1、【解析】江苏省南通中学 2015 届高三第一学期期中考试数学试题本试卷是高三试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份好试卷.一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上【题文】1已知全集 ，集合 则 0,123U0,1,23AB()UAB【知识点】集合及其运算 A1【答案】2，3【解析】 则 2，32,3A
2、UC()UB【思路点拨】先求出补集再求结果。【题文】2命题：“ ”的否定是 2,0xRxm【知识点】命题及其关系 A2【答案】 2,【解析】 “ ”的否定是 。0xx2,0xRxm【思路点拨】根据全称命题存在命题求出否定。【题文】3若复数 z1=ai，z 2=1+i（i 为虚数单位） ，且 z1 z2 为纯虚数，则实数 a 的值为 【知识点】复数的基本概念与运算 L4【答案】-1【解析】 =(a-i).(1+i) =(a+1)+(a-1)i 因为是纯虚数 所以 a+1 = 0 a = -112z【思路点拨】先化简再纯虚数的定义求出 a.【题文】4已知角 终边经过点 ，则 (2sin,cos2)
3、Pin【知识点】角的概念及任意角的三角函数 C1【答案】-cos2【解析】r= =222(sin)(cos)由任意三角函数的定义：sin= =-cos2yr【思路点拨】根据任意三角函数的定义求得。【题文】5 “ ”是“ 对 恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要1a()2x(1,)不充分、充要” ） 【知识点】充分条件、必要条件 A2【答案】充分不必要【解析】 能推出 在 成立， ， ，a0，f(x)是增函数 x2 时，f(x)0，f(x) 是减函数 所以:x=2 是 f(x)的极大值点 极大值 f(2)=2ln2-2【思路点拨】利用求导数，根据单调性求出极大值。【题文】8已知 的一个内角为
4、，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则 的面积为ABC120 ABC_【知识点】解三角形 C8【答案】15 3【解析】设三角形的三边分别为 x-4，x ，x+4，则 cos120= ，化简得：x-16=4-x，解得 x=10，222(4)()1x所以三角形的三边分别为：6，10，14则ABC 的面积 S= 610sin120=15 123【思路点拨】先设出边，再根据余弦定理求出边求出面积。【题文】9已知向量 ,abc中任意两个都不共线,且 ab与 c共线, bc与 a共线,则向量 abc= 【知识点】单元综合 F4【答案】 0【解析】因为( )/ ，( )/ ，设 = ， = 两式相减得
5、- = - ，移项得abcabcaac（1+） =（1+） 因为向量 、 中不平行，所以只有 1+=0，1+=0 即 =-1，=-1 也就是cc+ =- 即=ab0【思路点拨】先根据向量共线关系找出向量的关系求出结果。【题文】10设函数 （ ） ，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图()cosfx0()yfx3像与原图像重合，则 的最小值等于 【知识点】函数 的图象与性质 C4in()yA【答案】6【解析】由题意得 .k，解得 =6k, 则 最小值等于 623【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将 的图像向右平移()yfx3单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了 是此函
6、数周期的整数倍。3【题文】11设 f（x ）是定义在 上的奇函数，且在区间 上单调递增，若 ，三角(,)(0,)1()02f形的内角 A 满足 f（cosA）0，则 A 的取值范围是 【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案】 2(,)(,)3【解析】f（x）是定义在（-，+）上的奇函数，且在区间（0 ，+）上单调递增，f（x）在区间（-，0）上也单调递增 ， ，1()02f1()02f当 A 为锐角时，cosA0，不等式 f（cosA）0 变形为 f（cosA）f（ ） ，0cosA ， A1232当 A 为直角时，cosA=0，而奇函数满足 f（0）=0， A 为直角不成立当 A 为钝角
7、时，cosA0，不等式 f（cosA）0 变形为 f（cosA）f（- ）cosA - ，1212A ，综上，A 的取值范围为23(,)(,)3【思路点拨】根据函数在 R 上的奇偶性和在区间（0，+）上的单调性可以判断 f（x）在区间（-，0）的单调性再分角 A 是锐角，直角还是钝角三种情况讨论，cosA 的正负，利用 f（x）的单调性解不等式【题文】12如图，在等腰三角形 中，已知BC FEACB,120,分别是边 上的点，且 其中CB, ,ACnFmE )0(,nm若 的中点分别为 且 则 的最小值是 BCEF, ,NM,14nmMN【知识点】单元综合 F4【答案】 7【解析】连接 AM、
