1、高考总复习含详解答案高中数学高考总复习抛物线习题及详解一、选择题1(2010湖北黄冈)若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p 的x26 y22值为( )A2 B2 C4 D4答案 D解析 椭圆中，a 26，b 22，c 2，a2 b2右焦点(2,0)，由题意知 2，p4.p22已知点 M 是抛物线 y22px(p0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF| 为直径作圆，则这个圆与 y 轴的关系是( )A相交 B相切C相离 D以上三种情形都有可能答案 B解析 如图，由 MF 的中点 A 作准线 l 的垂线 AE，交直线 l 于点 E，交 y 轴于点 B；由点 M 作准线
2、l 的垂线 MD，垂足为 D，交 y 轴于点 C，则 MD MF，ONOF，AB OF CM2 ON CM2 ，DM2 MF2这个圆与 y 轴相切3(2010山东文)已知抛物线 y22px( p0)，过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )Ax1 Bx 1 Cx 2 Dx2答案 B解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则线段 AB 的中点( ， )，x1 x22 y1 y22高考总复习含详解答案 2，A、B 在抛物线 y22px 上，y1 y22Error!得 y12y 222p(x 1x 2)，k AB
3、，k AB1，p2y1 y2x1 x2 2py1 y2 p2抛物线方程为 y24x ，准线方程为：x 1，故选 B.4双曲线 1 的渐近线上一点 A 到双曲线的右焦点 F 的距离等于 2，抛物线x29 y24y22px( p0)过点 A，则该抛物线的方程为( )Ay 29x By 24xCy 2 x Dy 2 x41313 21313答案 C解析 双曲线 1 的渐近线方程为 y x，F 点坐标为( ，0)，设 A 点坐x29 y24 23 13标为( x， y)，则 y x，由|AF |2 2x ，y ，代入23 x 132 (23x)2 913 613y22px 得 p ，所以抛物线方程为
4、y2 x，所以选 C.21313 413135已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2) 的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B3 172C. D.592答案 A解析 记抛物线 y22x 的焦点为 F ，准线是 l，由抛物线的定义知点 P 到焦点(12，0)F 的距离等于它到准线 l 的距离，因此要求点 P 到点(0,2) 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点 F 与点(0,2) 的距离，因此所求的最小值等于
5、 ，选 A.(12)2 22 1726已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，准线为 l，过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 M，若AMF 与AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 31，则点 A 的坐标高考总复习含详解答案为( )改填空题A(2,2 ) B(2，2 )2 2C(2， ) D(2 ，2 )2 2答案 D解析 如图，由题意可得，| OF|1，由抛物线定义得，|AF| AM|，AMF 与AOF(其中 O 为坐标原点 )的面积之比为 31， 3，SAMFSAOF12|AF| |AM| sinMAF12|OF| |AF| sin MAF|AM |3，设 A ，
6、13，(y024，y0) y024解得 y02 ， 2，2y024点 A 的坐标是(2，2 )，故选 D.27(2010河北许昌调研)过点 P(3,1)且方向向量为 a(2，5)的光线经直线 y2反射后通过抛物线 y2mx，( m0)的焦点，则抛物线的方程为 ( )Ay 22x By 2 x32Cy 2 4x Dy 24x答案 D解析 设过 P(3,1)，方向向量为 a(2 ，5)的直线上任一点 Q(x，y)，则a， ，5x2y 130，此直线关于直线 y2 对称的直线方程为PQ x 32 y 1 55x2( 4y) 130，即 5x2y50，此直线过抛物线 y2mx 的焦点F ，m 4，故选
7、 D.(m4，0)8已知 mn0，则方程是 mx2ny 21 与 mxny 20 在同一坐标系内的图形可能是( )高考总复习含详解答案答案 A解析 若 mn0，则 mx2ny 21 应为椭圆，y 2 x 应开口向左，故排除mnC、D； mn 或 t .22 22二、填空题11已知点 A(2,0)、B(4,0) ，动点 P 在抛物线 y24x 上运动，则 取得最小值时AP BP 的点 P 的坐标是_答案 (0,0)解析 设 P ，则 ， ， ( y24 ，y) AP ( y24 2，y) BP ( y24 4，y) AP BP ( y24 2)y 2 y28 8，当且仅当 y0 时取等号，此时点
8、 P 的坐标为(0,0)( y24 4) y416 5212(文)(2010泰安市模拟)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 60的直线 l，交抛物线于 A、B 两点，且|FA| 3，则抛物线的方程是 _高考总复习含详解答案答案 y 23x解析 设抛物线准线为 l，作 AA1l，BB 1l，FQl，垂足分别为 A1、B 1、Q，作BMAA 1 垂足为 M，BM 交 FQ 于 N，则由条件易知ABM 30，设|BF| t，则|NF| ，| MA| ，|AM| | QN|，3 p ， p ，抛物线方程为 y23x.t2 t 32 t 32 t2 32(理)(2010泰安质检)如
