1、xyO AC y2x(1,1)B忻州一中 20142015 学年度第一学期期中考试高三 数学试题（理科）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1已知全集 U=R，集合 A=xy=log 2(-x2+2x)，B=yy1，则 A(CUB)（ ）A x02 D x1f(x)，则实数 x 的取值范围是( )3,0,()ln1).xfA B C D,12,(,)(1,)1,2,14在 ABC 中， “ 0”是“ ABC 是钝角三角形 ”的 ( )AB BC A充要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件5己知某几何体的三视图(单位： cm)如图所示，则该几何体的体积是 ( )A
2、108cm 3 B92cm 3C84cm 3 D100 cm 36已知锐角 , 满足：sin-cos= ,tan+tan+ tantan= ，则 , 的大小16 3 3关系是 （ ）A C 0)，对 10,1,xxg(x1)=f(x0)，则 a的取值范围是 ( )A 1(0, B 1,3 C 3,) D (,312设函数 f(x)是定义在(-,0)上的可导函数，其导函数为 f (x)，且有 2f(x)+xf (x)x2，则不等式(x+2014) 2f(x+2014)-4f(-2)0 的解集为 ( )A(-,-2012) B(-2012,0) C(-,-2016) D(-2016,0)OB二、填
3、空题（每小题 5 分，共 20 分）13随机抽取某产品 n 件，测得其长度分别为x1,x2,xn，则左图所示的程序框图输出的 s 表示的样本的数字特征是 .14已知变量 x，y 满足2401y，则yx的最大值是 .15若数列 na满足 1(,)ndNa为 常 数 ，则称数列 na为调和数列。已知数列 nx为调和数列，且 1220xx+，则 516x .16函数 的值域是 .2()f三、解答题（共 70 分）17(本小题满分 10 分)已知 (sinx，cosx)， =(cosx, cosx)，函数 f(x)= + a b 3 a b ()求 f(x)的最小正周期；()当 02时，求函数 f(x
4、)的值域18 （本小题满分 12 分）等比数列a n的各项均为正数，且 21362,9.aa()求数列 a的通项公式;.()设 31323logl.log,n nbaa求数列 1nb的前 n 项和.s=(i1)s+xii是开始输出 s结束输入 x1,x2,xni=i+1in?s=0,i=1否A BCDE19.（本题满分 12 分）在 中，角 对的边分别为 ，且 ,ABC, ,abc2Ccos6sin()求 的值；sinab()若 ，求 的面积 .;ABCABCS20.（本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形，ABCD ，DAB=60，EC平面 ABCD，CB=
5、CD=CE.（）求证：AC平面 CBE；（）求二面角 E-BD-C 的余弦值.21（本题满分 12 分）已知椭圆21(0)xyab的长轴长为 4，且点 3(1,)2在椭圆上（）求椭圆的方程；()过椭圆右焦点斜率为 k 的直线 l交椭圆于 ,AB两点，若 0，求直线 l的OA OB 方程22 （本题满分 12 分）已知函数 xaxfln21)()(R，（）若函数 在 ),(为增函数，求 a的取值范围；（）讨论方程 0xf解的个数，并说明理由.忻州一中 20142015 学年度第一学期期中考试高三 数学试题答案（理科）一、选择题每小题（5 分，共 60 分）A D D C D B B A BD A
6、C二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. 平均数 14. 1 1520 16 1,2三、解答题（共 70 分）17解：（1） 23()sincosfxx 1 分13i2(1)3 分sin()x 5 分函数 f(x)的最小正周期为 6 分（2） 02， 233，8 分 3sin()1x， 9 分即 f(x)的值域为 3,2 10 分18解：（）设数列a n的公比为 q，由 得 ,由条件可知 q0，故2369a219q2 分13q。由 得 。 12a13a4 分故数列a n的通项式为 an= 。 136 分（ ） 31323nlogl.lognba(12.)8 分故 121()()nbn
7、9 分12112.2()().()31n nb n所以数列 的前 n 项和为 12 分19. 解: ()由已知有 ， 1 分CCcos6incos6si 故 ，2 分co3sin. 3 分ta又 ，4 分C0所以 . 5 分3由正弦定理可设 ，6 分243sinisini60abcABC所以 ，7 分4343si,siab所以 8 分43(sin)43sinABabAB（2）由余弦定理得 ，22coscabC即 ，9 分24()3ab又 ，所以 ，240a解得 或 （舍去） 10 分1所以 12 分3sin22ABCSb20.解：（）在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，DAB=60，CB=CD
8、,由余弦定理可知： ,2022 3)18cos(CDABCBDD即 , 2 分AB3在 中，DAB=60， ，AAB3则 为直角三角形，且 。则可知 ACBC 4 分 又 EC平面 ABCD ,则 EC AC，故 AC平面 CBE； 6 分（）由（）可知 ，设 ，C1则 ,3BDC建立如图所示的空间直角坐标系， 9 分1(0,1),)(,0)2E向量 为平面 的一个法向量.nC设向量 为平面 BDE 的法向量，则 ,即 ，),(zyxm0mBDE023zyx取 ，则 ，则 为平面 BDE 的一个法向量. 10 分1y1,3)1,3( zyA BCD E，51,cosnm而二面角 E-BD-C
9、的平面角为锐角，则二面角 E-BD-C 的余弦值为 。 12 分521解：（）由题意 2a所求椭圆方程为214xyb又点 3(1,)2在椭圆上，可得 1b所求椭圆方程为2 4 分（）由（）知 24,，所以 3c，椭圆右焦点为 (3,0)则直线 AB的方程为 ()ykx由 2(3),40ykx可得 2221814kx 6 分由于直线 过椭圆右焦点，可知 0设 12(,)(,)AxyB，则221213,4xkk， 22 123()314k x 9 分所以2124Oxykk 由 0AB，即 20，可得 2,1所以直线 l的方程为 (3)1yx 12 分22解：（1）若函数 )(xf在 ,上是增函数。
10、则 0)(xaf在 ),1(上恒成立，即： 2a在 ,上恒成立。所以有 1a 4 分（2）当 0时， )(xf在定义域 ),0(上恒大于 0，此时方程无解；6 分当 时， f在 上恒成立，所以 )(xf在定义域 ),0(上为增函数。021)(f， 012)(1aaef，所以方程有唯一解。 8 分当 0a时， xaxaxf )()(2因为当 ,时， 0)(f， )(f在 ,内为减函数；当 )(x时， 在 ,内为增函数。所以当 a时，有极小值即为最小值 )ln1(2ln21)( aaaf 。当 ),0(e时， 0ln1(2)(af ，此方程无解；当 时， .)此方程有唯一解 x。当 ),(ea时， l()(f因为 021f且 a，则方程 0)xf在区间 ),(a上有唯一解，因为当 x时， )ln(x，所以 1ln所以 af22l,l ，因为 1，所以 0)(1)af ，则方程 0)(xf在区间 ),(a上有唯一解，方程 0x在区间 ),e上有两解。 11 分综上所述：当 时，方程无解；当 ea或 时，方程有唯一解；当 ea时方程有两解 12 分