8、AN，等腰三角形 ABC 中，AB=AC=1，A=120 ， =| | |cos120=-ABCA12AM 是AEF 的中线， = （ ）= （m +n ）M12EFBAC同理，可得 = （ ），由此可得 NMNA= （1-m） + （1-n） AB将此式平方得 2= （1-m） 2- （1-m ）（1-n）+ （1-n） 2，1414结合 m+4n=1 消去 m，得 2= n2- n+N3当 n= 时， 2 的最小值为 ，所以| |的最小值为17M17MN7【思路点拨】由等腰ABC 中，AB=AC=1 且 A=120，算出 =- 连接 AM、AN，利用三角形ABC12中线的性质，得到 = （
9、 ）且 = （ ），进而得到 A12EAF12MNA= （1-m） + （1-n） 将此式平方，12BC代入题中数据化简可得 2= （1-m） 2- （1-m ）（1-n ）+ （1-n） 2，MN44结合 m+4n=1 消去 m，得 2= n2- n+ ，结合二次函数的性质可得当 n= 时， 134172 的最小值为 ，所以| |的最小值为 N177【题文】13等差数列 的公差为 d，关于 x 的不等式 c0 的解集na2dx1ax0，22，则使数列 的前 n 项和 最大的正整数 n 的值是 nnS【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2【答案】11【解析】关于 x 的不等式 x2+(
10、a1- )x+c0 的解集为0，22，d22= ，且 0 即 a1=- d0，则 a11=a1+10d0，a 12=a1+11d012da2故使数列a n的前 n 项和 Sn最大的正整数 n 的值是 11【思路点拨】根据已知中等差数列a n的公差为 d，关于 x 的不等式 x2+(a1- )x+c0 的解集为0，22，d我们根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，进而判断出数列项的符号变化分界点，即可得到答案【题文】14已知数列 满足 （q 为常数） ，若 18，6， 2，6，30，na12na345,则 1a【知识点】单元综合 D5【答案
11、】-2,126，-3【解析】由已知可得，a n+1+2=q（a n+2） ，n=1，2， ，当 an=-2 时，显然有 a3，a 4，a 5，a 6-18，-6，-2，6，30 ，此时 a1=-2当 an-2 时，则 ， （q 为常数） ，12n又因为 a3，a 4，a 5，a 6-18，-6 ，-2，6，30 ，所以 a3+2，a 4+2，a 5+2， a6+2-16 ，-4，0，8，32，因为 an-2，所以 an+20， ，从而 a3+2=32，a 4+2=-16，a 5+2=8，a 6+2=-4，或 a3+2=-4，a 4+2=8，a 5+2=-16，a 6+2=32故有 q=-2 或
12、 q=- 12代入 an+1=qan+2q-2 得 a1=-3，或 a1=126【思路点拨】观察已知式子，移项变形为 an+1+2=q（a n+2） ，从而得到 an+2 与 an+1+2 的关系，分 an=-2 和 an-2 讨论，当 an-2 时构造等比数列a n+2，公比为 q计算可得答案二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】15 （本题满分 14 分）已知 实数 满足 22430xa, 其中 ； :q 实数 x满足 2x3:pa(1) 若 1,a 且 q为真, 求实数 x的取值范围；(2) 若 是 的必要
13、不充分条件, 求实数 的取值范围. 【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件 A2【答案】 （1） 2x(2) 12【解析】 （1）p：由原不等式得， （x-3a ） （x-a）0， a0 为，所以 ax3a；当 a=1 时，得到 1x3；q：实数 x 满足 2x3 ；若 pq 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 的取值范围是 3. (2) p 是 q 的必要不充分条件，即 qp,且 p q， 设 A=()x, B = (), 则 AB， 又 (,，A= (,)a；所以有 23,a解得 12;a所以实数 a的取值范围是 12. 【思路点拨】 （1）先通过解一元二次不等式求出 p 下的 x
14、的取值范围：ax3a ，a=1 时，所以 p：1x3根据 pq 为真得 p，q 都真，所以解该不等式组即得 x 的取值范围；（2）若 p 是 q 的必要不充分条件，解不等式即得 a 的取值范围【题文】16 （本题满分 14 分）如图，在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，A 1A AC，D，E，F 分别为线段 AC，A 1A，C 1B 的中点 （1）证明： 2EF平面 ABC；（2）证明：C 1E平面 BDE ABC DEC1 A1B1F（第 16 题）【知识点】 空间中的平行关系垂直关系 G4 G5【答案】 （1）略（2）略【解析】 （1）如图，取 BC 的中点 G，连结 AG， FG因为