9、图，过抛物线 y22px(p0)的焦点的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A、B 、 C，若|BC| 2|BF| ，且|AF|3，则抛物线的方程是_答案 y 23x解析 解法 1：过 A、B 作准线垂线，垂足分别为 A1，B 1，则|AA1|3 ，| BB1| BF|，|BC |2|BF| ，|BC| 2|BB 1|， |AC|2|AA 1|2| AF|6，|CF| 3，p |CF| ，抛物线方程为 y23x .12 32解法 2：由抛物线定义，|BF|等于 B 到准线的距离，由|BC|2| BF|得BCB 130，又|AF|3 ，从而 A 在抛物线上，代入抛物线方程 y22px，解得 p
10、.(p2 32，332) 32点评：还可以由|BC| 2|BF|得出BCB 130，从而求得 A 点的横坐标为| OF| |AF|12 或 3 ， 3 ，p .p2 32 p2 p2 32 p2 3213已知 F 为抛物线 C：y 24x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A、B 两点设| FA|FB|，则|FA|与| FB|的比值等于_答案 32 2高考总复习含详解答案解析 分别由 A 和 B 向准线作垂线，垂足分别为 A1，B 1，则由条件知，Error!，解得Error!， 32 ，即 32 .|AA1|BB1| 2 |FA|FB| 214(文) 若点(3,1)是抛物线 y
11、22px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为 2，则 p_.答案 2解析 设弦两端点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，则Error!，两式相减得， 2，y1 y2x1 x2 2py1 y2y 1y 22，p2.(理)(2010衡水市模考)设抛物线 x212y 的焦点为 F，经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点，又知点 P 恰为 AB 的中点，则| AF| BF|_.答案 8解析 过 A、 B、P 作准线的垂线 AA1、BB 1 与 PP1，垂足 A1、B 1、P 1，则|AF| BF|AA 1|BB 1|2| PP1|21( 3)8.三、解答题15(
12、文) 若椭圆 C1： 1(00)的焦x24 y2b2 32点在椭圆 C1 的顶点上(1)求抛物线 C2 的方程；(2)若过 M(1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E、F 两点，又过 E、F 作抛物线 C2 的切线l1、l 2，当 l1l 2 时，求直线 l 的方程解析 (1)已知椭圆的长半轴长为 a2，半焦距 c ，4 b2由离心率 e 得，b 21.ca 4 b22 32椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，p2，抛物线的方程为 x24y.高考总复习含详解答案(2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零，则可设直线 l 的方程为 yk(x 1)，E(x 1，y 1)，F(
13、x2，y 2)，y x2，y x，14 12切线 l1，l 2 的斜率分别为 x1， x2，12 12当 l1l 2 时， x1 x21，即 x1x24，12 12由Error!得：x 24kx4k 0 ，由 (4k) 24(4k)0，解得 k0.又 x1x24k 4，得 k1.直线 l 的方程为 xy10.(理)在ABC 中， ， (0，2)，点 M 在 y 轴上且 ( )，点 CCA CB OA AM 12AB CD 在 x 轴上移动(1)求 B 点的轨迹 E 的方程；(2)过点 F 的直线 l 交轨迹 E 于 H、E 两点，( H 在 F、G 之间) ，若 ，(0， 14) FH 12H
14、G 求直线 l 的方程解析 (1)设 B(x，y) ，C (x0,0)，M (0，y 0)，x 00， ，ACB ，CA CB 2 1，于是 x022 y02x0 y0 x0M 在 y 轴上且 ( )，AM 12AB AC 所以 M 是 BC 的中点，可得Error!，Error!把代入，得 yx 2(x 0)，所以，点 B 的轨迹 E 的方程为 yx 2(x0) 高考总复习含详解答案(2)点 F ，设满足条件的直线 l 方程为：(0， 14)ykx ，H(x 1，y 1)，G(x 2，y 2)，14由Error!消去 y 得，x 2kx 0.14 k2 10k 21， ，即 (x2x 1，y
15、 2y 1)，FH 12HG (x1，y1 14) 12x 1 x2 x13x 1x 2.12 12x 1x 2k，x 1x2 ，k ，14 233故满足条件的直线有两条，方程为：8x4 y 0 和 8x4 y 0.3 3 3 316(文) 已知 P(x，y )为平面上的动点且 x0，若 P 到 y 轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点 P 的轨迹 C 的方程；(2)设过点 M(m,0)的直线交曲线 C 于 A、B 两点，问是否存在这样的实数 m，使得以线段 AB 为直径的圆恒过原点解析 (1)由题意得： x1，化简得：y 24x ( x0)x 12 y2点 P 的轨迹方程为 y24
