故应选 C.9下列命题中哪个是真命题( )A1 的平方根只有一个Bi 是 1 的四次方程Ci 是1 的立方根Di 是方程 x610 的根答案 B解析 (i) 21，1 的平方根有
5、两个，故 A 错；i 3i1.i 不是1 的立方根；C 错；i 6i 21，i 610 故 i 不是方程 x610 的根，故 D 错；i 41，i 是 1 的四次方根，故选 B.10已知关于 x 的方程 x2( m2i) x22i0( mR)有实数根 n，且 z m ni，则复数 z 等于( )A3i B3iC3i D3i答案 B解析 由题意知 n2( m2i) n22i0即Error!，解得Error! . z3i，故应选 B.二、填空题11方程(2 x23 x2)( x25 x6)i0 的实数解 x_.答案 2解析 方程可化为Error!解得 x2.12如果 z a2 a2( a23 a2
6、)i 为纯虚数，那么实数 a 的值为_答案 2解析 如果 z 为纯虚数，需Error!，解之得 a2.13已知复数 z x( x24 x3)i0，则实数 x_.3x 1答案 1解析 复数 z 能与 0 比较大小，则复数一定是实数，由题意知Error!，解得 x1.14已知复数 z1 m(4 m)i(mR)， z22cos ( 3cos )i( R)，若z1 z2，则 的取值范围是_答案 3,5解析 z1 z2，Error! 4cos .又1cos 1，34cos 5， 3,5三、解答题15若 log2(m23 m3)ilog 2(m2)为纯虚数，求实数 m 的值解析 log 2(m23 m3)
7、ilog 2(m2)为纯虚数，Error! m4，故当 m4 时，log 2(m23 m3)ilog 2(m2)是纯虚数16已知复数 z ( a25 a6)i( aR)实数 a 取什么值时， z 是(1)实数？a2 7a 6a2 1(2)虚数？(3)纯虚数？解析 (1)当 z 为实数时，则有Error!所以Error!所以当 a6 时， z 为实数(2)当 z 为虚数时，则有Error!所以Error!即 a1 且 a6.所以当 a(，1)(1,1)(1,6)(6，)时， z 为虚数(3)当 z 为纯虚数时，则有Error!所以Error!所以不存在实数 a 使得 z 为纯虚数17若 xR，试确定 a 是什么实数时，等式 3x2 x1(10 x2 x2)i 成立a2解析 由复数相等的充要条件，得Error!由得 x2 或 x ，52代入，得 a11 或 a .71518已知 z1 i ， z2cos isin ，且 z1 z2，求 cos( )的(cos 45) (sin 35)值解析 由复数相等的充要条件，知Error!即Error! 2 2得 22(cos cos sin sin )1，即 22cos( )1，所以 cos( ) .12