15、F 为 C1B 的中点，所以 FG C1C12在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，A 1A C1C，且 E 为 A1A 的中点，所以 FG EA所以四边形 AEFG 是平行四边形 所以 EFAG 因为 EF平面 ABC，AG 平面 ABC，所以 EF平面 ABC （2）因为在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，A 1A平面 ABC，BD 平面 ABC，所以 A1ABD 因为 D 为 AC 的中点，BABC，所以 BDAC因为 A1AACA ，A 1A平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，所以 BD平面 A1ACC1因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BDC 1E 根据题意，可得 EBC
16、 1E AB，C 1B AB， 3所以 EB C 1E C 1B2从而C 1EB90，即 C1EEB 2 2 因为 BDEB B，BD 平面 BDE， EB平面 BDE，所以 C1E平面 BDE 【思路点拨】根据线线垂直证明线面垂直，根据线面平行判定证明平行。 【题文】17 （本题满分 15 分）已知向量 .(2sin,co),(3cos,2)axbx（1）若 ，且 ，求 的值；kZ/a2incosx（2）定义函数 ，求函数 的单调递减区间；并求当 时，函数 的值域.1)(xf)(xf 0,2x)(xf【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案】 （1） （2）7,【解析】 （1）因为 ，所以
17、 ，/ab24sinco3s0xx因为 ，所以 ，即 ，,2xkZ0ta4所以 2tan1sinco7x（2） ， 2()3sicos13sin2cosfxbxx 2in()6x令 ，得 ，2,62kkZ,6kkZ所以函数 的单调递减区间是 )(xf,3Z因为 ，所以 ， ，0,27,61sin(2),x所以当 时，函数 的值域 x)(xf1,【思路点拨】根据向量的关系求出结果三角函数性质求出值域。【题文】18 （本题满分 15 分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以 30 天计） ，旅游人数 （万人）与时间 （天）的()ftt函数关系近似满足 ，人均消费 （元）与时间 （天）的函数关
18、系近似满足1()4ftt()gtt.()15|gt（）求该城市的旅游日收益 （万元）与时间 的函数关系式；()w130,)ttN（）求该城市旅游日收益的最小值（万元）【知识点】函数模型及其应用 B10【答案】 （） 1()()4(5|)wtfgttt(130,)tN（） 万元1403【解析】 （）由题意得， ()()(|5|)tfttt(,)t（）因为 *140,15,)()(3,(3,Ntwttt当 时，15t2410)4)01ttt425014当且仅当 ，即 时等号2t当 时， ，可证 在 上单调递减，所303()(3)59()wtttt()wt,3以当 时， 取最小值为 t 140由于
19、，所以该城市旅游日收益的最小值为 万元143 1403【思路点拨】根据等量关系求出关系式，利用单调性求出最小值。【题文】19 （本题满分 16 分）已知函数 ).1,0(ln)(2axaxf（1）求函数 在点 处的切线方程；),0(f（2）求函数 单调递增区间；)(f（3）若存在 ，使得 是自然对数的底数） ，求实数 的取值范围1,21x exff(1)()(21a【知识点】导数的应用 B12【答案】 （2） （3）y(0,)+(0,)ea+【解析】因为函数 ，2ln,1xf所以 ， ， ()ln2lxfaa (0)f又因为 ，所以函数 在点 处的切线方程为 01x,f 1y由， ()ln2l
20、(1)lnx xfaaa+因为当 时，总有 在 上是增函数， 0,1()fxR又 ，所以不等式 的解集为 ，()f0(,)故函数 的单调增区间为 x(,)+因为存在 ，使得 成立，12,x12()e1fxf而当 时， ，,12maxin()()f所以只要 即可又因为 ， ， 的变化情况如下表所示：maxin()ef fx()f(,0)00,+()fx减函数 极小值 增函数所以 在 上是减函数，在 上是增函数，所以当 时， 的最小值()fx1,00,11,xfx， 的最大值 为 和 中的最大值minfxmaxf1ff因为 ，(1)(1ln)(1ln)2lnfaa+令 ，因为 ，2l0ga2(1)
21、0ga 所以 在 上是增函数()na,而 ，故当 时， ，即 ；10g10g(1)f当 时， ，即 a()f所以，当 时， ，即 ，函数 在 上是增函数，解得1()0e1f lne1a lnya(1,)；当 时， ，即 ，函数 在 上是减函数，ea 0a()f l la0,解得 综上可知，所求 的取值范围为 a1(0,e,)a+【思路点拨】根据导数的意义求出切线方程，根据单调性求出参数的范围。【题文】20 （本题满分 16 分）在数列 n中， 1，且对任意的 *kN, 2121,kka成等比数列，其公比为 kq（1）若 kq=2( *N)，求 135.a；（2）若对任意的 *kN， a2， 1