16、x (x0)(2)设直线 AB 为 yk (xm)， A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由Error!，得 ky24y4km0，y 1y 2 ，y 1y24m.x 1x2m 2，4k以线段 AB 为直径的圆恒过原点，OAOB ，x 1x2y 1y2 0.即 m24m0m0 或 4.当 k 不存在时，m0 或 4.存在 m0 或 4，使得以线段 AB 为直径的圆恒过原点点评 (1)点 P 到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1，即点 P 到定点 F(1,0)的距离与到定直线 l：x 1 的距离相等P 点轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，p2，方程为 y24x .(理)
17、已知抛物线 y24x ，过点(0 ，2)的直线交抛物线于 A、B 两点，O 为坐标原点(1)若 4，求直线 AB 的方程OA OB (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点(n,0) ，求 n 的取值范围高考总复习含详解答案解析 (1)设直线 AB 的方程为 ykx2 (k0)，代入 y24x 中得，k 2x2(4k4)x40设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 .4k 4k2 4k2y1y2(kx 12)(kx 22)k 2x1x22k(x 1x 2)4 .8k ( x1，y 1)(x2，y 2) x1x2y 1y2 4，k 22k 10，解得 k
18、1 .OA OB 4k2 8k 2又由方程的判别式 (4k4) 216k 232k160 得 k ，k1 ，12 2直线 AB 的方程为( 1) xy20.2(2)设线段 AB 的中点的坐标为(x 0，y 0)，则由(1) 知x0 ，y 0kx 0 2 ，x1 x22 2k 2k2 2k线段 AB 的垂直平分线的方程是y .2k 1k(x 2k 2k2 )令 y0，得 n2 22k 2k2 2k2 2k2 2 .(1k 12) 32又由 k 且 k0 得 0，12 1k 1kn2 2 2.n 的取值范围为(2，) (0 12) 3217(文)(2010全国)已知抛物线 C：y 24x 的焦点为
19、 F，过点 K(1,0) 的直线 l 与 C相交于 A、B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D.(1)证明：点 F 在直线 BD 上；(2)设 ，求BDK 的内切圆 M 的方程FA FB 89解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，D (x1，y 1)，l 的方程为 xmy 1(m0)(1)将 xmy1(m0)代入 y24x 并整理得y24my40，从而 y1y 24m，y 1y24直线 BD 的方程为 yy 2 (xx 2)y2 y1x2 x1高考总复习含详解答案即 yy 24y2 y1(x y224)令 y0，得 x 1，所以点 F(1,0)在直线 BD 上y1y24(2
20、)由(1)知，x1x 2(my 11)(my 21)4m 22，x1x2(my 11)(my 21)1因为 (x 11，y 1)， (x 21，y 2)， ( x11，y 1)(x21，y 2)FA FB FA FB x 1x2( x1x 2)1484m 2，故 84m 2 ，解得 m ，89 43直线 l 的方程为 3x4y30,3x4y30.从而 y2y 1 ，4m2 44437故 4y2 y1 37因而直线 BD 的方程为 3x y30,3x y30.7 7因为 KF 为BKD 的角平分线，故可设圆心 M(t,0)，( 1 t1)，M (t,0)到直线 l 及 BD的距离分别为 ， ，3
21、|t 1|5 3|t 1|4由 得 t 或 t 9(舍去) ，故圆 M 的半径为 r ，3|t 1|5 3|t 1|4 19 3|t 1|5 23所以圆 M 的方程为 2y 2 .(x 19) 49(理)(2010揭阳市模考)已知点 C(1,0)，点 A、B 是O ：x 2y 29 上任意两个不同的点，且满足 0，设 P 为弦 AB 的中点AC BC (1)求点 P 的轨迹 T 的方程；(2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点：它到直线 x 1 的距离恰好等于到点 C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由高考总复习含详解答案解析 (1)法一：连结 CP，由 0 知，AC B
22、C，|CP |AP| BP| |AB|，AC BC 12由垂径定理知|OP| 2| AP|2|OA| 2，即|OP |2|CP| 29，设点 P(x，y)，有(x 2y 2)(x1) 2y 29，化简得，x 2xy 24.法二：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，P( x，y) ，根据题意知，x 12y 129，x 22y 229,2xx 1x 2,2yy 1y 2，4x 2x 122x 1x2x 22,4y2y 122y 1y2y 22故 4x24y 2(x 12y 12)(2 x1x22y 1y2)(x 22y 22)182(x 1x2y 1y2)又 0，(1x 1，y 1)(1x 2，y 2)0AC BC (1x 1)(1x 2)y 1y20，故 x1x2y 1y2(x 1x 2)12x1，代入式得，4x 24y 2182(2x1)，化简得，x 2xy 24.(2)根据抛物线的定义，到直线 x1 的距离等于到点 C(1,0)的距离的点都在抛物线y22px 上，其中 1，p 2，故抛物线方程为 y24x ，p2由方程组Error!得，x 23x 40，解得 x11，x 24，由于 x0，故取 x1，此时 y2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，2) 和(1,2)