22、， 2k成等差数列，其公差为 kd，设 kbq 求证： k成等差数列，并指出其公差；若 1d=2,试求数列 kd的前 项的和 kD【知识点】单元综合 D5【答案】 （1） （2） ，或 35214(1)3nkaa (3)2kD2k【解析】 （1）因为 ，所以 ，故 是首项 1a，公比为 4 的等比数列，所kq21k13521,ka以 135214()3nkaa（2）因为 k2， 1， 2k成等差数列，所以 2 1ka k2 2a，而 ，所以 ， 1221,kkkaqq1kq所以 ，即 ，1kkbb1kb所以 k成等差数列，其公差为 1（3）因为 ，所以 ，即 ，12d32a2132a所以 或
23、2a（）当 时， ，所以 ，所以 ，221qa1kbq1()kbk即 ，得 所以 ，1kqk2221()k， ，222221 1()()()1kaa 21()kaq所以 ， 2kkda(3)kD（ii）当 时， ，所以 ， ，2121q112kbq3(1)2kbk即 ，得 所以 ，31kq32k2221()3kak， ，2 221 1()()()()35kaak 21()23kakq所以 ， 2142kkda2(4)kDk综合得 ，或 (3)D【思路点拨】利用等比数列求和公式求出，数列性质求出。【题文】数学（附加题）【题文】21（B） （本题满分 10 分）已知矩阵 M = ，N = ，试求曲
24、线 在矩阵 MN 变换下的函数解析式20110xysin【知识点】选修 4-2 矩阵 N2【答案】 xysin【解析】MN = = 201201即在矩阵 MN 变换下 1xy即曲线 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 xysin xy2sin【思路点拨】利用矩阵求出函数解析式。【题文】21（C） （本题满分 10 分）已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的非负半轴建平面直角坐标系，并与4sin极坐标系取相同的单位长度，直线 l 的参数方程为 （ 为参数） ，求直线 l 被曲线 截得的123xtyt C线段长度.【知识点】参数与参数方程 N3【答案】 15【解析】将曲线 的极坐标
25、方程化为直角坐标方程为 ，C240xy即 ，它表示以 为圆心，2 为半径的圆,22()4xy(0,)直线方程的普通方程为 ， 31yx圆 C 的圆心到直线 l 的距离 ， 2d故直线 l 被曲线 截得的线段长度为 15)2(【思路点拨】先把参数方程转化成普通方程，再由勾股定理求出长度。【题文】22 （本题满分 10 分）如图所示,在棱长为 2 的正方体 1AC中,点 PQ、 分别在棱 BCD、 上,满足 1BQP,且 2.(1)试确定 P、 Q两点的位置.(2)求二面角 1C大小的余弦值.A DB CPA1B1 C1QD1第 22 题【知识点】空间向量及运算 G9【答案】(1) 、分别为 ,B
26、 中点(2)13【解析】(1)以 1,AD为正交基底建立空间直角坐标系 Axyz，设 (02)CPa ，则，2CQa21(,)Qa, 1(2,)D,2(,0),(,0)Pa 1B, 1P， 24，解得 PC =1,CQ=1,即 PQ、分别为 ,BC 中点(2)设平面 1的法向量为 (,)nbc， 1(,0)() ,又 10nPQC， 0abc，令 ，则 2a, ,2k为 面 A的 一 个 法 向 量 ,os,3nk,而 二 面 角 为 钝 角 ,故 余 弦 值 为 13 【思路点拨】根据空间向量求出法向量求出余弦值。【题文】23 （本题满分 10 分）已知函数 2()21)ln()(1)(0)
27、fxxaxa（1）若函数 f在 0处取极值，求 的值；（2）如图，设直线 ,2xyx将坐标平面分成、四个区域（不含边界） ，若函数()yfx的图象恰好位于其中一个区域内判断其所在的区域并求对应的 a的取值围；（3）比较 与 的大小，并说明理由23420135 4520143【知识点】导数的应用 B12【答案】 （1） 4a（2） e（3）略【解析】（1） 2()1)ln()(1)(0)fxxaxa，()2ln2fxa12yx xxO（第 23 题） xx（第 23 题） ()fx在 0处取极值， (0)410fa 14a（经检验 14a符合题意） （2）因为函数的定义域为 (,)2，且当 0x
28、时， ()0fa又直线 yx恰好通过原点，所以函数 ()yf的图象应位于区域内，于是可得 ()f，即 2(1)ln()1xaxx 210x， l2a令 l()h， 2ln(1)()xh令 ()h，得 ex x， e(,2x时， 0m， ()单调递增，e1,2x时， ()0m， ()单调递减 ax1()2eh a的取值范围是 1ea （3）由（2）知，函数 ln(21)e)(,2x、时单调递减，函数 p（x）= ， 在 x（e，+）时，单调递减，l ，xln（x+1）（x+1 ）lnx，ln(1)ln（x+1） x lnx（x+1 ） ，即（ x+1） xx （x+1） ，令 x=3，4， ，2011，则 433 4，5 44 5，2012 20112011 2012又 32432 334，3 24354201220112 3344520112012【思路点拨】根据导数极值求出 a,再利用单调性求出范围证明大小。
